我看矩陣在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、矩陣在實(shí)際生活中的應(yīng)用華中科技大學(xué)文華學(xué)院城市建設(shè)工程學(xué)部環(huán)境工程1班 劉叢目錄摘要 3實(shí)際應(yīng)用舉例 4論文總結(jié) 15參考文獻(xiàn) 16摘要：隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)中廣泛而深入的應(yīng)用是當(dāng)前經(jīng)濟(jì)學(xué)最為深刻的因素之一，馬克思曾說(shuō)過(guò)：“一門學(xué)科只有成功地應(yīng)用了數(shù)學(xué)時(shí)，才真正達(dá)到了完善的地步”。下面通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明矩陣在經(jīng)濟(jì)生活中、人口流動(dòng)、電阻電路、密碼學(xué)、文獻(xiàn)管理的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：矩陣、人口流動(dòng)、電阻電路、密碼學(xué)、文獻(xiàn)管理一：矩陣在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用1“活用”行列式定義定義：用符號(hào)表示的n階行列式D指的是n!項(xiàng)代數(shù)和，這些項(xiàng)是一切可能的取自D不同行與不同列上的n個(gè)元素的乘積的符號(hào)為。由定義可以

2、看出。n階行列式是由n!項(xiàng)組成的，且每一項(xiàng)為來(lái)自于D中不同行不同列的n個(gè)元素乘積。實(shí)例1：某市打算在第“十一”五年規(guī)劃對(duì)三座污水處理廠進(jìn)行技術(shù)改造，以達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)要求。該市讓中標(biāo)的三個(gè)公司對(duì)每座污水處理廠技術(shù)改造費(fèi)用進(jìn)行報(bào)價(jià)承包，見(jiàn)下列表格(以1萬(wàn)元人民幣為單位)在這期間每個(gè)公司只能對(duì)一座污水處理廠進(jìn)行技術(shù)改造，因此該市必須把三座污水處理廠指派給不同公司，為了使報(bào)價(jià)的總和最小，應(yīng)指定哪個(gè)公司承包哪一座污水處理廠?設(shè)這個(gè)問(wèn)題的效率矩陣為，根據(jù)題目要求，相當(dāng)于從效率矩陣中選取來(lái)自不同行不同列的三個(gè)元素“和”中的最小者!從行列式定義知道，這樣的三個(gè)元素之共有31=6(項(xiàng))，如下：由上面分析可見(jiàn)報(bào)價(jià)數(shù)

3、的范圍是從最小值54萬(wàn)元到最大值58萬(wàn)元。由得到最小報(bào)價(jià)總數(shù)54萬(wàn)元，因此，該城市應(yīng)選定即2 “借用”特征值和特征向量定義：“設(shè)A是F中的一個(gè)數(shù)如果存在V中的零向量，使得，那么A就叫做的特征值，而叫做的屬于本征值A(chǔ)的一個(gè)特征向量。實(shí)例2：發(fā)展與環(huán)境問(wèn)題已成為21世紀(jì)各國(guó)政府關(guān)注和重點(diǎn)，為了定量分析污染與工業(yè)發(fā)展水平的關(guān)系，有人提出了以下的工業(yè)增長(zhǎng)模型：設(shè)是某地區(qū)目前的污染水平(以空氣或河湖水質(zhì)的某種污染指數(shù)為測(cè)量單位)，是目前的工業(yè)發(fā)展水平(以某種工業(yè)發(fā)展指數(shù)為測(cè)量單位)若干年后(例如5年后)的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平分別為和它們之間的關(guān)系為試分析若干年后的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，

