電磁場導(dǎo)論恒定電場

1、第三章恒定電場1第三章第三章 恒定電場恒定電場3-1 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場 3-2 恒定電場的邊值問題恒定電場的邊值問題 3-3 靜電比擬靜電比擬 3-4 電導(dǎo)與接地電阻電導(dǎo)與接地電阻 首先介紹維持恒定電場的電源及其局外場強； 然后重點討論電源外導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電流場的基本方程微分形式E=0和J=0； 引入恒定電場電位及其拉普拉斯方程2=0； 通過靜電比擬的方法介紹鏡像法、部分電導(dǎo)和接地電阻。第三章恒定電場23.1 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場3.1.1 恒定電源與局外場強恒定電源與局外場強恒定電流恒定電源恒定電場恒定電荷電源中將正負(fù)電荷分離的力fe稱局外力U E

2、eE作用于單位正電荷上的局外力,設(shè)想為等效場強，稱局外場強 Ee= fe/q , 其方向由電源負(fù)極指向正極電源電動勢lEde在電源極板和導(dǎo)體表面聚集的電荷產(chǎn)生庫侖場強 E第三章恒定電場3lleleddd)(0lElElEE在電源內(nèi)部中，既有庫侖場強，又有局外場強在電源外導(dǎo)電媒質(zhì)中，僅有庫侖場強l0dlE恒定電場基本方程之一3.1.2 傳導(dǎo)電流密度與電場強度傳導(dǎo)電流密度與電場強度在線性、各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)中，取一段元電流管JCdSdl電阻dR=dl/dS電流dI=JCdS兩端電壓J = E歐姆定律的微分形式因此，得lE ddUlJSJd)dd(ddddCCSlRIU第三章恒定電場4若單位體積內(nèi)有N

3、個電子，則JC = v = N（e）v電場力對每個電子所作的功dAe = fdl = （eE） （v dt） 元體積dV內(nèi)的（NdV）個電子移動需要做功 dA =（NdV）dAe = NdV（e E v dt） = ( N e v) E dVdt = JC E dVdt功率（體）密度 EJ dVdtdAdVdtdAdVdPp焦耳定律的微分形式。電路理論P=I2R就是由此而得。第三章恒定電場53.1.3基本方程及其微分形式基本方程及其微分形式恒定電場應(yīng)分別考慮兩種情況： 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場和載流導(dǎo)體外的恒定電場。 電源外部 0d llE由恒定情況下的電荷守恒原理 S0dSJ恒定電流連續(xù)性方程

4、基本方程的微分形式 電流線J是無頭無尾的閉合曲線導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場E仍是一個守恒場E = 0J = 0第三章恒定電場63.1.4 傳導(dǎo)電流的銜接條件傳導(dǎo)電流的銜接條件對于兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上P點 021SJSJnnJ1 n = J2 n 得由 0ldlESC0dSJ由 E1E1tE2tE212 12J1J1nJ2nJ21212021lElEttE1t = E2t 得nCtnCtJEJE2211由2121tgtg得第三章恒定電場73.2 恒定電場的邊值問題恒定電場的邊值問題導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場滿足拉普拉斯方程 不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的銜接條件 1 = 2 nn2211由E = 0E= 均勻介質(zhì) =

5、0 2=0 由0)(EEEJJ =E第三章恒定電場8解：解：由于軸對稱性，只與r有關(guān)。2=0展開簡化為 0)(1rrrr不定積分求解 rCr1例例3-1 同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為R1和R2。求： 1）介質(zhì)中的電位； 2）泄漏電流密度J； 3）單位長度的泄漏電流I。 U21lnCrC得設(shè)外導(dǎo)體r=R2處=00=C1lnR2+C2U=C1lnR1+C2 內(nèi)導(dǎo)體r=R1處=U第三章恒定電場9聯(lián)立求解，得 121lnRRUC2122lnlnRRRUC 電位 rRRRURRRUrRRU21221212lnlnlnlnlnlnrrRRrUreeE12lnrRRrUeEJ12ln1212ln2)2(lnd

6、RRUrRRrUSISJ單位長度泄漏電流第三章恒定電場103.2 .2 分界面上的自由面電荷分界面上的自由面電荷在兩種非理想介質(zhì)分界面上nnnnEEDD112212可見，分界面上一般存在自由面電荷 。只有當(dāng)參數(shù)滿足1/12/2時，才有 =0。nnJJ21因111nnJE212nnJE nJ11122)(故nJ121210)(對于金屬導(dǎo)體一般102 ，則 11+ + + + + + + + + + + + + 22J1nE1nJ2nE2n第三章恒定電場11例例3-2 已知銅1=5.8107S/m,鋁2=3.82107S/m，介電常數(shù)均為102 ，銅中的J1=1A/m2穿過分界面時與法線的夾角1=

7、45。求：1）鋁中J2的2=？ 2）分界面上=？J22？J1鋁2 銅11450解：解：658. 0518. 11tan2所以 2 =tan-10.658=33.37。2) 由于 J1n=J1cos1= 1 cos45 = 0.707 （A/m2） 22079121210)/(1009. 6)1082. 38 . 582. 38 . 5(3610707. 0)(mCJn所以 227721tan1tan45tan5181108231075.1) 由于第三章恒定電場123.2.3 從從良導(dǎo)體進入不良導(dǎo)體良導(dǎo)體進入不良導(dǎo)體設(shè)兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率12 2121tantan電流從良導(dǎo)體進入不良導(dǎo)體時可看為

