正余弦定理的應(yīng)用——三角形面積公式公開課一等獎

1、正余弦定理的應(yīng)用三角形面積公式 1、 教學(xué)內(nèi)容解析本課教學(xué)內(nèi)容出自人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修數(shù)學(xué)5第一章1.2節(jié)。1. 教材內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容是正弦定理與余弦定理知識的延續(xù)，借助正弦定理和余弦定理，進(jìn)一步解決一些有關(guān)三角形面積的計(jì)算。教材中先結(jié)合已知三角形面積公式推導(dǎo)新的三角形面積公式，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面積，最后給出三角形面積實(shí)際問題的求解過程。2.教學(xué)內(nèi)容的知識類型在本課教學(xué)內(nèi)容中，包含了四種知識類型。三角形面積公式的相關(guān)概念屬于概念性知識，三角形面積公式的符號語言表述屬于事實(shí)性知識，利用正弦定理和余弦定理求解三角形面積的步驟屬于程序性知識，發(fā)現(xiàn)問題提出問題解決問題的研

2、究模式，以及從直觀到抽象的研究問題的一般方法，屬于元認(rèn)知知識。3.思維教學(xué)資源與價(jià)值觀教育資源已知三角形兩邊及其夾角求三角形面積的探索過程能引發(fā)提出問題分析問題解決問題的研究思維；生活實(shí)際問題求解三角形面積，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想的好契機(jī)；引出海倫公式和秦九韶“三斜求積”公式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，探究數(shù)學(xué)史材料，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的喜愛。2、 學(xué)生學(xué)情分析主要從學(xué)生已有基礎(chǔ)進(jìn)行分析。1. 認(rèn)知基礎(chǔ)：從學(xué)生知識最近發(fā)展區(qū)來看，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過用底和高表示的三角形面積公式，并且掌握直角三角形中邊和角的關(guān)系?，F(xiàn)在進(jìn)一步探究兩邊及其夾角表示的面積公式符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。此外在前面兩節(jié)的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)掌

3、握了正余弦定理，這為求解三角形的邊和角打下了堅(jiān)持基礎(chǔ)。2.非認(rèn)知基礎(chǔ)：通過小學(xué)、初中和高中階段三角函數(shù)和應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，學(xué)生具有一定的分析問題、類比歸納、符號表示的能力。具備相當(dāng)?shù)娜粘Ｉ罱?jīng)驗(yàn)，能夠從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題并建立數(shù)學(xué)模型解決問題。三、教學(xué)策略選擇普通髙中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)強(qiáng)調(diào)基于核心素養(yǎng)的教學(xué),特別重視情境的創(chuàng)設(shè)和問題的提出。史寧中教授曾指出:“設(shè)計(jì)情境和提出問題的目的是啟發(fā)學(xué)生思考,設(shè)計(jì)情境和提出問題的根基是數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)”?；诖?，本節(jié)課我的設(shè)計(jì)理念是：以問題為載體，以學(xué)生為主體，創(chuàng)設(shè)有效問題情境，努力營造開放、民主、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，充分調(diào)動學(xué)生的興趣與積極性。讓學(xué)

4、生在經(jīng)歷“自主、探究、合作”的過程中，分析問題、解決問題，收獲數(shù)學(xué)自信。1、 教學(xué)方法的選擇本課結(jié)合幻燈片、實(shí)物投影等多媒體技術(shù)的教學(xué)手段，選擇觀察發(fā)現(xiàn)式、問題啟發(fā)式、合作討論式的教學(xué)方法。依據(jù)的學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，創(chuàng)設(shè)具體問題，用問題串起教學(xué)，這樣的設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)問題提出問題解決問題的研究模式，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立了學(xué)生的自信，激發(fā)探索欲望。在師生互動、生生互動中，體驗(yàn)知識與方法的生成過程，形成學(xué)生主動參與，自主與合作探究的課堂氣氛，為不同認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)機(jī)會和適當(dāng)幫助。2、 學(xué)習(xí)反饋的分析通過課堂小結(jié)反饋學(xué)生的知識、方法、思想、學(xué)法上的收獲。通過三道當(dāng)堂小測題目反饋學(xué)生

5、對運(yùn)用正弦定理和余弦定理求三角形面積掌握程度。四、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置本課教學(xué)以普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）為基本依據(jù)，以“數(shù)學(xué)育人”作為根本目標(biāo)設(shè)置。1.主題目標(biāo) 突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體性的理解。 2.單元目標(biāo) 能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實(shí)際問題。3.細(xì)化目標(biāo)為了達(dá)到以上要求，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，本課課堂教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下： （一）能通過分析問題、解決問題推導(dǎo)出三角形兩邊及其夾角面積公式，會運(yùn)用正弦定理、余弦定理節(jié)求三角形面積。 （二）經(jīng)歷從生活實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型并求解的過程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，收獲數(shù)學(xué)自信。 （三）