4、將(1)寫(xiě)成矩陣形式，就是由此可預(yù)測(cè)若干年后的污染水平與工業(yè)發(fā)展水平為原來(lái)的4倍。二：人口流動(dòng)問(wèn)題（矩陣高次冪的應(yīng)用）設(shè)某中小城市及郊區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有30萬(wàn)人從事農(nóng)、工、商工作，假定這個(gè)總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)保持不變，而社會(huì)調(diào)查表明：在這30萬(wàn)就業(yè)人員中，目前約有15萬(wàn)人從事農(nóng)業(yè)，9萬(wàn)人從事工業(yè)，6萬(wàn)人經(jīng)商；在務(wù)農(nóng)人員中，每年約有20%改為務(wù)工，10%改為經(jīng)商；在務(wù)工人員中，每年約有20%改為務(wù)農(nóng)，10%改為經(jīng)商；在經(jīng)商人員中，每年約有10%改為務(wù)農(nóng)，10%改為務(wù)工?，F(xiàn)欲預(yù)測(cè)一、二年后從事各業(yè)人員的人數(shù)，以及經(jīng)過(guò)多年之后，從事各業(yè)人員總數(shù)之發(fā)展趨勢(shì)。現(xiàn)做如下解答：若用三維向量(xi,yi,zi)T 表示第

5、i年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)，則已知(x0,y0,z0)T=(15,9,6)T。而欲求(x1,y1,z1)T，(x2,y2,z2)T 并考察在n時(shí)(xn,yn,zn)T的發(fā)展趨勢(shì)。 依題意，一年后，從事農(nóng)、工、商的人員總數(shù)應(yīng)為X1=0.7x0+0.2y0+0.1z0Y1=0.2x0+0.7y0+0.1z0Z1=0.1x0+0.1y0+0.8z0 即 X10.7 0.2 0.1x0x0Y1= 0.2 0.7 0.1y0= Ay0Z10.1 0.1 0.8z0z0 以(x0,y0,z0)T=(15,9,6)T代入上式，即得 X112.9Y1= 9.9Z17.2即一年后從事各業(yè)人員的人數(shù)分別為12

6、.9萬(wàn)、9.9萬(wàn)、7.2萬(wàn)人。以及 X2x1x011.73Y2= A y1= A2 y0= 10.23Z2z1z08.04即兩年后從事各業(yè)人員的人數(shù)分別為11.73萬(wàn)、10.23萬(wàn)、8.04萬(wàn)人。 進(jìn)而推得 xnxn-1 x0yn=Ayn-1 = An y0znzn-1 z0 即n年之后從事各業(yè)人員的人數(shù)完全由An決定。三：電阻電路的計(jì)算 如圖所示的電路中，已知R1=2，R2=4，R3=12，R4=4，R5=12，R6=4，R7=2，設(shè)電壓源us=10V，求i3,u4,u7. 現(xiàn)求解如下： 設(shè)各個(gè)網(wǎng)孔的回路電流分別為ia,ib和ic，由物理學(xué)定律，任何回路中諸元件上電壓之和等于0. 據(jù)圖可列出

7、各回路的電壓方程為 (R1+R2+R3)ia-R3ib=us -R3ia+(R3+R4+R5)ib-R5ic=0 -R5ib+(R5+R6+R7)ic=0 可寫(xiě)成矩陣形式為： R1+R2+R3 -R3 0 ia 1-R3 R3+R4+R5 -R5ib= 0 us0-R5R5+R6+R7 ic 0 把參數(shù)代入，列方程如下： 18 -12 0 ia 1-12 28 -12 ib = 0 us0 -12 18 ic 0 簡(jiǎn)寫(xiě)成 AI=bus 其中I=( ia,ib,ic)T。已知us=10，解矩陣方程得 1 0 0 0.9259 U= 0 1 0 0.5556 這就是問(wèn)題的解0 0 1 0.3704

