2010年全國(guó)各地?cái)?shù)學(xué)中考試題分類匯編-解直角三角形(共20頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十六課時(shí) 解直角三角形基礎(chǔ)知識(shí)回放考點(diǎn)1 勾股定理及逆定理1勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的_等于斜邊c的_，即。2勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c有這樣的關(guān)系：，那么這個(gè)三角形是_三角形。溫馨提示：利用勾股定理時(shí)，要注意求的是直角邊還是斜邊，前都用減法，而后者用加法，如沒(méi)有確定告訴的，還有討論。另外，在解題時(shí)，通常勾股定理與其逆定理同時(shí)應(yīng)用，即先判定出是直角三角形，然后再利用勾股定理解此三角形?？键c(diǎn)2 銳角三角函數(shù)1在RtABC中，若A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c且C=90°。（1）SinA=，叫做A的正弦，（2）CosA=，叫做A的余

2、弦，（3）tanA=，叫做A的正切，溫馨提示：若所給的邊不能直接求出想要求的三角函數(shù)，則可先通過(guò)勾股定理求出第三邊，然后在利用定義求出相應(yīng)地三角函數(shù)。2特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)0°30°45°60°90°Sin01Cos10tan01不存在溫馨提示：在忘記某個(gè)角的特殊值時(shí)，可自己動(dòng)手推導(dǎo)，即可設(shè)出某一邊的長(zhǎng)為1或2等簡(jiǎn)單數(shù)字，然后再利用直角三角形中特殊角與邊的關(guān)系，再結(jié)合勾股定理，推導(dǎo)出三邊的長(zhǎng)度，然后在利用三角函數(shù)的定義得出各個(gè)特殊角的三角函數(shù)值。3（1）互余角三角函數(shù)間的關(guān)系，如果AB=90°，那么SinA=CosB，CosA=

3、SinB。（2）同角三角函數(shù)的關(guān)系：=1，tanA=。（3）當(dāng)0°90°時(shí)，有0Sin1，0Cos1，tan0。銳角的正弦值與正切值都隨角度的增大而_，而銳角的余弦值都隨角度的增大而_?？键c(diǎn)3 解直角三角形1直角三角形的性質(zhì)及條件性質(zhì)：（1）直角三角形的兩個(gè)銳角_。（2）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的_。條件：（1）有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。（2）有兩個(gè)角_的三角形是直角三角形。（3）如果三角形一邊上的中線等于該邊的一半，那么此三角形是直角三角形。2解直角三角形：是指在直角三角形中，由已知的邊和角，求出未知的邊和角。溫馨提示：利用勾股定理，三角形內(nèi)角和定理以及銳角

4、三角函數(shù)等性質(zhì)即可解三角形，此技能，同學(xué)們一定要掌握。3仰角與俯角：如圖所示4坡度、坡角和坡比通常把坡面的鉛直高度與_的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示，_與水平面的夾角叫做坡角，記作。溫馨提示：再求有關(guān)坡度或坡比的計(jì)算時(shí)，常作的輔助線是過(guò)頂點(diǎn)作下底的高線。再利用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。5方位角如圖所示，AOB是方位角為北偏東°角。DOE的方位角為南偏東°角，若此時(shí)此角度為45°，通常稱為東南方向。EOF的方位角為南偏西°角。6解直角三角形的類型及解法已知一邊一角：（1）已知斜邊和一銳角分別為c、A，解法：B=90°A，a=cSin

5、A，b=cSinB=cCosA。（2）已知一直角邊和一銳角分別為a，A，解法：B=90°A，b=atanB，c=。已知兩邊：（1）已知兩直角邊a、b，解法：由tanA=求出A，B=90°A，c=。（2）已知一直角邊和斜邊分別為a，c，解法：由SinA=求出A，B=90°A，b=c·CosA=C·SinB。7（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（2）在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。（3）含有45°角的直角三角形是等腰直角三角形。溫馨提示：上述性質(zhì)在解題中會(huì)經(jīng)常用到，切不可忘記。在使用它們時(shí)，通常用方

6、程思想進(jìn)行求解，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化。中考熱點(diǎn)難點(diǎn)突破例1：如圖，ADCD，AB13，BC12，CD3，AD4，則sinB=（ ）例1圖A B. 分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，如勾股定理、勾股定理的逆定理、正弦函數(shù)的定義等，掌握不好其中的每一個(gè)性質(zhì)，解決本題都會(huì)出錯(cuò)，所以對(duì)于一些基本的定義或性質(zhì)都要準(zhǔn)確地掌握。解：因?yàn)锳DCD，CD3，AD4，根據(jù)勾股定理，得,又AB13，BC12，所以,所以ABC是直角三角形，所以sinB=.故選A.例2圖例2：如圖，斜坡AB的坡度i=：1，那么tanB的值為（ ） A. B. C. D. 分析：對(duì)于坡度、正切等的相關(guān)定義掌握好是解決好本題的關(guān)鍵。 解：根據(jù)坡度的定

