高等數(shù)學(xué)復(fù)旦大學(xué)出版社習(xí)題答案一

1、習(xí)題一1. 下列函數(shù)是否相等,為什么?解: (1)相等.因為兩函數(shù)的定義域相同,都是實數(shù)集R;由知兩函數(shù)的對應(yīng)法則也相同;所以兩函數(shù)相等.(2)相等.因為兩函數(shù)的定義域相同,都是實數(shù)集R,由已知函數(shù)關(guān)系式顯然可得兩函數(shù)的對應(yīng)法則也相同,所以兩函數(shù)相等.(3)不相等.因為函數(shù)的定義域是,而函數(shù)的定義域是實數(shù)集R,兩函數(shù)的定義域不同,所以兩函數(shù)不相等.2. 求下列函數(shù)的定義域解: (1)要使函數(shù)有意義,必須 即 所以函數(shù)的定義域是.(2)要使函數(shù)有意義,必須 即 所以函數(shù)的定義域是-3,0)(0,1).(3)要使函數(shù)有意義,必須 即 所以函數(shù)的定義域是.(4)要使函數(shù)有意義,必須 即 即或,(k為

2、整數(shù)).也即 (k為整數(shù)).所以函數(shù)的定義域是, k為整數(shù).3. 求函數(shù)的定義域與值域.解: 由已知顯然有函數(shù)的定義域為(-,+),又當(dāng)時,可以是不為零的任意實數(shù),此時,可以取遍-1,1上所有的值,所以函數(shù)的值域為-1,1.4. 沒,求解: ,5.設(shè),求.解: 6. 設(shè),求和.解: 7. 證明:和互為反函數(shù).證:由解得,故函數(shù)的反函數(shù)是,這與是同一個函數(shù),所以和互為反函數(shù).8. 求下列函數(shù)的反函數(shù)及其定義域:解: (1)由解得,所以函數(shù)的反函數(shù)為.(2)由得,所以,函數(shù)的反函數(shù)為.(3)由解得所以,函數(shù)的反函數(shù)為.(4)由得,又,故.又由得,即,故可得反函數(shù)的定義域為0,2,所以,函數(shù)的反函數(shù)

3、為.9. 判斷下列函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性及單調(diào)性:解: (1)函數(shù)的定義域為(-,+), 當(dāng)時,有,當(dāng)時,有,故有.即函數(shù)有上界.又因為函數(shù)為奇函數(shù),所以函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱,由對稱性及函數(shù)有上界知,函數(shù)必有下界,因而函數(shù)有界.又由知,當(dāng)且時,而當(dāng)且時,.故函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào).(2)函數(shù)的定義域為(0,+),且,使.取,則有,所以函數(shù)在定義域內(nèi)是無界的.又當(dāng)時,有故.即當(dāng)時,恒有,所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.10. 判斷下列函數(shù)的奇偶性:解: (1)是偶函數(shù).(2)函數(shù)是奇函數(shù).11. 設(shè)定義在(-,+)上,證明:(1) 為偶函數(shù); (2)為奇函數(shù).證: (1)設(shè),則,有故為偶函數(shù).(2)設(shè)則,

4、有故為奇函數(shù).12. 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,年銷售量為106件,每批生產(chǎn)需要準(zhǔn)備費(fèi)103元,而每件的年庫存費(fèi)為0.05元,如果銷售是均勻的,求準(zhǔn)備費(fèi)與庫存費(fèi)之和的總費(fèi)用與年銷售批數(shù)之間的函數(shù)(銷售均勻是指商品庫存數(shù)為批量的一半).解: 設(shè)年銷售批數(shù)為x, 則準(zhǔn)備費(fèi)為103x;又每批有產(chǎn)品件,庫存數(shù)為件,庫存費(fèi)為元.設(shè)總費(fèi)用為,則.13. 郵局規(guī)定國內(nèi)的平信,每20g付郵資0.80元,不足20 g按20 g計算,信件重量不得超過2kg,試確定郵資y與重量x的關(guān)系.解: 當(dāng)x能被20整除,即時,郵資;當(dāng)x不能被20整除時,即時,由題意知郵資.綜上所述有其中,分別表示不超過,的最大整數(shù).14. 已知水渠

