銑削顫振穩(wěn)定性

1、銑削顫振穩(wěn)定性和離散時域頻率Y. Altintas a, G. Stepan b, D. Merdol a, Z. Dombovari b加拿大 英屬哥倫比亞的溫哥華 應用科學小巷時2054 6250年 不列顛哥倫比亞大學 機械工程學系 制造自動化實驗室 匈牙利 1111年布達佩斯Muegyetem rkp.5. 布達佩斯理工大學與經(jīng)濟學 應用力學部門摘要：銑削顫振穩(wěn)定性操作已獲得極大關注,以期改善在高速加工鋁合金和低速切削難切、耐熱合金中的材料去除率。本文用傳統(tǒng)的方式介紹了顫振頻率和離散時域穩(wěn)定性銑削操作的規(guī)律。時間周期動態(tài)銑削過程動力學仿制。由平均每場時變定向因素在刀具間隔，可直接和分析的

2、解決穩(wěn)定性葉。當這個過程是高度間歇的，穩(wěn)定葉可以通過在頻域采取高次諧波定向因素，或使用半離散化方法得以更準確的解決。本文對數(shù)值解和實驗的穩(wěn)定解決方案進行比較，并提供全面的數(shù)字細節(jié)都基本穩(wěn)定的解決方案。關鍵詞：振動； 銑削； 穩(wěn)定性。1 引言 顫振在金屬切削中是一種不穩(wěn)定的自激振動，當切削力在靈活的工具和工件的切削點之間產(chǎn)生一個相對位移時，該切削厚度由于過去和現(xiàn)在的振動在其內(nèi)外表面波動。動態(tài)切削系統(tǒng)是指耦合，延遲微分方程。根據(jù)系統(tǒng)的增益和相之間的波動，動態(tài)切削系統(tǒng)可能會不穩(wěn)定，導致切削成倍增長，因此較大切削力和振動直到工具停止切削或者機器工具裝置受損為止。它一直是金屬切削系統(tǒng)動態(tài)模型研究的目標，

3、并且預測工作材料，機床機構(gòu)動力學，刀具幾何參數(shù)和切削條件之間的關系。數(shù)學模型的穩(wěn)定性保證更好的機床和刀具設計。以及在昂貴的機加工試驗之前預測最具生產(chǎn)力的切割狀態(tài)。Koenigsberger、Tlusty1和Tobias2是在芯片的再生和一維顫振的穩(wěn)定性的制定之后進行機械結(jié)構(gòu)制定的領導先鋒。他們認為，切削力的方向以及沿切削厚度的預計振動是不變的，像車削、鏜削、拉削一樣，這是真正的單點切割操作。Tlusty在最大切割深度，結(jié)構(gòu)剛度和工藝過程的比切削系數(shù)之間，提出了一個簡單的關系。他的方程給出了最大切割深度線性正比于動態(tài)剛度并且與切削系數(shù)成反比。較高的動態(tài)剛度和較低的材料切削系數(shù)（即硬度）導致高的材

4、料去除率。Tobias提出了一個類似的模式，但包括內(nèi)部和外部之間在芯片表面的波的階段性影響，并且發(fā)明了穩(wěn)定性葉瓣2。穩(wěn)定性葉瓣在高主軸速度銑削鋁合金時導致高材料去除率3。與單點金屬切削不同，銑削通過有多個刀齒的旋轉(zhuǎn)刀具進行。切削力的方向隨刀具旋轉(zhuǎn)改變，并且如果齒間距是可以改變的，當?shù)毒哂幸粋€統(tǒng)一的間距或者主軸時間間隔時，系統(tǒng)在刀齒通過的間隔就是周期性的。Tobias和同事們提出了銑削動力學數(shù)值模擬，包括飽和度，如刀具跳出切削4,5。Sridhar 6等制定了動態(tài)銑削系統(tǒng)的的封閉形式,但其解決方案是由Minis等人7首次成功完成的,他們用弗洛凱特理論對給定切削條件的穩(wěn)定性進行評估。Altinta

