高中立體幾何大題20題

1、(2012江西省）（本小題滿分12分）如圖，在梯形ABCD中，ABCD，E，F(xiàn)是線段AB上的兩點，且DEAB，CFAB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.現(xiàn)將ADE，CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點重合與點G，得到多面體CDEFG.（1） 求證：平面DEG平面CFG；（2)求多面體CDEFG的體積?！窘馕觥浚?）由已知可得AE=3，BF=4，則折疊完后EG=3，GF=4，又因為EF=5，所以可得又因為,可得，即所以平面DEG平面CFG.（2）過G作GO垂直于EF，GO 即為四棱錐G-EFCD的高，所以所求體積為2012，山東(19) (本小題滿分12分)如圖，幾何體是四棱錐，為

2、正三角形，.()求證：；()若，M為線段AE的中點，求證：平面.解：設(shè)中點為O，連接OC，OE，則由知，又已知，所以平面OCE.所以，即OE是BD的垂直平分線，所以.(II)取AB中點N，連接，M是AE的中點，是等邊三角形，.由BCD120°知，CBD30°，所以ABC60°+30°90°，即，所以NDBC，所以平面MND平面BEC，故DM平面BEC.2012浙江20（本題滿分15分）如圖，在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐中， 的中點，F(xiàn)是平面與直線的交點。證明： 求與平面所成的角的正弦值。解析：本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，線面所成角等基礎(chǔ)知識

3、，同時考查空間想象能力和推理認證能力。 因為所以 又因為所以 所以 因為所以 又因為 在矩形的中點， 即 所以 設(shè)與交點為，連接 由知所以所成的角在矩形在直角中，所以與平面所成的角的正弦值是（2010四川）18、(本小題滿分12分)已知正方體中，點M是棱的中點，點是對角線的中點，（）求證：OM為異面直線與的公垂線；（）求二面角的大??；解：連接AC,取AC中點K，則K為BD中點，連接OK，因為點M是棱的中點，點是的中點，,AM,. 由,得. 因為,所以平面 ,. 又與異面直線和都相交，故為異面直線和的公垂線。 （5分） （）取的中點N，連接MN，則MN平面,過點N作NH于H，連接MH，則由三垂線

4、定理得 ,從而為二面角的平面角。設(shè),則，在中，.故二面角的大小為。 （12分）2010遼寧文（19）（本小題滿分12分） 如圖，棱柱的側(cè)面是菱形，（）證明：平面平面；（）設(shè)是上的點，且平面，求的值。 2012遼寧（18）(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱，AA=1，點M，N分別為和的中點。 ()證明：平面; ()求三棱錐的體積。（椎體體積公式V=Sh,其中S為地面面積，h為高）【答案與解析】2012，北京（16）（本小題共14分）如圖，在中，分別為，的中點，點為線段上的一點，將沿折起到的位置，使，如圖（）求證：/平面；（）求證：；（）線段上是否存在點，使平面？說明理由解：（）因為，分別為，的中

5、點，所以/又因為平面，所以/平面平面（）由已知得且/，所以所以，所以平面而平面，所以又因為，所以平面所以（）線段上存在點，使平面理由如下：如圖，分別取，的中點，則/又因為/，所以/所以平面即為平面由（）知，平面，所以又因為是等腰三角形底邊的中點，所以所以平面從而平面故線段上存在點，使得平面2012天津17.（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（I）求異面直線PA與BC所成角的正切值；（II）證明平面PDC平面ABCD；（III）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。18（本題滿分12分）如圖，已知直三棱柱ABCA

6、1B1C1， ， ，E、F分別是棱CC1、AB中點 （1）判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系，并加以證明； （2）求四棱錐AECBB1的體積（1）解：CF/平面AEB1， 2分證明如下：Zxxk取AB1的中點G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G分別是棱AB、AB1中點 4分又 四邊形FGEC是平行四邊形 又平面AEB，平面AEB1， 平面AEB1。 6分 （2）解：三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，平面ABC， 又平面ABC 平面ECBB1 是棱CC1的中點， 12分(本小題滿分12分) 如圖，三棱錐ABPC中，APPC，ACBC，M為AB中點，D為PB中點，且PMB為正三角形.（）求證：DM/平面APC；（

7、）求 證：平面ABC平面APC；（）若BC=4，AB=20，求三棱錐DBCM的體積. 解：（）M為AB中點，D為PB中點，MD/AP， 又MD平面ABCDM/平面APC 3分 （）PMB為正三角形，且D為PB中點。MDPB 又由（）知MD/AP， APPB 又已知APPC AP平面PBC，APBC， 又ACBC BC平面APC， 平面ABC平面PAC 8分（）AB=20MB=10 PB=10又BC=4，又MDVD-BCM=VM-BCD=12分【2012高考全國文19】（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，是上的一點，。（）證明：平面；（）設(shè)二面角為，

