中考幾何證明題

1、幾何證明 典例精析 【例題1】天津已知RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8 1如圖，假設半徑為r1的O1是RtABC的內(nèi)切圓，求r1； 2如圖，假設半徑為r2的兩個等圓O1、O2外切，且O1與AC、AB相切，O2與BC、AB相切，求r2；3如圖，當n是大于2的正整數(shù)時，假設半徑為rn的n個等圓O1、O2、On依次外切，且O1與AC、AB相切，On與BC、AB相切，O2、O3、On1均與AB邊相切，求rn 解：1在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10 如圖，設O1與RtABC的邊AB、BC、CA分別切于點D、E、F，連接O1D、O1E、O1

2、F、AO1、BO1、CO1 于是，O1DAB，O1EBC，O1FAC， SAO1C=AC·O1F=AC·r1=3r1， SBO1C =BC·O1E=BC·r1=4r1， SAO1B =AB·O1D=AB·r1=5r1， SABC =AC·BC=24 又SABC =SAO1C +SBO1C +SAO1B， 24=3r1+4r1+5r1， r1=22如圖，連接AO1、BO2、CO1、CO2、O1O2，則 SAO1C =AC·r2=3r2， SBO2C =BC·r2=4r2， 等圓O1、O2外切， O1O2=2

3、r2，且O1O2AB 過點C作CMAB于點M，交O1O2于點N，則 CM=， CN=CMr2=r2， SCO1O2 =O1O2·CN=r2r2， S梯形AO1O2B=2r2+10r2=r2+5r2 SABC =SAO1C +SBO2C +SCO1O2 +S梯形AO1O2B， 24=3r2+4r2+r2r2+r2+5r2 解得r2=3如圖，連接AO1、BOn、CO1、COn、O1On，則 SAO1C =AC·rn=3rn， SBOnC =BC·rn=4rn， 等圓O1、O2、On依次外切，且均與AB邊相切， O1、O2、On均在直線O1On上，且O1OnAB， O1

4、On=n22rn+2rn=2n1rn 過點C作CHAB于點H，交O1On于點K，則CH=，CK=rn SCO1On=O1On·CK=n1rnrn S梯形AO1OnB= 2n1rn+10rn=n1rn+5rn SABC=SAO1C+SBOnC+SCO1On+S梯形AO1OnB， 24=3rn+4rn+n1rnrn+n1rn+5rn， 解得rn= 評析：通過面積關系，建立所求半徑的等量關系式，也是解決幾何計算題一種重要的途徑 【例題2】如圖，AB是O的直徑，AE平分BAF交O于E點，過點E作直線與AF垂直交AF的延長線于D點，交AB延長線于C點 1求證：CD與O相切于點E；2假設CE&#

5、183;DE=，AD=3，求O的直徑及AED的正切值 解題思路：1連OE，證OECD；2利用三角形相似線段成比例求半徑解：1連OE，易證OEA=OAE=EAD，OED=90°，得OECD，CD與O相切2連BE有BE=OE，易證RtABERtAED，CBECEA，得，設O半徑為R，則CO=R+，CA=+2R， ，解得R=或R=1舍， O直徑為，由CE2=CB·CA=， CE=，DE=，tanAED=2 評析：此題第2小題是幾何計算，不少考生怕這種題型，因它與證明題不同，證明題的結(jié)論是確定的，有目標可尋，而計算題則需要根據(jù)題設條件和學過的知識去分析和探索，包括一定的運算能力，這

6、就要求考生平時多練習，多思考，增強信心，才能攻克這樣的難關 探究實踐 【問題】重慶已知四邊形ABCD中，P是對角線BD上的一點，過P作MNAD，EFCD，分別交AB、CD、AD、BC于M、N、E、F，設a=PM·PE，b=PN·PF，解答以下問題： 1當四邊形ABCD是矩形時，見圖，請判斷a與b的大小關系，并說明理由； 2當四邊形ABCD是平行四邊形，且A為銳角時，見圖，1中的結(jié)論是否成立？請說明理由；3在2的條件下，設=k，是否存在這樣的實數(shù)k，使得？假設存在，請求出滿足條件的所有k的值；假設不存在，請說明理由 解題思路：1利用面積關系可證a=b；2可證SPEAM=PM&