7、義可知：1=AC：BC，又根據(jù)正切的定義可知，tanB的值正好與AB的坡度值相等，所以應(yīng)該選擇C。例3：如圖，小明在樓頂處測(cè)得對(duì)面大樓樓頂點(diǎn)處的仰角為52°，樓底點(diǎn)處的俯角為13°若兩座樓與相距60米，則樓的高度約為_米（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）例3圖（，）分析：本題考察了銳角三角函數(shù)應(yīng)用，主要是利用直角三角形的邊角關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題.對(duì)于俯角、仰角等相關(guān)定義要理解準(zhǔn)確，并能利用圖形，做出相關(guān)的輔助線，求出正確的解。解： 作AECD于E，得矩形ABDE，AE=BD=60米.EAD=13°，CAE=52°.tanCAE=，tan52°=，CE1.27

8、99×60=76.794.例4圖tanEAD =，tan13°=，DE0.2309×60=13.854.樓的高度約為：90.6米.例4：如圖，在RtABC中，CAB=90°，AD是CAB的平分線，tanB=，則CDDB= . 分析：此題考查解直角三角形的有關(guān)知識(shí), 解決此類問(wèn)題關(guān)鍵在于用一個(gè)未知數(shù)表示出兩個(gè)相關(guān)的量,通過(guò)相比約去公共的未知數(shù),得到比值.解：RtABC中，CAB=90°，tanB=，若設(shè)AC=x，則AB=2x，BC=x，過(guò)點(diǎn)D作DEAB于E，因?yàn)锳D是CAB的平分線，所以DE=AE,設(shè)DE=a,則,AE=a,BE=2a,DB=b所

9、以3a=2x.,解得x=a,所以CB=,CD=a=.則CDDB=:=1:2.中考效能測(cè)試1（09年蘭州）如圖，在平地上種植樹木時(shí)，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為4m如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為A5m B6m C7m D8m2（09年長(zhǎng)春）菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A B C D3(09年河北)圖是某商場(chǎng)一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖其中ABCD分別表示一樓、二樓地面的水平線，ABC=150°，BC的長(zhǎng)是8 m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是（ ）A mB4 m C m D8 mxyOCBA第2題圖

10、第1題圖ABCD150°第3題圖h4（09年內(nèi)蒙古包頭）已知在中，則的值為（ ）A B C D5（09年吉林?。挒?cm的長(zhǎng)方形紙條折疊成如圖所示的形狀，那么折痕的長(zhǎng)是（ ）Acm Bcm Ccm D2cm6（09年深圳市）如圖，在矩形ABCD中，DEAC于E，EDCEDA=13，且AC=10，則DE的長(zhǎng)度是（ ）A3 B5 C D第8題圖第6題圖第5題圖60°PQ2cm7（09年天津市）2sin的值等于（ ）A1BCD2 8. 如圖，在四邊形ABCD中，DACB90°，CD12，AD16，BC15，則AB（ ）A. 20B. 25C. 35D. 309有一個(gè)

11、角是30·的直角三角形，斜邊長(zhǎng)為1，那么斜邊上的高為多少? （ ）A. B. C. D.10的值等于（ ）A B. C. D.1第11題圖 二、填空題（每小題3分，共30分）11如圖，在坡度為1：2 的山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是6米，斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是 米。12（09年濟(jì)南）如圖，是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則的值是 13（09年濟(jì)南）九年級(jí)三班小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“測(cè)量物體高度”一節(jié)課后，他為了測(cè)得右圖所放風(fēng)箏的高度，進(jìn)行了如下操作：（1）在放風(fēng)箏的點(diǎn)處安置測(cè)傾器，測(cè)得風(fēng)箏的仰角；（2）根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度出風(fēng)箏線的長(zhǎng)度為70米；（3）量出測(cè)傾器的高度米根

