電磁場理論基礎(chǔ)課件第二章

1、第二章第二章 靜電場靜電場靜電場中的基本定律靜電場中的標(biāo)量電位存在電介質(zhì)時的靜電場電介質(zhì)的分類靜電場中的導(dǎo)體與電容靜電場的邊界條件泊松方程與拉普拉斯方程標(biāo)量位的多極展開靜電場的能量與力 靜電場： 相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。 本章任務(wù)： 闡述靜電荷與電場之間的關(guān)系，在已知電荷或電位的情況下求解 電場的各種計算方法，或者反之。 靜電場是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一 定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。2.1.1 庫侖定律21202121R4qqeFN( 牛頓)1221FF適用條件 兩個可視為點(diǎn)電荷的帶電體之間相互作用力; 無限大真空情況 (式

2、中可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中1291085. 836100F/m)(022102112R4qqeFN( 牛頓)結(jié)論：電場力符合矢量疊加原理圖2.1.1 兩點(diǎn)電荷間的作用力 庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律。大量試驗(yàn)表明: 真空中兩個靜止的點(diǎn)電荷 與 之間的相互作用力:2q1q2.1 靜電場中的基本定律 當(dāng)真空中引入第三個點(diǎn)電荷 時，試問 與 相互間的作用力改變嗎? 為什么？3q1q2qq32.1.2 電場強(qiáng)度定義： t0qq)z,y,x()z,y,x(limtFEV/m (N/C) 電場強(qiáng)度（Electric Field Intensity ) E 表示單位正電荷在電場中所受到的力(F

3、), 它是空間坐標(biāo)的矢量函數(shù), 定義式給出了E 的大小、方向與單位。a) 點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度r20tpr4qq)(eFrEV/m4qq)(20tprrrrrrFrE304)(qrrrrR20R4qeV/m圖2.1.2 點(diǎn)電荷的電場 b) n個點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度 (注意:矢量疊加)c) 連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度)(dq41)(30rrrrrrdEkNkkkkkNkkkRqqerrrrrrrE1201204141)(V/m體電荷分布dV)(dqrdq41)(V30rrrrrER v20Rdv)(41er面電荷分布R s20Rds)(41)(errE) (dsdqr線電荷分布Rl20Rdl)(

4、41)(errE) (dldqr圖2.1.3 體電荷的電場解: 采用直角坐標(biāo)系, 令y軸經(jīng)過場點(diǎn)p,導(dǎo)線與x軸重合。)yx(4dx)y,x(dE22odEyxxdE22xdEyxydE22y)yL1yL1(4dxyxx)yx(4E221222o22LL22o21x)yLLyLL(4dxyxy)yx(4E22112222o22LL22o21y,時當(dāng)21LLLxxyypEE)y(eeE(直角坐標(biāo))y0y2ezzEEE)z ,(eeeE( 圓柱坐標(biāo))e02圖2.1.4 帶電長直導(dǎo)線的電場例2.1.1 真空中有長為L的均勻帶電直導(dǎo)線 , 電荷線密度為 ,試求P 點(diǎn)的電場. 無限長直均勻帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電

5、場為平行平面場。 電場強(qiáng)度 的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分, 然后再合成,即)z , y, x(EzzyyxxEEEeeeE 積分是對源點(diǎn) 進(jìn)行的,計算結(jié)果是場點(diǎn) 的函數(shù)。) , , (zyx),(zyx 點(diǎn)電荷的數(shù)學(xué)模型 點(diǎn)電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。 當(dāng) 時，電荷密度趨近于無窮大，通常用沖擊函數(shù) 表示點(diǎn)電荷的密度分布。0a)r()z,y,x(0r 當(dāng)0r 當(dāng)01dV)r(dV)z,y,x(VV)0rV(點(diǎn)包含積分區(qū)域圖1.1.5 單位點(diǎn)電荷的密度分布點(diǎn)電荷的密度)(q)(rr 2.1.3 高斯定律的積分和微分形式 對上式等號

