直線與圓知識點總結及例題

1、直線和圓知識點總結1 、直線的傾斜角 ：（ 1 ）定義 ：在平面直角坐標系中，對于一條與x 軸相交的直線l ，如果把 x 軸繞著交點按 逆時針方向轉 到和直線 l 重合 時所轉的 最小正角 記為，那么就叫做直線的傾斜角。當直線l 與 x 軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0 ；（ 2）傾斜角的范圍0,。如（ 1 ）直線 x cos3y 2 0 的傾斜角的范圍是_（答：0 ， 5，)）；66傾斜角的取值范圍是 0 180 .傾斜角不是 90 的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k 表示 .傾斜角是 90 的直線沒有斜率 .（2）過點 P(3,1), Q(0, m) 的直線的傾斜角的范圍,

2、2, 那么 m 值的范圍是33_（答： m2或 m4 ）2 、直線的斜率 ：（ 1 ）定義：傾斜角不是 90 的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率 k ，即 k tan (90)；傾斜角為90 的直線沒有斜率；（2 ）斜率公式 ：經(jīng)過兩點 P1 ( x1 , y1) 、 P2 ( x2 , y2 ) 的直線的斜率為 ky1y2 x1x2；（ 3 ）直線的方向向量x1x2a(1,k) ，直線的方向向量與直線的斜率有何關系？（ 4 ）應用 ：證明三點共線：kAB kBC 。如 (1) 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的_ 條件（答：既不充分也不必要） ；（ 2）實數(shù) x, y 滿足 3x 2

3、y5 0 (1 x3 )，則 y 的最大值、最小值分別為 _（答：x2 , 1）33 、 直 線 的方 程 ：（ 1 ） 點 斜式 ： 已 知 直 線過 點 ( x0 , y0 ) 斜 率 為 k ， 則 直 線 方 程為yy0k ( x x0 ) ,它不包括垂直于 x 軸的直線。直線的斜率 k0 時，直線方程為 yy1 ；當直線的斜率k 不存在時，不能用點斜式求它的方程，這時的直線方程為x x1 .（2 ）斜截式 ：已知直線在y 軸上的截距為 b 和斜率 k ，則直線方程為 y kxb ,它不包括垂直于x 軸的直線。 （ 3 ）兩點式 ：已知直線經(jīng)過P1 (x1, y1) 、 P2 ( x2

4、 , y2 ) 兩點，則直線方程為yy1xx1 ，它不包括垂直于坐標軸的直線。若要包含傾斜角為00 或 90 0 的直線，y2y1x2x1兩點式應變?yōu)? y y1 )( x2 x1 )( x x1 )( y2y1 )的形式 （）截距式 ：已知直線在 x 軸. 4和 y 軸上的截距為 a,b ,則直線方程為xy1，它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點ab的直線。（ 5）一般式 ：任何直線均可寫成AxBy C0 (A,B 不同時為 0) 的形式。如（ 1）經(jīng)過點（ 2 ， 1 ）且方向向量為v =( 1,3 )的直線的點斜式方程是_ （答：y13( x2(m 2) x(2 m 1) y(3m 4)

5、0，不管 m 怎樣變化恒2) ）；（ ）直線過點 _（答： (1, 2) ）；（3 ）若曲線 ya | x |與 y x a( a0) 有兩個公共點，則a 的取值范圍是 _（答： a1 ）提醒 ： (1) 直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？） ；(2) 直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為 0.直線兩截距相等直線的斜率為 -1 或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為 1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為1或直線過原點。 如過點 A(1,4)，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有_條（答： 3）4.設直線方程的一些常用技巧：（ 1

6、）知直線縱截距 b ，常設其方程為y kx b ；（2 ）知直線橫截距x0 ，常設其方程為 x myx0 (它不適用于斜率為 0 的直線 )；（ 3 ）知直線過點 ( x0 , y0 ) ，當斜率 k 存在時，常設其方程為y k( x x0 ) y0 ，當斜率 k 不存在時，則其方程為 xx0 ；（ 4 ）與直線 l : Ax ByC0 平行的直線可表示為Ax By C10 ；（ 5）與直線l : AxBy C 0 垂直的直線可表示為Bx Ay C10 .提醒 ：求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。5 、點到直線的距離及兩平行直線間的距離：（ 1 ）點 P( x

7、0 , y0 ) 到直線 AxByC0的距離 dAx0 By0 C；A2B2（ 2 ）兩平行線 l1 : AxByC10, l2 : AxByC2C1C20 間的距離為 dA2B2。6 、直線 l1 : A1 xB1 yC10 與直線 l2 : A2 xB2 yC20 的位置關系 ：（1）平行A1B2A2 B10（斜率）且 B1C2B2C10 （在 y 軸上截距）；（2）相交A1B2A2 B10 ；（3）重合A1B2A2 B10且 B1C2B2C10 。提醒：（1） A1B1C1、 A1B1、A1B1C1僅是兩直線平行、相交、重A2B2C2A2B2A2B2C2合的充分不必要條件！為什么？（ 2