12、據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算出風(fēng)箏的高度約為 米（精確到0.1米，）14（09年安徽）長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60°角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了 m15（09年寧波市）如圖，在坡屋頂?shù)脑O(shè)計(jì)圖中，屋頂?shù)膶挾葹?0米，坡角為35°，則坡屋頂高度為 米（結(jié)果精確到0.1米）ADBEC60°第13題圖第14題圖ABChl第15題圖第12題圖OAB第16題圖16（09年南寧市）如圖，一艘海輪位于燈塔的東北方向，距離燈塔海里的處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處，則海輪行駛的路程為 _海里（結(jié)果保留根號(hào)） 17（

13、09年包頭）如圖，在中，與相切于點(diǎn)，且交于兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是 （保留）18（09年包頭）如圖，已知與是兩個(gè)全等的直角三角形，量得它們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小銳角為30°，將這兩個(gè)三角形擺成如圖（1）所示的形狀，使點(diǎn)在同一條直線上，且點(diǎn)與點(diǎn)重合，將圖（1）中的繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖（2）的位置，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為 cm（保留根號(hào)）第16題圖GAEC(F)DB第18題圖EABC(F)D第18題圖第17題圖ANCDBM19(09寧夏)在中，則的值是 20（09年山東青島市）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm 和3cm，高為6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞

14、一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要 cm；如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要 cmBA6cm3cm1cm第20題圖 三、解答題（共60分）21（本題9分，各3分）計(jì)算下列各題：（1） (09年湖州)計(jì)算：（2）（09眉山）計(jì)算：（3）22（本題6分）（09遼寧朝陽(yáng)）一艘小船從碼頭出發(fā)，沿北偏東方向航行，航行一段時(shí)間到達(dá)小島處后，又沿著北偏西方向航行了10海里到達(dá)處，這時(shí)從碼頭測(cè)得小船在碼頭北偏東的方向上，求此時(shí)小船與碼頭之間的距離（，結(jié)果保留整數(shù)）23（本題7分）（09眉山）海船以5海里/小時(shí)的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向，

15、2小時(shí)后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)燈塔B在海船的北偏西45方向，求此時(shí)燈塔B到C處的距離第23題圖24（本題7分）(09年南充)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，軸于A（1）求的值；（2）將點(diǎn)B繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后記作點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；OxAB11第24題圖y（3）將平移得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在坐標(biāo)系中作出，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)25（本題7分）（09年臺(tái)州市）如圖，有一段斜坡長(zhǎng)為10米，坡角，為方便殘疾人的輪椅車通行，現(xiàn)準(zhǔn)備把坡角降為5° （1）求坡高;第25題圖DCBA5°12°（2）求斜坡新起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離（精確到0.1米）26（本

16、題8分）某片綠地形狀如圖所示，其中ABBC，CDAD，A=60·，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的長(zhǎng)第26題圖27（本題8分）（09柳州）如圖8，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為，看這棟高樓底部的俯角為，熱氣球與高樓的水平距離為66 m，CAB第27題圖這棟高樓有多高？（結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：） 28（本題8分）（09年涼山州）如圖，要在木里縣某林場(chǎng)東西方向的兩地之間修一條公路，已知點(diǎn)周圍200米范圍內(nèi)為原始森林保護(hù)區(qū)，在上的點(diǎn)處測(cè)得在的北偏東45°方向上，從A向東走600米到達(dá)處，測(cè)得在點(diǎn)的北偏西60°方向上（1）是否穿

17、過(guò)原始森林保護(hù)區(qū)？為什么？（參考數(shù)據(jù)：）（2）若修路工程順利進(jìn)行，要使修路工程比原計(jì)劃提前5天完成，需將原定的工作效率提高25%，則原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要多少天？CBNMA第28題圖參考答案基礎(chǔ)知識(shí)回放平方和 平方 直角 增大 減小 互余 一半 互余 水平寬度 坡面一、選擇題1A【解析】本題主要考查直角三角形問(wèn)題。tan=0.75=,因?yàn)樗骄嚯x為4m，所以鉛直高度為0.754=3m，根據(jù)勾股定理知，坡面相鄰兩株數(shù)間的坡面距離為5m。故選A。2C【解析】過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，則構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，利用勾股定理可求得此三角形的直角邊為1，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為3B【解析】本題屬于基礎(chǔ)題，考查學(xué)生利用三

18、角函數(shù)的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算的能力，過(guò)C作CEAB,在RtCBE中，由三角函數(shù)的定義可知CE=BC·sin30°=8×=4m.故選B.一些同學(xué)往往對(duì)三角函數(shù)的定義記不準(zhǔn)確而出錯(cuò)。4A 【解析】本題考查三角函數(shù)的定義和勾股定理，在RTABC中，C=90°，則，和；由知，如果設(shè)，則，結(jié)合得；，所以選A5B【解析】本題考查折疊與解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，由圖中條件可知紙片重疊部分的三角形是等邊三角形，此三角形的高是2，求邊長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)可求出PQ的長(zhǎng)為，故選B。規(guī)律總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是判斷出重疊部分的三角形是等邊三角形，而要得到重疊部分的三角形是等邊三角形則