8、求與平面所成角的大小。 解析：【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運用。從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長度，并加以證明和求解。解：設(shè),以為原點，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則設(shè)。（）證明：由得， 所以，所以，。所以,，所以平面；（） 設(shè)平面的法向量為，又，由得，設(shè)平面的法向量為，又，由，得，由于二面角為，所以，解得。 所以，平面的法向量為，所以與平面所成角的正弦值為，所以與平面所成角為.27.【2012高考安徽文19】（本小題滿分 12分）如圖，長方體中，底面是正方形，是的中點，是棱上任意一點。（）證明： ；（）如果=2，=

9、，,，求 的長?！窘馕觥浚↖）連接，共面 長方體中，底面是正方形 面 （）在矩形中， 得：【2012高考四川文19】(本小題滿分12分) 如圖，在三棱錐中，點在平面內(nèi)的射影在上。（）求直線與平面所成的角的大小；（）求二面角的大小。命題立意：本題主要考查本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，線面角的概念，二面角的概念等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，利用向量解決立體幾何問題的能力.解析（1）連接OC. 由已知，所成的角設(shè)AB的中點為D，連接PD、CD.因為AB=BC=CA,所以CDAB.因為等邊三角形，不妨設(shè)PA=2，則OD=1，OP=, AB=4.所以CD=2，OC=.在Rttan.6分（2）過D作D

10、E于E，連接CE. 由已知可得，CD平面PAB.據(jù)三垂線定理可知，CEPA，所以，.由（1）知，DE=在RtCDE中，tan故 12分點評本題旨在考查線面位置關(guān)系和二面角的基礎(chǔ)概念，重點考查思維能力和空間想象能力，進一步深化對二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常規(guī)步驟：一找（尋找現(xiàn)成的二面角的平面角）、二作（若沒有找到現(xiàn)成的，需要引出輔助線作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出該角相應(yīng)的三角函數(shù)值）.【2012高考天津文科17】（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（I）求異面直線PA

11、與BC所成角的正切值；（II）證明平面PDC平面ABCD；（III）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值?！窘馕觥浚↖）是與所成角 在中， 異面直線與所成角的正切值為（II）面 面 平面平面（III）過點作于點，連接 平面平面面是直線與平面所成角 在中， 在中， 得：直線與平面所成角的正弦值為【2012高考新課標文19】（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點()證明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.CBADC1A1解析：本題主要考查空間線線、線面、面面垂直

12、的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力，是簡單題.解：（）由題設(shè)知BC,BCAC，,面, 又面，,由題設(shè)知,=,即,又, 面, 面，面面；（）設(shè)棱錐的體積為，=1，由題意得，=，由三棱柱的體積=1，=1:1， 平面分此棱柱為兩部分體積之比為1:1.【2102高考北京文16】（本小題共14分）如圖1，在RtABC中，C=90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖2。(I)求證：DE平面A1CB；(II)求證：A1FBE；(III)線段A1B上是否存在點Q，使A1C平面DEQ？說明理由。解析

13、：本題第二問是對基本功的考查，對于知識掌握不牢靠的學生可能不能順利解決。第三問的創(chuàng)新式問法，難度比較大。解：（1）因為D,E分別為AC,AB的中點，所以DEBC.又因為DE平面A1CB,所以DE平面A1CB.（2）由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.所以DEA1D,DECD.所以DE平面A1DC.而A1F 平面A1DC,所以DEA1F.又因為A1FCD,所以A1F平面BCDE.所以A1FBE（3）線段A1B上存在點Q,使A1C平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C,A1B的中點P,Q,則PQBC.又因為DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由（2）知DE平面A1DC,所

14、以DEA1C.又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C 的中點，所以A1CDP,所以A1C平面DEP,從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點Q,使得A1C平面DEQ.【2012高考陜西文18】（本小題滿分12分）直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ，=（）證明;（）已知AB=2，BC=，求三棱錐的體積【解析】（）如圖，連結(jié), 是直三棱柱，=， 平面,故 又，四邊形是正方形， ，又， 平面，故 （）， 由（）知，平面， S·=【2012高考遼寧文18】(本小題滿分12分) 如圖，直三棱柱，AA=1，點M，N分別為和的中點。 ()證明：平面; ()求三棱錐的體積。（椎體體

15、積公式V=Sh,其中S為地面面積，h為高）解析：本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定、棱錐體積的計算，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，難度適中?！窘馕觥浚?）（法一）連結(jié)，由已知三棱柱為直三棱柱，所以為中點.又因為為中點所以，又平面 平面，因此 6分（法二）取的中點為P，連結(jié)MP，NP，分別為和的中點， MP,NP,MP面,NP面, , 面MPN面，MN面， MN面.()（解法一）連結(jié)BN，由題意,面面=,面NBC， =1, .(解法2) 【2012高考江蘇16】（14分）如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點（點 不同于點），且為的中點求證：（1）平面平面； （2）直線平面【考點】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系?！窘馕觥浚?）要證平面平面，只要證平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和證得。 （2）要證直線平面，只要證平面上的即可?！敬鸢浮孔C明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平面。 又平面，平面平面。 （2），為的中點，。 又平面，且平面，。 又平面