5、s和Budak提出了第一個解析解，這導致了對于直接在頻域的穩(wěn)定葉的預測。Altintas和Budak還表明當以少量徑向切入的切削過程是高度間歇時，高階的解決方案可提供改進的預測。Stepan10-12和同事，以及Bayly13等解決了離散時間域的穩(wěn)定性，這直接允許列入周期性變化的系統(tǒng)參數(shù)。在本文中，其余的研究工作主要是推廣所提到的離散的頻域和時域解決方案的應用。本文介紹的頻域和半離散時域顫振穩(wěn)定性的解決方案是由作者提出的，銑削穩(wěn)定性的零序和多頻解決方案是由Altintas和Budak提出的，并由他們進行了總結(jié)。銑削穩(wěn)定性的半離散時域的解決方案也是由Stepan 10-12和同事提出的。這兩種模

6、式的比較以及在不同切削條件下他們各自的優(yōu)勢是通過簡單的例子提出來的。本文總結(jié)了每種技術的應用，希望本文為金屬切削銑削顫振穩(wěn)定性的深入研究提供了一個全面理論。圖 1 動態(tài)銑削系統(tǒng)2 動態(tài)銑削一個N齒銑刀在正交方向（X,Y）可以認為具有靈活性，如圖1所示。振動在徑向或沿切削厚度方向使旋轉(zhuǎn)齒數(shù)j在瞬時角沿垂直軸(y)的順時針方向測量。如果主軸的旋轉(zhuǎn)角速度以(弧度/秒)轉(zhuǎn)動，由此產(chǎn)生的由振動引起的再生切削厚度是8(t)=(x(t)sin(t)+y(t)cos(t)g(t) (1)x(t)=x(t)-x(t-T), y(t)=y(t)-y(t-T)和t=T的中不同的振動在于齒間傳遞的時間間隔，函數(shù)g()

7、用來顯示刀齒是否切入或切出。g()= (2)在和角處，分別是開始和退出刀具及切割的瞬時切入角。作用于刀齒j上的切向（）和徑向（）切削力與軸向切削深度（a）和切削厚度（h）成正比:(t)= a(t), (t)=(t) (3)切削系數(shù)和是不變的，在x和y軸方向解決切削力為 = -cos-sin, = +sin-cos， (4)總和由所有刀齒引起的切削力，作用在刀具上總的動態(tài)銑削力為=, =, (5)其中，=+j和刀具的傾斜角為=2/N。將切削厚度(1)和切削力(3)帶人(4),會重新得到矩陣形式的結(jié)果=a, (6)由以下公式可以得出時變方向的動態(tài)銑削力系數(shù)考慮到刀角位置隨時間和角速度的變化，可以用

8、以下矩陣形式來表示(6)=a (8)，當?shù)毒咝D(zhuǎn)時，刀具的定向因素隨時間變化，等于刀具的傳遞頻率=N或者等于刀具周期T=2/r。運用數(shù)學例證的目的是，假設機床的以下兩個正交頻率響應函數(shù)(FRFS)用以反映刀具 (9)工件的結(jié)構(gòu)動力學可以運用到正交頻率響應函數(shù)中，由此產(chǎn)生的動態(tài)銑削過程可以用以下耦合延遲微分方程表示= (10)顫振穩(wěn)定性問題被定義為臨界軸切削深度(a)和刀齒周期或延遲時間(T)。延遲時間可以帶來微分方程的耦合和復雜性的解決方案。系統(tǒng)穩(wěn)定性已經(jīng)由Altintas和Budak在頻域范圍內(nèi)解決，Insperger和Stepan在離散時域的概述如下。3 銑削顫振穩(wěn)定性的頻域解決方案Alt

