第二十三屆希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽

1、第二十三屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高一第 2 試2012 年 4 月 8日上午 9：00 至 11：00得分一、選擇題（每小題4 分，共 40 分）以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將表示正確答案的英文字母寫在每題后面的括號(hào)內(nèi)。1.設(shè) A,B是同一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則不是A B 成立的充要條件的是（）( A)sin Asin B(B)sin 2A sin 2B(C )cos A cosB (D )cos 2Acos 2B2.函數(shù) f (x)lg 2x 的單調(diào)增區(qū)間是（）( A)(,1)(3,)(B)(1, 2)( 3 ,(C)(,1)(2,3)(D)(1, 2)( 2 ,3.圖 1中

2、的圖形所表示的是將棱長(zhǎng)為a 的立方體用一個(gè)平面切割后剩下的幾何體，則它的體積不等于原立方體體積一半的有（）個(gè)。( A)3(B)4(C)5(D )64. an 是公比不為1 的等比數(shù)列，Sn 是 an 的前 n 項(xiàng)和。給出下面3 個(gè)命題：（1）若 an 中既有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)，那么 Sn 中也既有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)；（2） an 不可能同時(shí)具有最大值和最小值；（3） S10 , S20S10 , S30S20 , S40S30,構(gòu)成等比數(shù)列。其中，真命題的個(gè)數(shù)是（）( A)0(B)1(C)2(D )35.在正數(shù)數(shù)列 an 中， a11anan1, an1，則 a2012 （）44( A)1012025

3、(B)1012036(C )1013025( D )1013036.若存在 x1,2 ，使得 a 2x120 ，則 a 的取值范圍是（）( A)(1,3)(B)(,1 )( 3 ,)2222(C)( 1,3)(D )(, 1) (3,)4444.已知 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)M 在圓 C :( x4)2y 24上，對(duì)該坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn) N 和 P ，若 2ONOMMC MP0，則 NP 的取值范圍是（）( A)0,12(B)1,11(C )2,11( D)1,12 .已知關(guān)于 x 的方程 ax3bx2cxd0有三個(gè)不同的實(shí)根，其中一個(gè)是，則它的系數(shù)中不能是的僅有（）( A)a,c( B)b, c(

4、C )a, d( D )b,d.已知集合 A a |關(guān)于 x 的方程2 xa1有唯一實(shí)數(shù)解 ，則集合 A 的真子集的個(gè)數(shù)是4x29（）( A)0( B)3(C)7(D)8 .如圖所示，已知圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，F(xiàn)C 是軸截面ABC 底角ACB 的角平分線，BD 是底面的一條弦，且DBC 30 ，則直線 FC 與 BD 的距離是（）( A)14(B)2 7(C)37(D)72二、填空題（每小題4 分，共40 分）11.直角梯形 ABCD 中，ABC90 ，AD / /BC,ABAD 2, BC4, I 為 BD 的中點(diǎn)，直線 MN 過(guò) I 點(diǎn)，且與線段AB 、 CD 分別交于點(diǎn) M 、 N

5、 ，則 AN CM 的最小值是12.已知 yx2x 18 且 y10 x1 ，則 x 的取值范圍是13.當(dāng)a1,0x1f ( x)x2ax 8的最大值是時(shí)，函數(shù)14.若實(shí)數(shù) a, b 滿足 0ab1，則11f (x) x log a b x log a bx log b b的最小值是15.已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成首項(xiàng)、公比均是整數(shù)的等比數(shù)列，則公比的值等于16.Suppose m is integer, ifa(4, m),b( 2m, 4),OAa 2b, OB 2ab, OA OB ,Then the area of theOABis17.四面體 ABCD 的三組對(duì)棱分別相等，長(zhǎng)度分別為

6、3，4， x ，那么 x 的取值范圍是18.Suppose x, yR , andxy 2 ,then the value range for x32x2 y2y3 is19.設(shè)等比數(shù)列 an 的公比 q0,1,Sn 表示 an 的前 n 項(xiàng)的和， Tn 表示 an 前 n 項(xiàng)的乘積，T (k ) 表 示 a 的 前n項(xiàng) 中 除 去 第 k 項(xiàng) 后 所 剩 余 的 n 1 項(xiàng) 的 乘 積 ， 即nnTn (k )Tn (n, kN * , kn) ，則數(shù)列 Sn TnTn (n) 的前 n 項(xiàng)的和是akTn (1) Tn (2)（用 a1 和 q 表示）32420.在k3 的約數(shù)中，平方數(shù)有個(gè)k 1三、解答題每題都要寫出推算過(guò)程21.（本題滿分10 分）求數(shù)列 1，3+7 ， 13+21+31， 43+57+73+91 ，的第21 項(xiàng)中的第12 個(gè)數(shù)。22.（本題滿分15 分）在 AB6, AD4 的矩形紙片ABCD中剪去圓M與圓M'，其中圓M與 AB、AD相切，圓M ' 與BC、 CD相切，且圓M與圓M' 外切，則剩余部分的面積是否有最大值與最小值？若有，求出最值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由。23.（本題滿分15 分）已知函數(shù)f : RR