6、體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；通過數(shù)學(xué)史知識擴(kuò)展，領(lǐng)略數(shù)學(xué)魅力。五、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)及突出重點(diǎn) 本節(jié)重點(diǎn)在于運(yùn)用正弦定理和余弦定理求三角形面積。為了突出重點(diǎn)設(shè)置了三個(gè)層次的題目：首先是推導(dǎo)出三角形面積公式后的跟蹤訓(xùn)練，熟練三角形面積公式；其次是通過例一及例一練習(xí)題來重點(diǎn)加強(qiáng)用正弦定理求三角形面積公式；最后通過生活實(shí)際問題探究強(qiáng)化余弦定理求三角形面積公式知識。此外，在課堂小測中再次突出重點(diǎn)準(zhǔn)備了三道題強(qiáng)化重點(diǎn)。 2.教學(xué)難點(diǎn)及難點(diǎn)突破難點(diǎn)1：例一中如何靈活選用正弦定理和余弦定理求解三角形面積。難點(diǎn)1突破設(shè)置為例題，注重分析過程，剖析思路并詳細(xì)板書過程，幫助學(xué)生理解。從問題出發(fā)，

7、抓住面積公式，要計(jì)算面積就要知道三角形的兩邊及其夾角，明確要求的元素；聯(lián)系題目，已知兩角和其中一角的對邊，屬于正弦定理問題；代數(shù)求解，代入具體數(shù)值求值。數(shù)學(xué)題的解題過程其實(shí)就是運(yùn)用所學(xué)知識把已知條件和所求聯(lián)系起來的過程，這中間注意培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“聯(lián)系”的思想方法。難點(diǎn)2：生活實(shí)際問題的解決能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實(shí)際問題。難點(diǎn)2突破合作探究把本該是例題的題作為探究題目，在例一認(rèn)真講解的基礎(chǔ)上，放心大膽交由學(xué)生合作探究解題，引導(dǎo)學(xué)生在探究中解決問題，加深印象，最終收獲數(shù)學(xué)自信。6、 教學(xué)過程設(shè)計(jì)1、教學(xué)流程創(chuàng)設(shè)情境提出問題問題驅(qū)動引發(fā)學(xué)生思考師生配合完成學(xué)習(xí)內(nèi)容教師活動課堂小結(jié)當(dāng)堂檢測高考

8、提升及時(shí)反饋問題生活實(shí)際深入探究數(shù)海拾貝培養(yǎng)建模能力提升難度例題分析詳細(xì)板書幫助學(xué)生理解學(xué)生活動自主小結(jié)認(rèn)真自測挑戰(zhàn)自我追求融會貫通合作探究建立模型解決問題增長數(shù)學(xué)見識理解例題學(xué)習(xí)過程跟蹤訓(xùn)練掌握解題方法復(fù)習(xí)舊知思考探究得出結(jié)論解決所提問題2、具體過程步驟1：提出問題，引發(fā)思考（3min）前面我們學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，并利用這兩個(gè)定理進(jìn)行了解三角形的探索，今天我們更進(jìn)一步來探究三角形面積的計(jì)算。根據(jù)初中三角形全等判定的知識，我們知道：在三角形中兩邊和夾角確定，這個(gè)三角形就是確定的。那么它的面積該如何求呢？設(shè)計(jì)意圖： 通過創(chuàng)設(shè)問題，形成思維撞針，激發(fā)深層次思考，揭示課題。步驟2：復(fù)習(xí)舊知，新

9、課準(zhǔn)備（3min） 我們初中學(xué)習(xí)過的面積公式是什么？直角三角形中的邊角有什么關(guān)系？ 那我們不妨從這兩個(gè)方面入手，來具體探究一下已知兩邊和夾角求三角形面積的問題。設(shè)計(jì)意圖： 復(fù)習(xí)初中三角形面積公式和直角三角形邊角關(guān)系，并在這個(gè)過程中發(fā)現(xiàn)方法，把高用邊和角表示，更有利于學(xué)生接受，并在潛移默化中教會學(xué)生運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，提高學(xué)生分析問題的能力，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。 步驟3：問題驅(qū)動，探索發(fā)現(xiàn)（6min） 給出問題，學(xué)生自主探究，再讓學(xué)生分享探索過程，得出結(jié)論。把課堂還給學(xué)生。 探究一如圖，在中，邊上的高分別記為。問題1 你能用邊角分別表示 嗎？ 提示 問題2 你能用邊與高表示的面積嗎？