6、兩端取散度； 利用矢量恒等式及矢量積分、微分的性質(zhì)，得0) r()r(E真空中高斯定律的微分形式dV)(41)(V30rrrrrrE點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場其物理意義表示為0E0E0E1. . 靜電場的散度高斯定律的微分形式 高斯定律說明了靜電場是一個有源場，電荷就是場的散度（通量源），電力線從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷。2. . 高斯定律的積分形式式中 n 是閉合面包圍的點(diǎn)電荷總數(shù)。 VV0dV1dVEn1ii0Sq1dSE散度定理圖2.1.6 閉合曲面的電通量 E的通量僅與閉合面S 所包圍的凈電荷有關(guān)。圖2.1.7 閉合面外的電荷對場的影響 S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。利用高斯定理，求真空中

7、無限長均勻直線電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度 E00202LrLEdzrdEdSErLr rdzrddSorLE采用柱坐標(biāo)系，由對稱性可知：線電荷密度為rErrErErr02解：取如圖所示高斯面。解：取如圖所示高斯面。由高斯定律，有由高斯定律，有分析：電場方向垂直表面。在分析：電場方向垂直表面。在平行電荷面的面上大小相等。平行電荷面的面上大小相等。例題一例題一求電荷密度為求電荷密度為 的無限大面電荷在空間中產(chǎn)生的電場。的無限大面電荷在空間中產(chǎn)生的電場。SSnnzyxEE0QdS 02sE00(0)2(0)2szszezEez120( )( ) ()szzSE r e SE re S a解：解：1) 1)

8、取如圖所示高斯面。取如圖所示高斯面。在球外區(qū)域：在球外區(qū)域：r r a a0( )SQE rdS20( ) (4)rQE rre204rQEer分析：電場方向垂直于球面。分析：電場方向垂直于球面。 電場大小只與電場大小只與r r有關(guān)。有關(guān)。例題三例題三半徑為半徑為a a的球形帶電體，電荷總量的球形帶電體，電荷總量Q Q均勻分布在球體內(nèi)。均勻分布在球體內(nèi)。求求：（：（1 1） （2 2） （3 3）( )E r( )E r( )E r在球內(nèi)區(qū)域：在球內(nèi)區(qū)域：r r a arr0( )SQE rdS32043( ) (4)rrE rre304rQrEea334QQVa2 2）解為球坐標(biāo)系下的表達(dá)形

9、式。）解為球坐標(biāo)系下的表達(dá)形式。2030()()4()()4rrQerarEQreraa22300()1()()4raQrrrarra300034EQa3 3）0301( )404QrEQra點(diǎn)電荷304q)(rrrrrE304q)(rrrrrE矢量恒等式FFFCCC)(1)(1333rrrrrrrrrrrr直接微分得0)(rr0)(3)(133rrrrrrrrrr故0)r(E電場強(qiáng)度E 的旋度等于零 1. 靜電場旋度2.2.1 靜電場的保守性2.2 靜電場中的標(biāo)量電位 可以證明，上述結(jié)論適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場。表明 靜電場是一個無旋場。即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場的旋度恒

10、等于零，即0E2 2. 靜電場的環(huán)路定律 在靜電場中,電場強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。 電場力作功與路徑無關(guān),靜電場是保守場。無旋場一定是保守場，保守場一定是無旋場。sld)(d0sElE由斯托克斯定理，得 ld0lE0E 二者等價。2.2.2 標(biāo)量電位的定義及其物理意義 E 在靜電場中可通過求解電位函數(shù)(Potential)， 再利用上式可方便地求得電場強(qiáng)度E 。式中負(fù)號表示電場強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。2) 已知電荷分布，求電位：304q)(rrrrrECq41)r(N1iii0rr點(diǎn)電荷群Cdq41)r( v0rr連續(xù)分布電荷1) ) 電位的引出以點(diǎn)電荷為例推導(dǎo)電位：31rrrr