9、intas 9和Budak 8對于銑削穩(wěn)定性問題，提出了以下頻域解決方案。如果動態(tài)銑削系統(tǒng)在頻率及其穩(wěn)定，則振動量可以用以下公式表示 (11)從時間(8)轉(zhuǎn)換到頻域的動態(tài)切削力為=a (12)其中，*表示卷積積分，在頻率域差分振動根據(jù)公(11)具有以下形式：將帶入動態(tài)銑削方程得到：=a (13)定期定向矩陣可以擴展成傅里葉系列： (14)和分別表示狄拉克函數(shù)和傅里葉轉(zhuǎn)換公式，定向矩陣在刀齒傳遞頻率或刀具俯仰角是定期的，并且當?shù)毒咄Ｖ骨懈顣r具有零值。 (15)通過引入一個變化的變量，刀具的俯仰角，并且考慮到定向矩陣元素只有在切入的時間間隔內(nèi)才有非零值。 (16)其中的每一項都取決于諧波計數(shù)器(r

10、)，即 其中，。根據(jù)切入條件和切入的刀齒數(shù)，刀齒傳遞頻率()的諧波數(shù)目被認為函數(shù)的精確重構(gòu)。Altintas和Budak提出了零階和多頻方案，其中的諧波數(shù)目分別是和。而零階解決方案是直接和分析的解決問題，并證明在銑削操作中時最實用的，當徑向切入很小時，多頻解決方案可以改善頻率。3.1 零階解決方案在最簡單的近似值中，傅里葉級數(shù)的展開式中平均每項(r=0)時，即為 (17)其中，綜合函數(shù)可表示為， ， 當時間條件被忽略時，系統(tǒng)就會失去其周期性變化，從而變成一個時間不變的系統(tǒng)。在臨界穩(wěn)定邊界的振動頻率下，切削力的表達具有以下形式 (18)其代入動力方程(13)為， . (19)通過運用移位定理，是

11、在刀齒周期T的連續(xù)振動之間的相位延遲，現(xiàn)在平均定向因素是獨立的，但同時取決于徑向切削常數(shù)和刀具切入邊界。動態(tài)銑削的穩(wěn)定性可以轉(zhuǎn)為以下簡單的特征值問題，從而得到依據(jù)系數(shù)的二階特征方程。 (20)最后，臨界軸向切削深度和主軸轉(zhuǎn)速的解析公式為 (21)在8中，可以發(fā)現(xiàn)構(gòu)建穩(wěn)定葉的推導的細節(jié)和過程。零階解決方案已應用于可變螺距銑刀14、球頭銑刀15和三維再生銑刀16的穩(wěn)定性。Altintas等人解釋說，在大多數(shù)情況下零階解決方案就足夠了，因為大多數(shù)的能量維持在模態(tài)頻率附近，以及諧波以結(jié)構(gòu)模式過濾。3.2 銑削顫振穩(wěn)定性的多頻解決方案當徑向切入的切口比較小時，銑削過程中會出現(xiàn)高度間歇性的定向因素，這將引

12、起具有高頻率的力波形。在這種情況下，平均定向因子可能不足以預測小徑向切入高主軸轉(zhuǎn)速的穩(wěn)定性。由于周期性的定向矩陣，傅里葉理論認為周期力在具有額外振動頻率的刀具振動的穩(wěn)定邊界上，具有以下解決方案。 (22)在刀齒傳遞頻率為時，是周期性的。切削力根據(jù)調(diào)制定理具有以下形式 (23)將(23)帶入(13)得到 (24)根據(jù)狄拉克函數(shù)定義，動態(tài)銑削力在頻率域可以寫成。由于r ,延遲期限將獨立于r。 (25)頻域解決方案可用于包括像下面17中以計算復雜度為準的高頻諧波 (26)定向矩陣是刀齒傳遞頻率的一個周期函數(shù)，將其帶入動態(tài)切削力方程(25)得 (27)根據(jù)柯西定理(28)再根據(jù)移位定理，動態(tài)切削力變?yōu)?/p>