8、 ）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線l1 : A1xB1 yC10與直線 l 2 : A2 xB2 yC20垂直A1 A2B1 B20 。如（ 1）設直線l1: x my60和l2 : (m2) x3y2m0，當 m _時；當 m l1 l 2_時 l1l2 ；當 m _時 l1 與 l2 相交；當 m _時 l1 與 l2 重合（答：13且m1；3 ）；（ 2）已知直線 l 的方程為 3x4 y120 ，則與 l 平行， 1； m2且過點（ 1，3 ）的直線方程是 _（答： 3x4y90 ）；（ 3

9、）兩條直線 axy4 0與 xy 2 0 相交于第一象限，則實數(shù)a 的取值范圍是_（答：1a 2）；（ 4 ）設a,b,c 分別是 ABC中A 、B 、C 所對邊的邊長，則直線sin A x ay c 0 與bx sin B ysin C0 的位置關系是 _ （答：垂直） ；（ 5 ）已知點 P1 ( x1, y1 ) 是直線l : f (x, y)0 上一點， P2 (x2 , y2 ) 是直線 l 外一點，則方程 f (x, y)f (x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) 0 所表示的直線與l 的關系是 _（答：平行）；（6 ）直線 l 過點（，），且被兩平行直線 3xy6 0 和

10、 3x y 3 0 所截得的線段長為 9，則直線 l的方程是 _（答：4x 3 y40和 x1）7、特殊情況下的兩直線平行與垂直:當兩條直線中有一條直線沒有斜率時：(1) 當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90，互相平行； (2) 當另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90，另一條直線的傾斜角為0 ，兩直線互相垂直8、對稱 （中心對稱和軸對稱） 問題代入法 ：如（ 1 ）已知點M (a, b) 與點 N 關于 x 軸對稱，點 P 與點 N 關于 y 軸對稱，點 Q 與點 P 關于直線 x y0 對稱，則點 Q 的坐標為 _（答： (b, a) ）；（ 3）點（，）關于直線l

11、 的對稱點為 ( 2,7) ，則 l 的方程是 _（答： y=3x3 ）；（4）已知一束光線通過點（，），經(jīng)直線 l :3x 4y+4=0 反射。如果反射光線通過點 （，15 ），則反射光線所在直線的方程是_（答： 18x y510 ）；（ 5）已知ABC 頂點 A(3 ， )，邊上的中線所在直線的方程為 6x+10y 59=0 ，B 的平分線所在的方程為x 4y+10=0 ，求邊所在的直線方程（答： 2x9 y650 ）；（6 ）直線 2xy4=0 上有一點，它與兩定點（4, 1）、（ 3,4 ）的距離之差最大，則的坐標是_（答：（ 5,6 ）；（ 7 ）已知 Ax 軸，Bl : yx， C

12、（ 2 ， 1），ABC 周長的最小值為 _（答：10 ）。提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。9. （1）直線過定點。如直線（3m+4 ）x+(5-2m)y+7m-6=0,不論 m 取 何值恒過定點（-1 ，2）（ 2）直線系方程（1 ）與已知直線Ax+By+C=0平行的直線的設法:Ax+By+m=0 (mC)( 2 ) 與已知直線Ax+By+C=0垂直的直線的設法: Bx-Ay+m=0（ 3）經(jīng)過直線l1 A1 x+ B1 y+ C1 =0 ， l 2 A2 x+ B2 y+ C 2 =0 交點的直線設法：A1 x+ B1 y+ C1 +（A2 x+ B2 y+ C2

13、 ） =0 （為參數(shù)，不包括 l2 ）（ 3）關于對稱 （ 1 ）點關于點對稱（中點坐標公式）（ 2 ）線關于點對稱（轉化為點關于點對稱，或代入法，兩條直線平行）（ 3 ）點關于線對稱（點和對稱點的連線被線垂直平分，中點在對稱軸上、kk = -1 二個方程）（ 4 ）線關于線對稱（求交點，轉化為點關于線對稱）10 、圓的方程 ：圓的標準方程：xa2y2r 2 。b圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D 2 E24F0) ，特別提醒 ：只有當D 2E24F0 時，方程 x2y2Dx EyF0 才表示圓心為 (D ,E ) ，半徑為122D 2E24F 的圓（二元二次方程Ax2BxyCy 2DxE