11、rr)r(4q)(0rrrEC4q)r(0rr, 0E 根據(jù)矢量恒等式0dl,dS,dV:dq 3) E與 的微分關(guān)系E 在靜電場中，任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標(biāo)系中：zyxzyxeeeE00E？ ( )0E 0？ ( )4) E與 的積分關(guān)系llEdd00pp0ppd)p()p(dlEddzzdyydxx設(shè)P0為參考點(diǎn)參考點(diǎn)pdplE)( 根據(jù) E 與 的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點(diǎn)圖2.2.1 E與 的積分關(guān)系5) ) 電位參考點(diǎn)的選擇原則 場中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無關(guān)。 同一個物理問題，只能選取一個參考點(diǎn)。 選擇參考點(diǎn)

12、盡可能使電位表達(dá)式比較簡單，且要有意義。例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場：Cr4q000rC0rr4q00C表達(dá)式無意義0RrR4qr4q00R4qC0 電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)； 電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。6) 電力線與等位線（面） E 線：曲線上每一點(diǎn)切線方向應(yīng)與該點(diǎn)電場強(qiáng)度E E的方向一致，若 是電力線的長度元，E E 矢量將與 方向一致，l dl d0dlE故電力線微分方程dzEdyEdxEzyx在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為電力線 E E 的方程。當(dāng)取不同的 C 值時，可得到不同的等位線（面）。 在靜電場中電位相等的點(diǎn)的曲面稱為等位面，即C)z ,y,x(

13、等位線(面)方程:在球坐標(biāo)系中：21120210prrrr4q)r1r1(4q20r20pr4r4cosqdep )sincos2(430eeErprqdErdEdrr電力線微分方程（球坐標(biāo)系）：2122221221)cosrd4dr(r)cosrd4dr(r，代入上式，得sinDr 解得線方程為將 和代入上式，ErE等位線方程（球坐標(biāo)系）：cosCr ，Crp204coscos2drr2用二項式展開，又有，得dr cos2drr1 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。p例2.2.1 畫出電偶極子的等位線和電力線 。)(dr 圖1.2.2 電偶極子r1r2電力線與等位線（面）的性質(zhì)： E線不

14、能相交; E線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷; E線愈密處，場強(qiáng)愈大; E線與等位線（面）正交；圖2.2.3 電偶極子的等位線和電力線圖2.2.4 點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場圖2.2.5 點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場圖2.2.8 點(diǎn)電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場圖2.2.9 點(diǎn)電荷位于一塊導(dǎo)體平面上方的電場圖2.2.6 均勻場中放進(jìn)了介質(zhì)球的電場圖2.2.7 均勻場中放進(jìn)了導(dǎo)體球的電場2.3.1 介質(zhì)的極化 電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩； 電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷； 極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。式中 為體積元 內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。pV用

15、極化強(qiáng)度P P表示電介質(zhì)的極化程度，即V0VpPlimC/m2電偶極矩體密度2.3. 存在電介質(zhì)時的靜電場無極性分子有極性分子圖1.2.14 電介質(zhì)的極化 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中EP0e均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的值而變化； 一個電偶極子產(chǎn)生的電位：202r0R4cosqdR41ep 極化強(qiáng)度 P 是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：dV)()(41V30rrrrrPzqdep 式中圖2.3.2 電偶極子產(chǎn)生的電位 電介質(zhì)的極化率,無量綱量。e

16、dVR)(41V2R0erPR1R1R2RedVR1)(41V0rPdVR)(41dVR)(41V0V0rPrP矢量恒等式：uu)u(FFF 圖2.3.3 體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位dSR)(41dVR)(41 Sn0V0erPrP散度定理 令PpnpeP 極化電荷體密度極化電荷面密度) () ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr) () ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr 在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度 。0p) )() )()(VS3pf3pf0dSdV41rrrrrrrrrE 根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和0dSdVVSnePP)()()(VSpfpf0

17、dSdV41rrrrr 有電介質(zhì)存在的場域中，任一點(diǎn)的電位及電場強(qiáng)度表示為 這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷 和體極化電荷 共同作用在真空 中產(chǎn)生的電位。0pp2.3.2 電位移矢量 a）高斯定律的微分形式0fE0pfE（真空中）（電介質(zhì)中）定義電位移矢量（ Displacement）PED0則有f D電介質(zhì)中高斯定律的微分形式代入 ,得Pp)(1fPE0f0)(PE其中相對介電常數(shù)；介電常數(shù)，單位（F/m）er1 EEEEEPED0re00e001)( 在各向同性介質(zhì)中 D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D 線、E 線和P 線的分布。 D 線由正