19、必須利用折疊（即軸對(duì)稱）對(duì)應(yīng)角相等來(lái)說(shuō)明，對(duì)于圖形折疊的問(wèn)題在不少地區(qū)的中考題中都出現(xiàn)，也是各地考查軸對(duì)稱的一種主要題型。6D【解析】EDCEDA=13，且ADC=90°，則EDC=22.5°，則DOE=45°，又AC=10，則AO=OD=5，根據(jù)勾股定理可求得：DE=7A【解析】本題考查學(xué)生對(duì)特殊角三角函數(shù)值的識(shí)記，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值可得的值等于，故選A.8B9C【解析】本題可結(jié)合圖形，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，及勾股定理求解。10A二、填空題11米【解析】要正確理解坡度的含義。12【解析】連結(jié)AB，利用勾股定理可得OB=2，OA=AB=，利用勾

20、股定理的逆定理可得AOB是以O(shè)B為斜邊的直角三角形，則cosAOB=。本題綜合考查了利用勾股定理及其逆定理以及三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的函數(shù)值的能力，屬于基礎(chǔ)題，一般借助構(gòu)造直角三角形求解，學(xué)生解答時(shí)往往對(duì)三角形的定義不明確而出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。1316.1【解析】在RtCBD中，由三角函數(shù)的定義可知DC=BC·sin60°=70×60.62.又因AB=1.5，則得CE=60.62+1.562.1米.本題也屬于基礎(chǔ)題，考察了利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算的能力，一些同學(xué)往往對(duì)三角函數(shù)的定義記不準(zhǔn)確而出錯(cuò)。14【解析】開始時(shí)梯子頂端離地面距離為移動(dòng)后梯子頂端離地面距離為，故

21、梯子頂端沿墻面升高了本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用的知識(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，化歸在特定直角三角形計(jì)算。153.5【解析】在直角三角形ABD中，解得。ABCFDh本題考查了解直角三角形，解直角三角形的關(guān)鍵是熟記三角函數(shù)公式。本題須借助于計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果要注意符合題目中精確到0.1米的要求。16【解析】的長(zhǎng)等于+，而在直角中，450，所以sin45040，所以40，在直角中，40，300，所以cos300=，所以+40+.命題規(guī)律與趨勢(shì)：本題考察解直角三角形的知識(shí)。要先將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型。分別在兩個(gè)不同的三角形中，借助三角函數(shù)的知識(shí)，研究角和邊的關(guān)系。一般為測(cè)量物體的高度或測(cè)量不可到

22、達(dá)的地方的寬度。17 【解析】考查點(diǎn)：本題考查三角形和扇形面積的求法及三角函數(shù)有內(nèi)容。解題思路：圖中陰影部分的面積等于，連結(jié)AD，在ABC中，AB=AC，A與BC相交于點(diǎn)D，則ADBC，B=30°， 18【解析】考查點(diǎn)：本題考查旋轉(zhuǎn)和三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容。解題思路：由題意知，在TRABC中，A=30°，B=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知圖(2)中，CB=CE， BCE為等邊三角形。ECB=60°，ECG=30°；而FED=60°。EGC=90°，在RTDEF中，CE=EF，在RTCEG中，。19【解析】本題考查銳角三角函數(shù)值的計(jì)算能力。在直角三角形ABC中，C=90º，cosA=2010，（或）【解析】將長(zhǎng)方體按題意展開，得到所用細(xì)線的最短長(zhǎng)度為AB，根據(jù)勾股定理，得。AB33116C同理，當(dāng)沿側(cè)面繞n圈時(shí)，將長(zhǎng)方體按題意展開得到下圖：AB6C88n個(gè)8，即8n根據(jù)勾股定理，得。易錯(cuò)易混點(diǎn)：有的學(xué)生沒(méi)有把握本題的實(shí)質(zhì)，沒(méi)有將本題中的長(zhǎng)方體進(jìn)行展開處理，導(dǎo)致解題陷入困境。另外，相當(dāng)多的同學(xué)沒(méi)有考慮到繞n圈的解決方法同一圈的解決方法是完全一樣的，而感覺(jué)到本題的第二問(wèn)無(wú)從下手。命題規(guī)律與趨勢(shì)：舉一反三是考察