13、從(23)中可以得到力的傅里葉系數(shù)為 (29)其中，r是一個整數(shù)，并且在加減號之間的變化時無窮的。通過總結(jié)公式,系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以由以下特征值問題進行定義 (30)其中，特征值,特征向量,以及帶有定期定向因素的導向頻率響應函數(shù)為 (31)如果我們采用r數(shù)量的刀齒傳遞頻率諧波代入計算，特征值矩陣的維度為,其中是將顫振考慮在內(nèi)的正交靈活性。例如，如果r=1,在方向(x, y)的靈活性為=1,矩陣維度為。從解決方案中的得到的特征值與矩陣(M)的數(shù)值相等，由注意到，特征值數(shù)q可以表示為, (32)由于切割深度是一個物理量，虛切割深度必須為零。這就得到 (33)主軸轉(zhuǎn)速為 (34)對于，波間相移的評估需要

14、解決特征值，其取決于對于在刀齒傳遞頻率的諧波的頻率響應函數(shù)的評估。因此，不像零階解決方案，也沒有對于切削深度的直接解決方案。相反，為尋求特征值，主軸轉(zhuǎn)速范圍必須經(jīng)由每個顫振頻率掃描。對于給定的轉(zhuǎn)速，切削深度的特征值及其相應的價值可以通過(32)估算得到。與零頻解決方案相比，多頻解決方案的計算量明顯較大。會有數(shù)M的特征值，并作為最終解決方案必須考慮每步迭代計算中最為保守和積極的切削深度。但是，零階解決方案只考慮了定向因素的平均值，在幾秒鐘內(nèi)直接得出了穩(wěn)定葉。4. 半離散時域解Insperger和Stepan提出了一個在時間離散域?qū)τ陬澱穹€(wěn)定性的解析解，定期銑削力隨時間改變，在(10)中自激和延遲

15、可以由以下一階方程表示 (35)其中，延遲時間被分為離散時間間隔，即，如圖2所示。在當前時間將數(shù)值簡單的表示為，在時間表示為。當采樣間隔相當小時，的值在兩個連續(xù)的采樣間隔間的平均值可近似為 (36)在(35)中表述的動態(tài)系統(tǒng)在離散時間間隔可以重新表達為 (37)微分方程在小的時間間隔中，既有共同值，也有特定值，即 (38)共同值可以由下面的公式得到 (39)取決于初始條件，特定值可以通過下面公式得到 (40)系統(tǒng)的完整解為 (41)圖 2 離散周期信號當系統(tǒng)方程中時， (42)由于在時間間隔時改解有效，則在時 (43)在之前，該解需要之前的值和一個延遲，在離散時間間隔一系列的方程可以表示為 (

16、44)其中，注意定向矩陣在每個采樣時間間隔各不相同，像狀態(tài)矩陣取決于一樣。隨時間變化的銑削過程可以通過求解在時間間隔的離散集的遞歸公式(43)進行模擬。由于此過程是定期通過刀齒間隔，它足以解決m數(shù)量的時間間隔的方程。系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以由在時間間隔內(nèi)的齒段T 所表述的(44)來評估 (45)根據(jù)傅里葉理論，如果任何轉(zhuǎn)換矩陣的特征值有一個模量大于一，線性周期系統(tǒng)將不穩(wěn)定；如果模量是一個平均值，系統(tǒng)將及其穩(wěn)定；如果模量的所有特征值低于平均值，系統(tǒng)將會穩(wěn)定。零階頻域解直接提供關鍵的穩(wěn)定邊界，葉；相反，半離散頻域解必須通過掃描主軸轉(zhuǎn)速范圍和切削深度的試驗才能找到。半離散頻域解將時間變化、描述離散的時間間隔