18、的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷； P 線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。 E 線的起點(diǎn)與終點(diǎn)既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；電場強(qiáng)度在電介質(zhì)內(nèi)部是增加了，還是減少了？ED線E線P線圖2.3.4 D、E與 P 三者之間的關(guān)系思考：1S1dSD( )2S2dSD( )2321r4qDDD( )qq D 的通量與介質(zhì)無關(guān)，但不能認(rèn)為D 的分布與介質(zhì)無關(guān)。 D 通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的 D 是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。B） 高斯定律的積分形式f DdVdVVfVDfSqdSD散度定理圖2. .3. .5 點(diǎn)電荷的電場中置入任意一塊介質(zhì)圖2.3.6

19、點(diǎn)電荷q分別置于金屬球殼的內(nèi)外4. 高斯定律的應(yīng)用計算技巧： a）分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使 容易積分。SDd 高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。圖2.3.9 球殼內(nèi)的電場qr4Dd2SSDr0eDE20r4qr2r4qeD圖2.3.8 球殼外的電場qr4Dd2SSDr2r4qeDr200r4qeDE)Rr(試分析圖2.3.8與2.3.9的電場能否直接用高斯定律來求解場的分布？圖2.3.8 點(diǎn)電荷q置于金屬球殼內(nèi)任意位置的電場圖2.3.9 點(diǎn)電荷q分別置于金屬球殼內(nèi)的中心處與球殼外的電場2.4.1 線性和非線

20、性電介質(zhì) 依據(jù)極化強(qiáng)度矢量和外加電場的關(guān)系，可將介質(zhì)分為線性和非線性介質(zhì)。線性介質(zhì)：極化強(qiáng)度矢量僅和外加電場的一次項有關(guān)；非線性介質(zhì)：極化強(qiáng)度矢量不僅和外加電場的一次項有關(guān)，還和高次項有關(guān)。2.4. 電介質(zhì)的分類2.4.2 各向同性和各向異性電介質(zhì) 依據(jù)介質(zhì)的電性質(zhì)和方向的關(guān)系，可將介質(zhì)分為：各向同性：介質(zhì)的電性質(zhì)和方向無關(guān)；各向異性：介質(zhì)的電性質(zhì)和方向有關(guān)。2.4.3 均勻和非均勻電介質(zhì) 依據(jù)介質(zhì)的電性質(zhì)和空間位置的關(guān)系，可將介質(zhì)分為：均勻介質(zhì)：介質(zhì)的電性質(zhì)和空間位置無關(guān)；非均勻介質(zhì)：介質(zhì)的電性質(zhì)和空間位置有關(guān)；電場強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；導(dǎo)體內(nèi)電場強(qiáng)度E為零，靜

21、電平衡；電荷分布在導(dǎo)體表面，且。0E任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。 （ ）一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。 （ ）接地導(dǎo)體都不帶電。（ ）2.5.1 靜電場中的導(dǎo)體圖2.5.1 靜電場中的導(dǎo)體2.5 靜電場中的導(dǎo)體與電容 電容只與兩導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)有關(guān)。電容的計算思路： UQCdUQlEE設(shè)工程上的實(shí)際電容：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。電容UQC pf,f(F法拉），定義： 單位： 例2.5.1 試求球形電容器的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為 ,則q,qdSSDr20r2r4q,r4qeEeDabab4q)b1a1(4qEdrU00ba同

22、心導(dǎo)體間的電壓abab4UqC0球形電容器的電容aC04當(dāng)b時（孤立導(dǎo)體球的電容）圖2.5.1 球形電容器1. 已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)中的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即1n1KK.0q 靜電獨(dú)立系統(tǒng)D線從這個系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng) 線性、多導(dǎo)體(三個以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)； 部分電容概念21211110 qq以接地導(dǎo)體為電位參考點(diǎn),導(dǎo)體的電位與各導(dǎo)體上的電荷的關(guān)系為22212120qq2211002022110010 qbqbqbqaqaqa)( 210qqq圖1.8.2 三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)2.5.2 導(dǎo)體系與部分電容 以此類推（n+1)個多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個電位線性獨(dú)立方