14、y F0表示圓的充要2且 D 2E2條件是什么？（ AC0,且 B04 AF0 ）；圓的參數(shù)方程：xar cos（為參數(shù)），其中圓心為 (a,b) ，半徑為 r 。圓的ybr sin參數(shù)方程的主要應用是三角換元：x2y2r 2xr cos, yr sin； x2y2txr cos, yr sin(0rt ) 。Ax1, y1, Bx2 , y2 為直徑端點的圓方程xx1xx2yy1yy20如（ 1 ）圓 C 與圓 ( x1)2y21 關于直線 yx 對稱，則圓 C 的方程為 _（答： x2( y1)21）；（ 2） 圓心在直線2x y 3 上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是 _ （答： (

15、x3)2( y3) 29 或 (x1) 2( y 1)21 ）；（ 3）已知P(1,3)是圓x r cos （為參數(shù)， 02) 上的點，則圓的普通方程為_，yr sinP 點對應的值為 _，過 P 點的圓的切線方程是_（答：x222y 4 ；3x3y40 ）；（ 4）如果直線 l將圓： x2+y2 -2x-4y=0平分，且不過第四象限， 那么 l 的斜率的取值范圍是_（答： 0， 2）；（ 5）方程 x2+y x+y+k=0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為（ 答：k1）（；6）若 M( x, y) |x3cos（為參數(shù)， 0) ，2y3sinN( x, y) | yxb ，若 MN，則 b 的

16、取值范圍是 _（答： 3,32）：已知點 Mx0 , y0及圓 C：x-a220 ，11 、點與圓的位置關系y br 2 rCM rx0222；（2）點 M 在圓 C 內（1）點 M在圓 C外ay0 brCM r2y02r 2 ；（ 3）點 M 在圓 C 上CM rx02x0 aba2r 2 。如 點 P(5a+1,12a)在圓 (x ) y2=1 的內部 ,則 a 的取值范圍是 _y0 b（答： | a |1）1312 、直線與圓的位置關系：直線 l : AxByC0 和圓 C：x2yb22arr0有相交、相離、相切。可從代數(shù)和幾何兩個方面來判斷：（ 1 ）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得

17、方程組的解的情況）：0相交；0相離；0相切；（ 2 ）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O圓心到直線的距離為d ，則dr相交； d r相離； dr相切。 提醒：判斷直線與圓的位置關系一般用幾何方法較簡捷。 如（ 1 ）圓 2x 22 y 21與直線 x siny10(R,2k，0 與圓 x2y2kz) 的位置關系為 _（答：相離）；（ 2）若直線 axby34x10切 于 點P( 1,2)ab的值_（答：2）；（3）直線x 2 y 0被 曲 線， 則x2y26x2 y 150 所截得的弦長等于（答： 45 ）；（4 ）一束光線從點 A( 1,1) 出發(fā)經(jīng) x 軸反射到圓C:(x-2

18、) 2+(y-3) 2 =1上的最短路程是（答： 4 ）；（ 5）已知M (a, b)( ab0) 是圓 O : x2y2r 2 內一點，現(xiàn)有以M 為中點的弦所在直線m 和直線l : ax byr 2 ，則 A m / l ，且 l 與圓相交B lm ，且 l 與圓相交C m / l ，且 l 與圓相離D lm ，且 l 與圓相離（答：C）；（ 6）已知圓 C： x2( y 1)25 ，直線 L： mxy 1 m0 。求證：對mR ，直線 L 與圓 C 總有兩個不同的交點；設 L 與圓 C 交于 A、B 兩點，若 AB17，求 L 的傾斜角；求直線L 中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程.

19、（答： 60或 120最長： y1，最短： x 1 ）13、圓與圓的位置關系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關系判斷）：已知兩圓的圓心分別為 O1， O 2 ，半徑分別為r1 , r2 ，則（ 1 ）當 |O1 O2r1r 2 時，兩圓外離； （ 2 ）當|O1 O2r1r 2 時，兩圓外切；（ 3 ）當 r1r2|O 1 O2r1r 2時，兩圓相交；（4）當|O1 O2r1r 2 |時，兩圓內切； （ 5 ）當 0|O1 O2 r1r 2|時，兩圓內含。如 雙曲線x2y21的左焦點為 F 1，頂點為 A 1、 A 2， P 是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段a2b2PF 1 、A1 A2 為直

20、徑的兩圓位置關系為（答：內切）14 、圓的切線與弦長：(1) 切線： 過圓 x2y2R2 上一點 P( x0 , y0 ) 圓的切線方程 是： xx0yy0R2 ，過圓( xa)2( yb) 2R2上一點P( x0 , y0 )圓的切線方程是：( x a )( x0 a) ( y a)( y0 a ) R2 ，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑） ；從 圓外一點引圓的切線一定有兩條 ，可先設切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；過兩切點的直線（即“切點弦）”方程的求法： 先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共