10、提示 同理我們可以得出 結(jié)論，已知中，所對的角分別為，其面積為,則： 設(shè)計(jì)意圖： 帶著問題學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)關(guān)系，引導(dǎo)其總結(jié)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信，并且對知識印象深刻。步驟4：解決問題，實(shí)踐真知（2min） 經(jīng)過前面同學(xué)們的探究，現(xiàn)在我們可以回答剛上課時(shí)老師的問題了。學(xué)生回答問題：在三角形中兩邊和夾角確定，這個(gè)三角形就是確定的。那么它的面積該如何求呢？ 實(shí)踐出真知，來道題試試看： 練習(xí)1、在中，已知求的面積？ 參考答案 設(shè)計(jì)意圖：呼應(yīng)開頭，讓學(xué)生經(jīng)歷提出問題，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程，并在這個(gè)過程中熟練公式，體會解決問題的快樂，建立數(shù)學(xué)自信。 步驟5：提升難度，例題學(xué)習(xí)

11、（10min） 同學(xué)們成功的get到了用兩邊及其夾角表示的三角形面積公式這個(gè)新技能，下面讓我們一起來看看這個(gè)題如何解。例1 在中，已知，求的面積？解： 根據(jù)正弦定理， ， ，. 練習(xí) 在中，已知，求的面積？參考答案 設(shè)計(jì)意圖： 難度提升，把三角形面積公式和正弦定理相結(jié)合，學(xué)生要求解面積，先要同正弦定理解三角形。通過此題幫助學(xué)生復(fù)習(xí)加深正弦定理，教會學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，逐步分析問題解決問題，同時(shí)為接下來學(xué)生自主探究余弦定理相關(guān)面積問題做好鋪墊。 講練結(jié)合，例題講完緊跟練習(xí)，及時(shí)鞏固。步驟6：生活實(shí)際，深入探究（10min） 好多同學(xué)說，老師我們學(xué)的這些知識有用么，有用，現(xiàn)在就有一個(gè)問題等你解

12、決？學(xué)生自主探究解決問題并請同學(xué)上黑板分享解題思路。探究二 如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長分別為68,88,127,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（只需列式不需要計(jì)算）思考：你能把這一實(shí)際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？提示：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。 解:設(shè)根據(jù)余弦定理的推論， 應(yīng)用可解。 設(shè)計(jì)意圖： 從生活中挖掘、提煉素材,尋找實(shí)際背景和激趣元素,可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,體會數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用意識,培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題的能力。引導(dǎo)學(xué)生自主思考如何把生活實(shí)際問題化歸為數(shù)

13、學(xué)問題，并利用余弦定理求解三角形面積。通過化歸過程體會數(shù)學(xué)建模的思想，提升數(shù)學(xué)思維。步驟7：數(shù)海拾貝，延伸課堂（3min） 在數(shù)學(xué)史上解三角形的問題中，如何由三角形的三邊直接求出三角形的面積是一個(gè)比較困難的問題，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德、古希臘數(shù)學(xué)家海倫，還有我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶都給出了求解公式，有興趣的同學(xué)可以閱讀書21頁進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。 ，這里.海倫公式 秦九韶“三斜求積”公式設(shè)計(jì)意圖： 介紹數(shù)學(xué)史小知識，增長學(xué)生見識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣，感受數(shù)學(xué)史魅力。不僅語文有詩和遠(yuǎn)方，在幾千年文明中數(shù)學(xué)也有其獨(dú)特的魅力。步驟8：小結(jié)提升，課堂自測（3+5min） 我們這節(jié)課的內(nèi)容就到這，請大家說說這節(jié)課有什么收獲。 同學(xué)們總結(jié)的很好，接下來檢驗(yàn)一下你們是不是真的學(xué)會了。 課堂小測：1、 在中，已知則面積為（）.2、 在中，已知,則面積為（）.3、 在中，已知面積為，則（）.高考鏈接：（2017全國二卷理數(shù)17題）4、的內(nèi)角所對的邊分別為，已知,(1)求.(2)若面積為2，求.設(shè)計(jì)意圖： 梳理課堂所學(xué)，強(qiáng)化三角形面積公式。當(dāng)堂檢測學(xué)習(xí)效果，及時(shí)反饋問題。個(gè)別學(xué)生單獨(dú)輔導(dǎo)，幫助學(xué)生真正融會貫通。見識高考真題，激發(fā)求知欲，為學(xué)有余力學(xué)生加餐。6.作業(yè)與板書布置作業(yè)： 1、課本18頁練習(xí)題1、2 2、配套練習(xí)冊23頁1-5板書設(shè)計(jì)： 課題1三角形面積公