23、程，即nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqqqqqqqqqqq)qqqq(qnk210 q電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對各導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；ii, 自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體i上電荷對導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn)；j , i互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體j上的電荷對導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn) ；寫成矩陣形式為（非獨(dú)立方程）注： 的值可以通過給定各導(dǎo)體電荷 ,計算各導(dǎo)體的電位 而得。q2. 已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù) 1q 1nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqq靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；ii,自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體

24、 電位對導(dǎo)體 電荷的貢獻(xiàn)；iiji,互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體j電位對導(dǎo)體i電荷的貢獻(xiàn)。 通常， 的值可以通過給定各導(dǎo)體的電位 ，測量各導(dǎo)體的電荷 而得。q 3. 已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容)()(q2k2k1k1kk)(nkknknkn0k0k2k2k1k1kUCUCUCUC UCq （矩陣形式）式中：C部分電容，它表明各導(dǎo)體間電壓對各導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；knkn2k2k1k1kC,C,C（互有部分電容）；)(Cknkk2k1k0k（自有部分電容）。kknkk2k1k)(部分電容性質(zhì): 所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的 值有關(guān)； 互有部分電容i , jj ,

25、 iCC ，即為對稱陣； C (n+1) 個導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)中，共應(yīng)有 個部分電容；2)1n(n 部分電容是否為零,取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連。 例2.5.2 試計算考慮大地影響時，二線傳輸線的各部分電容及二線輸電線的等效電容。已知 如圖示：haad ,2201221221121101)()(CCCC32) 12(22) 1(nn21122010,CCCC解: 部分電容個數(shù), 如圖 (b)。由對稱性得線電荷與電位的關(guān)系為圖2.5.5 兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò)靜電網(wǎng)絡(luò)與等效電容 令,0, 121則利用鏡像法，輸電線兩導(dǎo)體的電位ddhah2202014ln212ln21ddh4ln21Chd2d

26、h4aln21C0dh4ahd2ln21Cah2ln21C1220202202122012010為)ad ,rrln2(120)3(）得）代入式（將式（2322012122112110C)(C0)(CC1)2(圖2.5.6 兩線輸電線對大地的鏡像聯(lián)立解之得addh4h2ln2CC2202010二線間的等效電容：)dh4ddh2ln(2CCCCCC2202010201012e22222202112)ddh4(ln)ah2(lnddh4ln2CC圖2.5.7 兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò)202021212121210101UCUCqUCUCq令00101Uq01212UC012 C0號導(dǎo)體接地，得202

27、0210101UCqUCq這說明了1q只與10U有關(guān)，2q只與20U有關(guān)，即1號導(dǎo)體與2號導(dǎo)體之間無靜電聯(lián)系，達(dá)到了靜電屏蔽的要求。靜電屏蔽在工程上有廣泛應(yīng)用。圖2.5.8 靜電屏蔽4.靜電屏蔽 應(yīng)用部分電容還可以說明靜電屏蔽問題。靜電場的基本方程 靜電場是一個無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個重要特性用簡潔的數(shù)學(xué)形式為：0 Ef D)(E)(ED0dllEqdSSD解：根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),zyxzyxAAAzyxeeeAzxyyzxxyzyAxAxAzAzAyAeee)()()(0 例2.6.1 已知 試判斷它能否表示個靜電場？ ，zyxz5y4x3eeeA對應(yīng)靜電場的

28、基本方程 ，矢量 A 可以表示一個靜電場。0E 能否根據(jù)矢量場的散度來判斷該矢量場是否是靜電場?2.6 靜電場的邊界條件 以分界面上點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一小扁圓柱高斯面（ ）。 0L n1n2DD2.6.2、電場強(qiáng)度E的銜接條件 以點(diǎn)P 作為觀察點(diǎn)，作一小矩形回路（ ）。 0L 0lElE1t21t1t 1t2EE2.6.1、 電位移矢量D的銜接條件分界面兩側(cè) E 的切向分量連續(xù)。 分界面兩側(cè)的 D 的法向分量不連續(xù)。當(dāng) 時，D 的法向分量連續(xù)。0圖2.6.2 在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律SSDSDn2n1則有qdSD 根據(jù) 0dllE根據(jù) 則有 圖2.6.1 在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律 表明