8、 意味著 ia 0.9259 I= ib = 0.5556 ic 0.3704任何穩(wěn)態(tài)電路問(wèn)題都可以用線性代數(shù)方程描述。直流電路構(gòu)成的是實(shí)系數(shù)方程，它的解為實(shí)數(shù)；而交流電路構(gòu)成的是復(fù)系數(shù)方程，它的解為負(fù)數(shù)。所以用矩陣方程和計(jì)算機(jī)軟件就顯得更為重要。由此題我們看出矩陣在表示數(shù)方面有簡(jiǎn)潔直觀、表現(xiàn)力強(qiáng)的特點(diǎn)，是理論與實(shí)際結(jié)合的一個(gè)很好的觸點(diǎn)。四：矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用在密碼學(xué)中，原來(lái)的消息為明文，經(jīng)過(guò)偽裝的明文則變成了密文。有明文變成密文的過(guò)程稱為加密。由密文變成明文的過(guò)程稱為譯密。改變明文的方法稱為密碼。密碼在軍事上和商業(yè)上是一種保密通信技術(shù)。矩陣在保密通信中發(fā)揮了重要作用。例如，如圖所示，當(dāng)矩陣

9、A可逆時(shí)，對(duì)Rn中的所有X，等式A-1AX=X說(shuō)明，A-1把向量AX變回到X，A-1確定的線性變換稱為由A確定的線性變換的逆變換。這使一些有心人想到可用可逆矩陣及其逆矩陣對(duì)需發(fā)送的秘密消息加密和譯密。假設(shè)我們要送出的消息“ACCOMPLISH THE TASK.”。首先把每個(gè)字母A,B,C,Z映射到數(shù)1,2,3，26.例如，數(shù)1表示A，數(shù)11表示K；另外，用0表示空格，27表示句號(hào)等。于是數(shù)集 1,3,3,15,13,16,12,9,19,8,5,0,20,19,11,27表示消息“ACCOMPLISH THE TASK”，這個(gè)消息（按列）寫(xiě)成4×5矩陣 1 13 19 8 1 M

10、= 3 16 8 5 193 12 0 0 1115 9 20 20 27密碼的發(fā)送者和接收者都知道的密碼矩陣是 1 -1 -1 1 A = 3 0 -3 43 -2 2 -1-1 1 2 -2其逆矩陣（譯碼矩陣）是9 1 -1 7 A-1 = 1/25 1 -1 5-19 -1 3 -13-21 -1 3 -15加密后的消息通過(guò)通信渠道，以乘積AM的形式輸出，接收者收到的矩陣1 -1 -1 1 1 13 19 8 1 C = AM = 3 0 -3 4 13 16 8 5 193 -2 2 -1 3 12 0 0 11-1 1 2 -2 15 9 20 20 2710 -6 31 23 -2

11、= 54 39 137 104 78-12 22 21 -6 -40-22 9 -51 -43 -14之后接收者通過(guò)計(jì)算乘積A-1C來(lái)譯出消息，即相繼變換矩陣C的第1列，第2列，的元素就會(huì)變回到原來(lái)的信息。上述例子是矩陣乘法與逆矩陣的應(yīng)用，將高等代數(shù)與密碼學(xué)緊密結(jié)合起來(lái)。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)破譯密碼，進(jìn)而運(yùn)用到軍事等方面。可見(jiàn)矩陣的作用是何其強(qiáng)大。五：矩陣在文獻(xiàn)管理中的應(yīng)用假如數(shù)據(jù)庫(kù)中包括了n個(gè)文件，而搜索所用的關(guān)鍵詞有m個(gè)，如果關(guān)鍵詞按字母順序排列，我們就可以把數(shù)據(jù)庫(kù)表示為m×n的矩陣A。其中每個(gè)關(guān)鍵詞占矩陣的一行，每個(gè)文件用矩陣的列表示。A的第j列的第一個(gè)元素是一個(gè)數(shù)，它表示第一個(gè)關(guān)鍵詞