5、的橫斷面為等腰梯形,斜角=40°,如圖所示.當(dāng)過水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時,求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式,并指明其定義域.圖1-1解: 從而 .由得定義域為.15. 下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的?解: (1)是由復(fù)合而成.(2)是由復(fù)合而成.(3)是由復(fù)合而成.(4)是由復(fù)合而成.16. 證明:證: (1)由得解方程得,因為,所以,所以的反函數(shù)是(2)由得,得;又由得,所以函數(shù)的反函數(shù)為17. 寫出下列數(shù)列的通項公式,并觀察其變化趨勢:解: 當(dāng)時,.,當(dāng)n無限增大時,有三種變化趨勢:趨向于,趨向于0,趨向于.,當(dāng)n無限增大時,變化趁勢有兩種

6、,分別趨于1,-1.18. 對下列數(shù)列求,并對給定的確定正整數(shù),使對所有,有:解: ,要使,只須.取,則當(dāng)時,必有.當(dāng)時,或大于1000的整數(shù).,要使只要即即可.取,則當(dāng)時,有.當(dāng)時, 或大于108的整數(shù).19. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:證: ,要使,只要.取,則當(dāng)n>N時,恒有.故.(2) ,要使只要,取,則當(dāng)n>N時,恒有.故.(3) ,要使,只要,取,則當(dāng)n>N時,恒有,從而.(4)因為對于所有的正整數(shù)n,有,故,不防設(shè),要使只要取則當(dāng)時,恒有故.20. 若,證明,并舉反例說明反之不一定成立.證: ,由極限的定義知,當(dāng)時,恒有.而 ,當(dāng)時,恒有,由極限的定義知但這個結(jié)論

7、的逆不成立.如但不存在.21. 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明下列數(shù)列有極限,并求其極限值:證: (1),不妨設(shè),則.故對所有正整數(shù)n有,即數(shù)列有上界.又顯然有,又由得,從而即,即數(shù)列是單調(diào)遞增的.由極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則知,數(shù)列有極限.設(shè),則,于是,(不合題意,舍去),.(2) 因為,且,所以, 即數(shù)列有界又 由知與同號，從而可推得與同號，而 故, 即所以數(shù)列單調(diào)遞增，由單調(diào)有界準(zhǔn)則知，的極限存在.設(shè), 則，解得 (不合題意，舍去).所以 22. 用函數(shù)極限定義證明：證：(1),要使,只須,取，則當(dāng)時，必有,故.(2),要使,只須,取，則當(dāng)時，必有,故.(3) ,要使,只要取，則當(dāng)時，必有,故.(4) ,

8、要使,只須，取，則當(dāng)時，必有故.(5) ,要使,只要取，則當(dāng)時，必有,故.23. 求下列極限：(7)若，求a和b.解：.由無窮大與無窮小的關(guān)系知， .24. 解:因為由已知知，分式的分子與分母的次數(shù)相同，且x項的系數(shù)之比為，于是 且 解得 .25. 利用夾逼定理求下列數(shù)列的極限:其中為給定的正常數(shù);解: 而,當(dāng)時, .(2)記則有 即 而 故 即 .(3)即 而 故 .(4)而 故 .26. 通過恒等變形求下列極限：解： 而 而(14)令則當(dāng)時，.所以(利用(13)題的結(jié)果).(16)令， 則而 所以27. 利用重要極限，求下列極限：解：(6)令，則當(dāng)時，.28. 利用取對數(shù)的方法求下列冪指函