29、：（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的D 就等于該點(diǎn)的自由電荷密度 。 當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時，分界面上的銜接條件為： 0EDt2n2t2t 1n1n2EEDD圖2.6.3a 導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面在交界面上不存在 時，E、D滿足折射定律。222111n2n1cosEcosEDD2211t2t 1sinEsinEEE2121tantan折射定律圖2.6.3b 分界面上E線的折射0)2dE2dE(limdlimn2n10d212121lE21因此表明: 在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。2.6.3、用電位函數(shù) 表示分界面上的銜接條件 設(shè)點(diǎn)1

30、與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d， ,則0d nED,nED22n22n211n11n1nn2211表明: 一般情況下 ,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。)0(圖2.6.4 電位的銜接條件解：忽略邊緣效應(yīng)xeE1221021ddUxeE1221012ddUx1121e EExe22110SSq2211EE02211UdEdE圖（a）02211qSS2211圖（b） 例2.6.1 如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知 和 ,圖(a)已知極板間電壓U0 , 圖(b)已知極板上總電荷 ,試分別求其中的電場強(qiáng)度。12121,S,S,d,d20q（a）（b）圖2.6.5 平行板電容器 2.7.1泊松方

31、程與拉普拉斯方程的導(dǎo)出f2泊松方程E0EED常數(shù)f時當(dāng) 0f02拉普拉斯方程22222222zyx拉普拉斯算子推導(dǎo)微分方程的基本出發(fā)點(diǎn)是靜電場的基本方程： 泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。EEEfD2.7 泊松方程與拉普拉斯方程已知場域邊界上各點(diǎn)電位值邊值問題框圖自然自然邊界條件邊界條件參考點(diǎn)電位 有限值rrlim邊值問題微分方程邊界條件場域場域邊界條件邊界條件分界面分界面銜接條件銜接條件第一類第一類邊界條件邊界條件第二類第二類邊界條件邊界條件第三類第三類邊界條件邊界條件已知場域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù)一、二類邊界條件的線性組合，即022nn221121)(sf1S)(

32、sfn2S)()(sfn3S邊值問題研究方法計算法實(shí)驗(yàn)法作圖法解析法數(shù)值法實(shí)測法模擬法定性定量積分法積分法分離變量法分離變量法鏡像法、電軸法鏡像法、電軸法微分方程法微分方程法保角變換法保角變換法有限差分法有限差分法有限元法有限元法邊界元法邊界元法矩量法矩量法模擬電荷法模擬電荷法數(shù)學(xué)模擬法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法物理模擬法圖1.4.3 邊值問題研究方法框圖 例2.7.1 圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方形，鉛皮半徑為a，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為 ，并且在兩導(dǎo)體之間接有電源 U0，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。 解：根據(jù)場分布對稱性，確定場域。0yx22222（陰影區(qū)域

33、）場的邊值問題0bx0byby0bxU),(及00y0 xayx222),(0 xayb0 x),(0yaxb0y),(圖2.7.1 纜心為正方形的同軸電纜橫截面012212drdrdrdr1)()0 (ar0drdrdrdr122222)()(ra邊界條件積分之，得通解43221021CrC)r(Cr1C6r)r( 例2.7.2 設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為 ，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。解: 采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程ar2ar1ar20ar10rr有限值0r1參考點(diǎn)電位0r2圖2.7.2 體電荷分布的球形域電場 解得 032023413aC

34、2aC0C0C,電場強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：ar03rrr0r111eerE)(rar3arr202r22eerE)(2 對于一維場（場量僅僅是一個坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由 得到電場強(qiáng)度E的分布。E電位：rar3arar0ra36r0322201)()()(2. 唯一性定理的重要意義 可判斷靜電場問題的解的正確性：例2.7.3 圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？003002201UxdUCUxdUBxdUA、答案：（ C ） 唯一性定理為靜電場問題的多種解法唯一性定理為靜電場問題的多種解法( (試試探解、