12、出現(xiàn)的相對(duì)頻率；第二個(gè)元素表示第二個(gè)關(guān)鍵詞出現(xiàn)的相對(duì)頻率；，依次類推。用于搜索的關(guān)鍵詞清單用Rm空間的列向量x表示。如果關(guān)鍵詞清單中第i個(gè)關(guān)鍵詞在搜索列中出現(xiàn)，則x的第i個(gè)元素就賦值1，否則就賦值0。為了進(jìn)行搜索，只要把AT乘以x。下面我們來(lái)看一個(gè)例子:假如，數(shù)據(jù)庫(kù)包含有一下書(shū)名：B1-應(yīng)用線性代數(shù)，B2-初等線性代數(shù)，B3-初等線性代數(shù)及其應(yīng)用，B4-線性代數(shù)及其應(yīng)用，B5-線性代數(shù)及應(yīng)用，B6-矩陣代數(shù)及應(yīng)用，B7-矩陣?yán)碚?。而搜索?個(gè)關(guān)鍵詞組成的集按以下的拼音字母次序排列； 初等，代數(shù)，矩陣，理論，線性，應(yīng)用因?yàn)檫@些關(guān)鍵詞在書(shū)名中做多出現(xiàn)1次，所以其相對(duì)頻率數(shù)不是0就是1。當(dāng)?shù)趇個(gè)關(guān)鍵

13、詞出現(xiàn)在第j本書(shū)名上時(shí)，元素A（i，j）就等于1，否則就等于0。這樣我們的數(shù)據(jù)庫(kù)矩陣就可用下表表示：關(guān)鍵詞書(shū)B(niǎo)1B2B3B4B5B6B7初等0110000代數(shù)1111110矩陣0000011理論0000001線性1111100應(yīng)用1011110假如讀者輸入的關(guān)鍵詞是“應(yīng)用，線性，代數(shù)”，則數(shù)據(jù)庫(kù)矩陣和搜索向量為 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 A= 0 0 0 0 0 1 1 ，x= 0 0 0 0 0 0 0 1 01 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1搜索結(jié)果可以表示為兩者的乘積：y=ATx，于是可得 0 1 0 0 1 1 0 3

14、1 1 0 0 1 0 1 2 1 1 0 0 1 1 0 3 y=ATx= 0 1 0 0 1 1 0 = 3 0 1 0 0 1 1 1 3 0 1 1 0 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 0y的各個(gè)分量就表示各書(shū)與搜索向量匹配程度。因?yàn)閥1=y3=y4=y5=3，說(shuō)明四本書(shū)B(niǎo)1,B3,B4,B5必然包含所有三個(gè)關(guān)鍵詞。這四本書(shū)就被認(rèn)為具有最高的匹配度，因而在搜索的結(jié)果中會(huì)把這幾本書(shū)排在最前面。本例把線性變換的概念進(jìn)一步擴(kuò)展，它不一定是在具體的幾何空間內(nèi)進(jìn)行的變量變換，在本例中是從“關(guān)鍵詞”到“文獻(xiàn)目錄”的變換。現(xiàn)代搜索中往往包括幾百萬(wàn)個(gè)文件和成千的關(guān)鍵詞，但由于矩陣和向量的稀疏性

15、，節(jié)省計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)空間和搜索時(shí)間?！菊撐目偨Y(jié)】經(jīng)過(guò)不斷努力，一篇小論文終于新鮮出爐。這段時(shí)間，我去圖書(shū)館查閱資料，仔細(xì)觀摩范文，研究參考文獻(xiàn)。這次論文的編寫(xiě)不僅加深了我們對(duì)矩陣的了解，明確了它的重要性，還使我認(rèn)識(shí)到生活中有很多應(yīng)用都涉及到了矩陣知識(shí)。感謝李創(chuàng)舉老師一個(gè)學(xué)期以來(lái)辛勤的工作，你認(rèn)真的工作態(tài)度，仔細(xì)的講解，讓我們對(duì)自動(dòng)控制原理這門非常難的課有了最基本的了解。也許這篇論文顯得有些淺顯，用語(yǔ)也并不專業(yè)，但它鍛煉了我的思維方式，開(kāi)闊了我的視野，也使得我們對(duì)矩陣學(xué)習(xí)有了更新的了解。總之，感謝李老師的教導(dǎo)，我一定會(huì)更加努力，不僅僅是在自動(dòng)控制原理的學(xué)習(xí)上，也在整個(gè)大學(xué)生活中努力做到更好，使自己成為一個(gè)能對(duì)社會(huì)有貢獻(xiàn)的人?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】【1】線性代數(shù)