17、的周期系數(shù)考慮在內(nèi)，因此，預計穩(wěn)定性的精度更高，特別是當這個過程是在小的切削深度下的高度中斷。5. 模擬提出的解決方案可以通過數(shù)值模擬和廣泛的實驗14-16,18得以驗證，如圖3所示，是有兩個圓形刀片的銑刀的采樣模擬和實驗結(jié)果。這個過程是半切入銑削，具有很強的周期性激勵。時域模擬結(jié)果可以物理過程的數(shù)值模擬中得到，其中包括精確的刀具幾何形狀、隨時間變化的動態(tài)力，以及將銑削過程19中的飽和度和其他非線性因素考慮在內(nèi)的精確的切削厚度幾何。數(shù)值算法能夠預測切削厚度，振動，進給運動以及切削工件的表面光潔度。在18中能夠找到詳細的結(jié)構(gòu)動力參數(shù)和切削條件。從圖3中看出，零階解和數(shù)值解匹配完美，計算僅用了幾秒

18、鐘。實驗結(jié)果還表明，穩(wěn)定性的準確預測，即在轉(zhuǎn)速為9500轉(zhuǎn)/分，切削深度為4.5毫米時是不穩(wěn)定的，但在相同的切削深度下將轉(zhuǎn)速提至14000轉(zhuǎn)/分時將達到穩(wěn)定。圖3 零階解的數(shù)值和實驗結(jié)果的比較刀具：帶有兩個刀片的尖角刀；切削條件：半切入順銑，進給速度0.050毫米/齒;切削系數(shù)和結(jié)構(gòu)動力參數(shù)見參考文獻18.當切削過程是在主軸高速轉(zhuǎn)動的高度間歇性時，即低徑向切入和刀齒數(shù)量少時，零階解無法像多頻解和半離散解一樣考慮隨時間變化的方向因素準確的預測穩(wěn)定葉。這一問題將明顯存在于從刀齒傳遞和結(jié)構(gòu)的固有頻率開始的穩(wěn)定葉?？梢杂靡粋€具體的例子來說明這一問題，如圖4所示。刀具帶有零螺旋的三個凹槽，半切入的切削鋁

19、合金的切削方式。結(jié)構(gòu)模式為510赫茲和802赫茲，各自對應的最高穩(wěn)定性轉(zhuǎn)速為10200轉(zhuǎn)/分和16040轉(zhuǎn)/分。由于低切入和小齒數(shù)，因此這一過程是高度間歇的。為求多頻解模擬過程花了大約25分鐘，采用半離散方法大約49分鐘.。奔騰電腦有兩個2.4GHz的處理器?？梢?，直到穩(wěn)定區(qū)域轉(zhuǎn)速為10200轉(zhuǎn)/分時，零階、多頻以及半離散方法幾乎有相同的穩(wěn)定域。但是偏離后，零階解不能捕獲受時間影響的穩(wěn)定定向因素。這一過程在A點處是穩(wěn)定的，A點是發(fā)生在刀齒傳遞頻率Hz時的受迫振動，這一過程也是發(fā)生在B點的頻率為80Hz的自然模式。但是，在16040轉(zhuǎn)/分后，零階解無法預測發(fā)生在26000轉(zhuǎn)/分和35000轉(zhuǎn)/分

20、的增值葉。然而，多頻解17和半離散解11在預測增值葉時卻是完全一致的。多頻解使用了三個方向因素諧波，半離散解則運用比最高自然頻率的頻率范圍（40Hz，802Hz）高40倍的頻率。在17中，Merdol和Altintas作出了對增值葉的物理解釋，并在這里作出了簡單討論。定向因素反轉(zhuǎn)頻率響應函數(shù)的高次諧波，將其移至模態(tài)頻率的右側(cè)，這造成了額外的穩(wěn)定葉。在切削條件C下說明了這一現(xiàn)象。例如，在切削深度a=30毫米，轉(zhuǎn)速n=26000轉(zhuǎn)/分時，切削過程是穩(wěn)定的。刀齒傳遞頻率Hz時，被認為是由多頻解以及得到的。反轉(zhuǎn)頻率響應函數(shù)和將其帶至510Hz和802Hz的頻率域的結(jié)果，在26000轉(zhuǎn)/分時形成了一個穩(wěn)