35、數(shù)值解、解析解等）提供了思路及理論根探解、數(shù)值解、解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。據(jù)。圖2.7.3 平板電容器外加電源U0)TheoremUniquness(,定理稱之為靜電場的唯一性的解是唯一的拉斯方程泊松方程或拉普位微分方程滿足給定邊界條件的電在靜電場中)(,唯一性定理 唯一性定理證明： （反證法）:)(反證法證明即必滿足拉普拉斯方程則其差值均滿足泊松方程與位函數(shù)設(shè)場中任一點(diǎn)有兩個電,u,2121022122u22)u(uuuuu2)()(利用矢量恒等式并利用高斯散度定理對場域求體積分 ,dVuduudVuusV2V)()(S因此有處電位為零由于在無窮遠(yuǎn)即的邊界面為體積,S

36、,SSSS,SSS,V0n210 SsS2dVuduuduuVSS)(證明唯一性定理用圖圖4 . 7 . 2sSV21dVuSdnuudSuu)()(即右邊也為零則式即界條件若導(dǎo)體邊界為第一類邊,(1)0,-,21u0u21)(得證故又滿足邊界該式既滿足場域積分后,CC12120,-,即已知電荷面密度界條件若導(dǎo)體邊界為第二類邊,nn210nun1)-(2即證畢必有同上分析右邊也為零則式,12 , ,(1)故唯一性定理得證件的假設(shè)是不成立的滿足微分方程和邊界條都也就是說有兩個不同解即中各點(diǎn)在場域由此,u21 0,V,2.8 標(biāo)量位的多極展開標(biāo)量位的多極展開VrVdxx04)()(考慮真空中給定電

37、荷分布激發(fā)的電勢考慮真空中給定電荷分布激發(fā)的電勢在區(qū)域在區(qū)域V V內(nèi)取一點(diǎn)內(nèi)取一點(diǎn)O O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以R R表示由原點(diǎn)到場點(diǎn)的距離。表示由原點(diǎn)到場點(diǎn)的距離。222222)()()(zzyyxxxxrzyxR為變量的函數(shù)在為變量的函數(shù)在考慮場點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于電荷分布區(qū)域的線度的情況，把以考慮場點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于電荷分布區(qū)域的線度的情況，把以)(xx0 x附近作展開有附近作展開有 RxxxxRxRrxxjijjii1!2111112,VdRxxxxRxRxxjijjiiV 1! 2111)(41)(2,0)2()1()0(,230,2016141161141)()(

38、3)()(jijiijjijiijVjiijVVRxxDRRpRQRxxDRpRQxVdxxxDVdxxpVdxQ)2()1()0(,23016141)(jijiijRxxDRRpRQx)3()2()1()0(3)2(2)1()0(1 1 1rrr1. 1. 帶電體系統(tǒng)中的靜電能量帶電體系統(tǒng)中的靜電能量 靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功轉(zhuǎn)化而來的。靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功轉(zhuǎn)化而來的。1) 1) 連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電能量連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電能量假設(shè)：假設(shè)： 電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的；電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的； 2.9.1 2.9.1 靜電能量靜電能量 電場的建立與充電

39、過程無關(guān)電場的建立與充電過程無關(guān), ,導(dǎo)體上電荷與電位的最終值為導(dǎo)體上電荷與電位的最終值為 、 , ,在充電過在充電過程中，程中， 與與 的增長比例為的增長比例為 m， 。1m0qq 建立電場過程緩慢（忽略動能與能量輻射）。建立電場過程緩慢（忽略動能與能量輻射）。2.9 靜電場的能量與力靜電場的能量與力 這個功轉(zhuǎn)化為靜電能量儲存在電場中。這個功轉(zhuǎn)化為靜電能量儲存在電場中。VdV21 體電荷系統(tǒng)的靜電能量體電荷系統(tǒng)的靜電能量VedV21WdmdVdVddqmdzyxzyxmdd,),(),(dVzyxzyxmdmdqAWVe),(),(10故帶電導(dǎo)體系統(tǒng))2SdS21eWSedSW21面電荷系統(tǒng)