7、#183;PEsinMPE，SPNCF=PN·PF，sinFPN由SPEAM=SPNCF，可得a=b；3利用等高三角形面積比等于底邊之比可求k值 1解：a=S矩形PEAM=SBDASPMB SPDE， b=S矩形PNCF=SDBC SBFP SDPN，可證得a=b 2解：成立仿1有SPEAM=SPNCF，作EHMN，可證SPEAM=EH·PM=PM·PEsinMPE同理SPNCF=PN·PFsinFPN由sinMPE=sinFPN，可得PM·PE=PN·PF即a=b 3解法一：存在連結(jié)AP，設PMB、PMA、PEA、PED的面積分別為

8、S1、S2、S3、S4，即 2k25k+2=0，k1=2，k2= 解法二：由2可知SPEAM=AE·AMsinA=AD·ABsinA k=2或 評析：巧用面積法解題，可化難為易，應引起注意 中考演練 一、填空題1黃岡如圖1，在ABCD中，EFAB，DE：EA=2：3，EF=4，則CD=_ (1) (2) (3) (4) 2四川如圖2，AB、AC是互相垂直的兩條弦，AB=8cm，AC=6cm，則O半徑OA長為_cm 二、選擇題 1福州如圖3，EF過矩形ABCD對角線交于點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的 A B C D 2黃岡如圖4，AB

9、C中，AB=AC，D為BC中點，E為AD上任意一點，過C作CFAB交BE的延長線于F，交AC于G，連結(jié)CE，以下結(jié)論中不正確的選項是 AAD平分BAC BBE=CF CBE=CE D假設BE=5，GE=4，則GF= 三、解答題1長春如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，C=60°，AD=CDE、F分別在AD、CD上，DE=CF，AF、BE交于點P，請你量一量BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論 2青島已知：如圖，AB是O的直徑，C為O上一點，且BCE=CAB，CE交AB的延長線于點E，ADAB，交EC的延長線于點D 1求證：DE是O的切線 2假設CE=3，BE=2，求CD的長 實戰(zhàn)模擬 一、

10、填空題1四川如圖5，在半徑為3的O中，B是劣弧AC的中點，連結(jié)AB并延長到D，使BD=AB，連結(jié)AC、BC、CD如果AB=2，那么CD=_ (5) (6) (7) 2杭州如圖6，在等腰RtABC中，AC=BC，以斜邊AB為一邊作等邊ABD，使點C、D在AB的同側(cè)；再以CD為一邊作等邊CDE，使點C、E在AD的異側(cè)假設AE=1，則CD的長為_ 3沈陽如圖7，已知在O中，直徑MN=10，正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OM、OP以及O上，并且POM=45°，則AB的長為_ 二、選擇題 1寧波如圖8，在四邊形ABCD中，E是AB上一點，ECAD，DEBC假設SBEC=1，SBEC=3，則

11、SCDE等于 A2 B C D (8) (9) (10) 2河南如圖9，半徑為4的兩等圓相外切，它們的一條外公切線與兩圓圍成的陰影部分中，存在的最大圓的半徑等于 A B C D1 3深圳如圖10，AB是O直徑，點D、E是半圓的三等分點，AE、BD延長線交于點C假設CE=2，則圖中陰影部分的面積是 A B C D 三、解答題 1寧夏如圖，在RtABC中，C=90°，AC=3，BC=4，點E在直角邊AC上點E與A、C兩點均不重合，點F在斜邊AB上點F與A、B兩點均不重合 1假設EF平分RtABC的周長，設AE的長為x，試用含x的代數(shù)式表示AEF的面積；2是否存在線段EF將RtABC的周長和面積同時平分？假設存在，求出此時AE的長；假設不存在，說明理由 2煙臺如圖，從O外一點A作O的切線AC、AC，切點分別為B、C，且O直徑BD=6，連結(jié)CD、AO 1求證：CDAO； 2設CD=x，AO=y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍； 3假設AO+CD=11，求AB的長答案: 中考演練 一、110 25 二、1B 2B