21、定域。當主軸轉(zhuǎn)速為38000轉(zhuǎn)/分(D點)時，正好是刀齒傳遞頻率的一半。但是，隨著切削深度由30毫米增至60毫米，增值穩(wěn)定葉會出現(xiàn)相同的現(xiàn)象。必須警告讀者，但是，機床通常不在超越自然模式的刀齒傳遞頻率上操作，因此這種現(xiàn)象在實踐中很少發(fā)生。采用更高模式操作，機床總會扭曲增值葉。如果沒有更高的模式，機床在很高轉(zhuǎn)速下會出現(xiàn)失衡問題。6. 結(jié)論顫振穩(wěn)定性取決于機床刀具和工件的切削力系數(shù)和結(jié)構(gòu)動力參數(shù)，銑削過程的時間周期動力學不同于不隨時間變化的單點切削操作。本文介紹了銑削操作中兩種最常用的頻率和離散時域穩(wěn)定性解決方案。Altintas和Budak8以及Budak和Altintas9提出了頻域解決方案，

22、當使用平均周期定向因素時，穩(wěn)定性解就會減至主軸轉(zhuǎn)速和切削深度的直接評估。因此，在幾秒鐘內(nèi)沒有任何迭代搜索就直接計算出了穩(wěn)定葉。這被稱為零階解析，可用于切入大于刀具直徑四分之一的實際加工，并且刀齒的傳遞頻率沒有超過結(jié)構(gòu)的自然模式。當這個過程是高度間歇時，在低徑向切入和小齒數(shù)時就會發(fā)生此過程，同時還要考慮隨時間變化的動態(tài)過程。當?shù)洱X傳遞頻率超過自然模式時就會出現(xiàn)這一事實。不僅僅是取得平均值，在頻域、多頻，以及Altintas和他的同事們的解決方案中還需要考慮高次諧波的方向性因素。頻域解可利用頻率響應函數(shù)直接測量，無需識別模態(tài)參數(shù)。他還能直接預測穩(wěn)定參數(shù)。Insperger和Stepan10,11的

23、半離散化的方法和步驟將每一個離散方向采樣間隔的時間變化因素考慮在內(nèi)，因此，他可以預測任何速度的穩(wěn)定性。半離散化方法的精確度只有在通過其采樣間隔是有限的，在系統(tǒng)中計算時間取決于一些模式的數(shù)字和采樣間隔。可以處理復雜刀具部分的嚙合，相關的狀態(tài)延遲，如可變間距和主軸轉(zhuǎn)速變化。但是多頻和半離散化方法都能準確預測銑削顫振穩(wěn)定性，都需要在穩(wěn)定葉邊界進行嚴格的迭代搜索。因此，他們的計算耗費更多的時間。圖4 零階解，r=3的多頻解以及半離散解的比較刀具：零螺旋三槽銑刀；切削條件：半切入式順銑，切削系數(shù)：，；結(jié)構(gòu)動力參數(shù)：Hz, Hz;=0.04, ;=005;N/m,=47.5N/m就如本文中所提到的，目前銑

24、削穩(wěn)定性可以得到很好的理解，以及可以通過頻率和時域解對較高轉(zhuǎn)速進行預測。穩(wěn)定性理論得以建立，它可以處理任何切削加工過程并提供良好且正確的動態(tài)物理模型。但是，它對于主軸旋轉(zhuǎn)葉超過10的低轉(zhuǎn)速動態(tài)切削加工過程模型仍具有挑戰(zhàn)性。道具表面光潔度的摩擦處理增加了未知過程的阻尼，并增加了切削深度20的穩(wěn)定性。阻尼物理過程的建模研究仍舊是一個挑戰(zhàn)，但是一旦仿造電流穩(wěn)定規(guī)律，也可用來預測在低速狀態(tài)下的顫振穩(wěn)定性。參考文獻：1 Koenigsberger, F., Tlusty, J., 1967, Machine Tool Structures-Vol. I: Stability Against Chatte

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