40、線電荷系統(tǒng)LedlW21 t 時刻，場中時刻，場中P點(diǎn)的電位為點(diǎn)的電位為 若將電荷增量若將電荷增量 從無窮遠(yuǎn)處移至該點(diǎn)，從無窮遠(yuǎn)處移至該點(diǎn)，),(zyxdqdqzyxdA),(外力作功外力作功t t時刻電荷增量為時刻電荷增量為nKKKeqW121即即, )z , y, x(m)z , y, x(電位為電位為n1KKKq21n1KSkKKdS21 式中式中 是元電荷所在處的電位，積分對源進(jìn)行。是元電荷所在處的電位，積分對源進(jìn)行。 點(diǎn)電荷的自有能為無窮大。點(diǎn)電荷的自有能為無窮大。)(21)(21)()(2121W221122111222111qqqqqqqnKKK自有能自有能互有能互有能22111

41、q2q 自有能是將許多元電荷自有能是將許多元電荷 “ “壓緊壓緊”構(gòu)成構(gòu)成 q q 所需作的功?；ビ心苁怯捎诙嗨枳鞯墓??；ビ心苁怯捎诙鄠€帶電體之間的相互作用引起的能量。個帶電體之間的相互作用引起的能量。dq互自WWWe自有能與互有能的概念自有能與互有能的概念 是所有導(dǎo)體（含是所有導(dǎo)體（含K K號導(dǎo)體）表面上的電荷在號導(dǎo)體）表面上的電荷在K K號導(dǎo)體產(chǎn)生的電位號導(dǎo)體產(chǎn)生的電位。KSnKKKqWdqW1ee21 21生變化，如圖所示。位會發(fā)的電場中，兩導(dǎo)體的電放入帶電體。將帶電體，和，電位、電荷分別為，單獨(dú)存在時，導(dǎo)體的例如空間中有兩帶電體122211qq2. 2. 靜電能量的分布及能量密度靜電

42、能量的分布及能量密度VSedSdVW2121VSddVSDD2121V擴(kuò)大到無限空間，擴(kuò)大到無限空間，S所有帶電體表面。所有帶電體表面。將式將式(2)(2)代入式代入式(1),(1),得得dVSdWVSneEDeD212122VrdS,r1D,r1:dV21注EDSSnnSSVdSSdddV)2()(212121)(21eDeDSDD應(yīng)用散度定理應(yīng)用散度定理) 1 (2121)(21SnVVedSdVdVWeDEDD得得VVeedVwdVW2121ED（焦耳）（焦耳）靜電能量靜電能量J圖圖2.9.1 2.9.1 推導(dǎo)能量密度用圖推導(dǎo)能量密度用圖ED21we能量密度能量密度3mJ：凡是靜電場不為

43、零的空間都儲存著靜電能量。：凡是靜電場不為零的空間都儲存著靜電能量。結(jié)論結(jié)論矢量恒等式矢量恒等式DDD)(adVE21EdVD21WV20Ve)drr4r9adrr49r(212a420622a020220arr3aar3r2030Ear)3ra(2arr3a22003drr43ra221dV21W2a022V02e)(520154a520a154)(122rrrr0ar ar 021rr21ar 0r0r有限，應(yīng)用高斯定理，得 解法一由微分方程法得電位函數(shù)為解法二例2.9.1 試求真空中體電荷密度為 ，半徑為 的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。1.9.2 1.9.2 靜電力靜電力2.2.虛位移法虛位移法 ( ( Virtual Displacement Method ) )虛位移法是基于虛功原理計算靜電力的方法。虛位移法是基于虛功原理計算靜電力的方法。 廣義坐標(biāo)：距離、面積、體積、角度。廣義坐標(biāo)：距離、面積、體積、角度。廣義力：企圖改變某一個廣義坐標(biāo)的力。廣義力的正方向?yàn)閺V義廣