線性分組碼-習(xí)題

1、1.已知一個(gè)(5, 3)線性碼C的生成矩陣為：110 0 1G 0110 10 0 111(1)求系統(tǒng)生成矩陣；(2)列出C的信息位與系統(tǒng)碼字的映射關(guān)系；(3)求其最小Hamming距離，并說明其檢錯(cuò)、糾錯(cuò)能力；(4)求校驗(yàn)矩陣H;(5)列出譯碼表，求收到 r=11101時(shí)的譯碼步驟與譯碼結(jié)果。 解：(1)線性碼C的生成矩陣經(jīng)如下行變換：110 0 1將第2、3加到第1行0 110 10 0 111將第3加到第2行10 0 11 0 110 1 0 0 111得到線性碼C的系統(tǒng)生成矩陣為10 0 11Gs 010100 0 111(2)碼字c (C0 , C1 , ,Cn 1)的編碼函數(shù)為c

2、f (m) m0 1 0 0 1 1 m1 0 1 0 1 0 m2 0 0 1 1生成了的8個(gè)碼字如下信息元系統(tǒng)碼字0000000000100111010010100110110110010011101101001101100111111110(3)最小漢明距離d=2,所以可檢1個(gè)錯(cuò)，但不能糾錯(cuò)。(4)由 G In k,Ak (n k), HAk (n k)T,In k,得校驗(yàn)矩陣1111010 10 1(5)消息序列 m=000,001,010,011,100,101,110,111 ,由 c=mGs 得碼字序列 C0=00000, C1=00111,C2=01010, C3=01101,

3、C4=10011, C5=10100, C6=11001, C7=11110則譯碼表如下：000000011101010011011001110100110011111011000010111 1110101110100011001000100101110;01000011110001000101110111110010001101100000100110:010110110010010101011100011111;當(dāng)接收到r =(11101)時(shí)，查找碼表發(fā)現(xiàn)它所在的列的子集頭為(01101),所以將它譯為 c=01101。2.設(shè)(7, 3)線性碼的生成矩陣如下0 10 10 10G 0 0

4、 10 11110 0 110 1(1)求系統(tǒng)生成矩陣；(2)求校驗(yàn)矩陣；(3)求最小漢明距離；(4)列出伴隨式表。解：(1)生成矩陣G經(jīng)如下行變換0 10 10 100 0 10 111交換第1、3行10 0 110 10 0 10 11110 0 110 10 10 10 1010 0 110 10 0 10 111交換第2、3行10 0 110 10 10 10 100 10 10 100 0 10 111得到系統(tǒng)生成矩陣:10 0 110 1Gs0 10 10 100 0 10 1112)由 G I n k , Ak (n k) , H Ak (n k) , I n k ,得校驗(yàn)矩陣為

5、110 10 0 010 10 10 0H0 1 10 0 101 0 1 0 0 0 1(3)由于校驗(yàn)矩陣H的任意兩列線性無關(guān)，3列則線性相關(guān)，所以最小漢明距離 d=3o(4) (7, 3)線性碼的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111 ,由 c=mGs 得碼字序列：C0=0000000, C1=0010111, C2=0101010, C3=0111101 , C4 = 1001101, C5=1011010,C6=1100111, C7=1110000。又因伴隨式有 24=16種組合，差錯(cuò)圖樣為1的有77種，17T T差錯(cuò)圖樣為 2的有21種，而由Hr

6、T HeT,則計(jì)算陪集首的伴隨式，構(gòu)造伴2隨表如下:伴隨式陪集首伴隨式陪集首00000101110110011010111101111100100011100100101100100011000101103.已知一個(gè)(6, 3)線性碼C的生成矩陣為：10 0 10 1G 0 1 0 0 11.0 0 1110(1)寫出它所對應(yīng)的監(jiān)督矩陣H;(2) 求消息M=(101)的碼字;(3)若收到碼字為101010,計(jì)算伴隨式，并求最有可能的發(fā)送碼字。解：(1)線性碼C的生成矩陣G就是其系統(tǒng)生成矩陣 Gs,所以其監(jiān)督矩陣 H直接得出:10 110 0H 0 110 101 1 0 0 0 1(2)消息

7、M=(m0,mi,m2)=(101),則碼字 c 為:c f(m) 1 0 0 1 0 10 0 1(3)收到碼字r=(101010),則伴隨式1 00 1T11rH 101010 g1 00 10 01 1 010 10 11110 001001C6=110110,伴隨式最有可能發(fā)送的碼字c為：c= (101011)。又(6, 3)線性碼的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111,由 c=mGs 得 碼字序列： 8=000000, C1=001110, C2=010011 , C3=011101 , C4=100101 , C5=101011 ,4.設(shè)(6, 3)線性碼的信息元序列為X1X2X3,它滿足如下監(jiān)督方程組x1 x2 x40X2 X3 X50X1 X3 X60(1)求校驗(yàn)矩陣，并校驗(yàn) 10110是否為一個(gè)碼字；(2)求生成矩陣，并由信息碼元序列101生成一個(gè)碼字。解：(1)由監(jiān)督方程直接得監(jiān)督矩陣即校驗(yàn)矩陣為：110 10 0 H 0 110 10 10 10 0 1因?yàn)槭盏降男蛄?10110為5位，而由(6, 3)線性碼生成的碼字為 6位，所以10110 不是碼字。(2)由 G Ink, Ak (n k) ,