9、數(shù)的極限：解：(1)令，則于是：即 即 即.(2)令，則于是即 即 故即 .(3)令，則于是 即 從而 故即 .(4)令，則于是：即 即.29. 當(dāng)時，與相比，哪個是高階無窮小量？解：當(dāng)時，是比高階的無窮小量.30. 當(dāng)時，無窮小量與是否同階？是否等價？解：當(dāng)時，是與同階的無窮小.當(dāng)時，是與等價的無窮小.31. 利用或等價無窮小量求下列極限：解：(1)因為當(dāng)時，所以(4)因為當(dāng)時，,所以(5)因為當(dāng)時，所以.(7)因為當(dāng)時，,所以(8)因為當(dāng)時，所以.(9)因為當(dāng)時，,所以(10)因為當(dāng)時，所以(11)因為當(dāng)時，所以(12)因為當(dāng)時，所以(13)因為而當(dāng)時，故 又當(dāng)x0進(jìn)，所以(14)因為當(dāng)時

10、，故 所以32. 求下列函數(shù)在指定點處的左、右極限，并說明在該點處函數(shù)的極限是否存在？ 在處; 在處.解： 因為 所以不存在.(2)因為不存在，所以不存在.33. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出圖形：解：(1)由初等函數(shù)的連續(xù)性知，在（0，1），（1，2）內(nèi)連續(xù)，又 而，在處連續(xù)，又，由，知在處右連續(xù)，綜上所述，函數(shù)在0，2)內(nèi)連續(xù). 函數(shù)圖形如下：圖1-2 (2) 由初等函數(shù)的連續(xù)性知在內(nèi)連續(xù)，又由知不存在，于是在處不連續(xù).又由及知，從而在x=1處連續(xù)，綜上所述，函數(shù)在及內(nèi)連續(xù)，在處間斷.函數(shù)圖形如下：圖1-3 (3)當(dāng)x<0時，當(dāng)x=0時，當(dāng)x>0時，由初等函數(shù)的連續(xù)性知在內(nèi)連續(xù)

11、，又由 知不存在，從而在處間斷.綜上所述，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，在處間斷.圖形如下：圖1-4(4)當(dāng)|x|=1時，當(dāng)|x|<1時，當(dāng)|x|>1時，即 由初等函數(shù)的連續(xù)性知在(,1),(1,1),(1,+)內(nèi)均連續(xù)，又由知不存在，從而在處不連續(xù).又由 知不存在，從而在處不連續(xù).綜上所述，在(,1),(1,1),(1,+)內(nèi)連續(xù)，在處間斷.圖形如下：圖1-534. 下列函數(shù)在指定點處間斷，說明它們屬于哪一類間斷點，如果是可去間斷點，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義，使它連續(xù)：解：是函數(shù)的可去間斷點.因為函數(shù)在x=1處無定義，若補(bǔ)充定義，則函數(shù)在x=1處連續(xù)；x=2是無窮間斷點.當(dāng)時，.為可去間斷點，分別

12、補(bǔ)充定義f(0)=1,，可使函數(shù)在x=0,及處連續(xù).();為無窮間斷點(3)當(dāng)時，呈振蕩無極限，x=0是函數(shù)的振蕩間斷點.(第二類間斷點).(4)x=1是函數(shù)的跳躍間斷點.(第一類間斷點.)35. 當(dāng)x=0時，下列函數(shù)無定義，試定義的值，使其在x=0處連續(xù):解：補(bǔ)充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).補(bǔ)充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).補(bǔ)充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).補(bǔ)充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).36. 怎樣選取a, b的值，使f(x)在(,+)上連續(xù)？解：(1)在上顯然連續(xù)，而 且,當(dāng)，即時，在處連續(xù)，所以，當(dāng)時，在上連續(xù).(2)在內(nèi)顯然連續(xù).而當(dāng)，即時，在處連續(xù)，因而在上連續(xù).37. 試證：方程至少有一個小于1的正根.證：令，則在0,1上連續(xù)，且,由零點定理，使即即方程有一個小于1的正根.38. 試證：方程至少有一個不超過的正根，其中.證：令，則在上連續(xù)，且 ,若，則就是方程的根.若，則由零點定理得.,使即即，即是方程的根，綜上所述，方程至少有一個不超過的正根.39. 設(shè)在上連續(xù)，且,證明：方程在0，a內(nèi)至少有一根.證：令,由