21、 弦 就 是 過 兩 切 點 的 直 線 方 程 ； 切 線 長 ： 過 圓 x2y2DxEyF0（( xa) 2( yb) 2R2）外一點P(x0 , y0 )所引圓的切線的長為x0 2y0 2Dx0Ey0F （( x0a) 2( y0b) 2R2 ）；如設 A 為圓 (x 1)2y21上動點，PA 是圓的切線， 且 |PA|=1 ，則 P 點的軌跡方程為_（答：(x1)2y22 ）；（ 2 ）弦長問題 ：圓的弦長的計算： （垂徑定理）常用弦心距d ，半弦長 1 a 及圓的2半 徑 r 所 構 成 的 直 角 三 角 形 來 解 ： r 2d 2( 1 a)2 ； 過 兩 圓 C1 : f

22、( x, y)0、2C2 : g ( x, y)0 交 點 的 圓 ( 公 共 弦 ) 系 為 f ( x, y)g ( x, y)，0 當1 時 ， 方 程f ( x, y)g (x, y)0 為兩圓公共弦所在直線方程.。15. 解決直線與圓的關系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質的作用(如半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!16. 圓的切線和圓系方程1過圓上一點的切線方程：圓x 2y 2r 2，圓上一點為 ( x0 , y0 )，則過此點的切線方程為 x0 x+y0 y=r 2(課本命題 )圓 x2y 2r 2 ，圓外一點為 (x0 , y0 )，則

23、過此點的兩條切線與圓相切，切點弦方程為 x0 xy0 yr 2 。2圓系方程：設圓C1 2y2D1 xE1 yF10和x圓 C2 x 2y 2D 2 x E2 y F20若兩圓相交，則過交點的圓系方程為x 2y2D1 xE1 y F1 + （x2y 2D 2 xE2 y F2 ） =0( 為參數(shù)，圓系中不包括圓 C2 ，=-1 為兩圓的公共弦所在直線方程)x2y2DxEyF0 與直線 l：Ax+By+C=0，若直線與圓相交，則過交設圓 C點的圓系方程為x 2y2DxEyF +(Ax+By+C)=0(為參數(shù)) 1 經(jīng)過點 P(2 ， m)和 Q(2 m， 5) 的直線的斜率等于1例題，則 m 的

24、值是 ( B )2A 4B 3C1或 3D1或4變： 求經(jīng)過點 A(2, sin), B(cos,1)的直線 l 的斜率 k 的取值范圍2.已知直線 l 過 P( 1， 2) ，且與以A( 2， 3) 、 B(3 ， 0) 為端點的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍1點評：要用運動的觀點，研究斜率與傾斜角之間的關系！答案：，5，)23.已知坐標平面內三點A(1，1)， B(1 ，1)，C(2， 31) ，若 D 為 ABC 的邊 AB 上一動CD 斜率 k 的變化范圍1答案： ， 5，)21. 求 a 為何值時，直線l1：(a 2) x (1 a)y 1 0 與直線 l2：(a 1) x (2

25、 a 3) y 2 0互相垂直？答案： a=-12. 求過點P(1 ， 1) ，且與直線2 ：2x 3y1 0 垂直的直線方程答案：3x 2y5 l0.例 2.求過定點 P(2 ， 3) 且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程例 3.已知ABC 的頂點 A(1 ， 1) ，線段 BC 的中點為 D(3， 3 )2(1)求 BC 邊上的中線所在直線的方程；(2)若邊 BC 所在直線在兩坐標軸上的截距和是9 ，求 BC 所在直線的方程例 4.方程 (m 2 2m 3) x (2 m 2 m 1) y2 m 6滿足下列條件，請根據(jù)條件分別確定實數(shù) m 的值 (1) 方程能夠表示一條直線； （答案： m1

26、 ）(2)方程表示一條斜率為 1 的直線（答案： m2）例5.直線 l 的方程為 (a 2) y (3 a 1) x 1( aR) 1 3(1) 求證：直線 l 必過定點；（答案： ( ， ) ）5 5(2) 若直線 l 在兩坐標軸上的截距相等，求l 的方程；（答案： 5x5 y 4 0 ）(3) 若直線 l 不過第二象限，求實數(shù) a 的取值范圍（答案：分斜率存在與不存在）例 1：求點 A(-2,3) 到直線l:3x+4y+3=0的距離d=。例 2：已知點（ a,2 ）到直線l: x-y+1=0 的距離為 2，則 a=。 (a 0)例 3:求直線 y=2x+3 關于直線 l: y=x+1 對稱的直線方程。類型一：圓的方程例 1 求過兩點 A(1 ,4) 、B(3 , 2) 且圓心在直線 y0 上的圓的標準方程并判斷點 P(2 , 4)與圓的關系變式 1 ：求過兩點 A(1 , 4)、 B(3,2)且被直線 y0 平分的圓的標準方程 .變式 2 ：求過兩點 A(1 , 4)、 B(3,2)且圓上所有的點均關于直線y 0 對稱的圓的