8、與分界面垂直，分界面可近似地看作等位面。20J2J1190012例例3-3 鐵1=5106S/m，土壤2=102S/m，已知鐵中電流J1與法線的夾角1=895950，求土壤中電流J2與法線夾角。 解：解：根據(jù)2121tantan82610510105當(dāng)1=895950時，可得 2=8可見，只要 190，tan1，則 tan 20，20 。第三章恒定電場133.2.4 載流導(dǎo)體與理想介質(zhì)載流導(dǎo)體與理想介質(zhì)由分界面銜接條件 J1n=J2n=0?？芍?，載流導(dǎo)線內(nèi)電流和場強只有切線分量 J1 = JtE1= E1t = J1t / 1載流導(dǎo)體外的理想介質(zhì)中，沒有電流 J2=0 ,存在電場E2D2 =

9、0 E2 = 0 22 = 0 由于 ，載流導(dǎo)體不是等位體，沿線兩點間的電位差dU = E1dl = J1 (R0dl) 也就是說，無論導(dǎo)線如何彎曲，電流線和電力線同樣彎曲。第三章恒定電場14 實際工程中，由于1很大, E1t很小。挨導(dǎo)體表面的E2t，比E2n小得多，往往可以忽略不計。因此，導(dǎo)體表面的邊界條件可認(rèn)為與靜電場相同，其解答也與相應(yīng)的靜電場問題相同。 因此，載流導(dǎo)體表面場強不垂直于導(dǎo)線表面。rztJeeE2112 E2 I U1 圖 3-8 + + + + + + + U2 雙線傳輸線周圍的E線載流導(dǎo)體外的電場強度E2t = E1t= J1t/1由導(dǎo)體內(nèi)部電流決定E2n=D2n/2=

10、/2由導(dǎo)體表面電荷決定第三章恒定電場153.3 靜電比擬靜電比擬 兩類場的基本方程有相似的形式 兩類場的基本物理量有對應(yīng)關(guān)系電源外導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場電源外導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場與無電荷區(qū)域靜電場的比較與無電荷區(qū)域靜電場的比較 在一定條件下，可以把一種場的計算或?qū)嶒灲Y(jié)果，推廣應(yīng)用與另一種場，這種方法稱為靜電比擬。第三章恒定電場16 表 3-1 無電荷區(qū)的靜電場 電源外的恒定電場 基本方程或重要關(guān)系式 物理量 物理量 基本方程或重要關(guān)系式 E = 0 E E E = 0 D = 0 D J J = 0 D = E J = E E = 2 = 0 E = 2 = 0 BAdUlE U U BAdUlE

11、SdqsD q I SdIsJ UqC C G UIG 電源外導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場與無電荷區(qū)域靜電場的比較電源外導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場與無電荷區(qū)域靜電場的比較第三章恒定電場17 方程形式一樣，若邊界條件也一樣，只要已知其中一個場的解答，就可以得到另一個場的解。 例如，內(nèi)外半徑分別為R1和R2的同軸電纜，外加電壓U。 若內(nèi)外導(dǎo)體間填充介質(zhì)，則是靜電場問題； 若填充導(dǎo)電媒質(zhì)，則是恒定電場問題。 由于兩者的形狀一樣，邊界條件也相同， 則兩種場具有許多相同之處：1）兩種場的E線有相同的場圖 rRRrUeE12ln2）兩種場的等位面分布一致 rRRRU212lnln第三章恒定電場183）靜電場的D線與恒定電場

12、的J線分布一致rRRrUeED12lnrRRrUeEJ12ln4）單位長度的電容與單位長度的電導(dǎo)有對應(yīng)關(guān)系00GC120ln2RRC120ln2RRG第三章恒定電場19恒定電場的鏡像法恒定電場的鏡像法IIrrrr2121IIrrr2122 如第一種媒質(zhì)1是土壤，第二種媒質(zhì)是空氣2=0，則I=I，I”=0 I 11 1 1 I I J1 （a） 圖 3-10 （b） 圖 3-9 I 1 2 （a） I I 1 1 （b） 2 2 I （c） J1 J2 第三章恒定電場203.4 電導(dǎo)與接地電阻電導(dǎo)與接地電阻 3.4.1 電導(dǎo)電導(dǎo) 定義定義流經(jīng)導(dǎo)電媒質(zhì)的電流與導(dǎo)電媒質(zhì)兩端流經(jīng)導(dǎo)電媒質(zhì)的電流與導(dǎo)電媒

13、質(zhì)兩端電壓之比，電壓之比，UIG 計算電導(dǎo)一般有三種方法：計算電導(dǎo)一般有三種方法：1）假設(shè)電流IJEUG2）假設(shè)電壓EJIG3）利用靜電比擬C / G = / 第三章恒定電場21解：解：導(dǎo)電片內(nèi)滿足2 = 0，取圓柱坐標(biāo)系，可知電位只與有關(guān)，簡化為 022通過不定積分求解，得通解 21CC例例3-4 圖示扇形導(dǎo)電片電導(dǎo)率為，內(nèi)外弧面半徑分別為R1和R2 ，兩端平面夾角為 ，厚度為h ,，求：沿圓弧方向的電導(dǎo)。 h R1 J R2 U 例 3-4 題圖 設(shè)=0處=0，則C2=0；由=處=U，得C1=U/，則 U第三章恒定電場22電場強度 eeErU電流密度 eEJrU電流 12ln)d(21RR

14、hUrhrUdsJIRRS電導(dǎo) 12lnRRhUIG3.4.2 多電極系統(tǒng)的部分電導(dǎo)多電極系統(tǒng)的部分電導(dǎo) 三個及以上良導(dǎo)體電極組成的系統(tǒng)，任意兩個電極之間的電流不僅要受到它們自身間電壓的影響，還要受到其他電極間電壓的影響。電壓與電流的關(guān)系，不能再僅用一個電導(dǎo)來表示，需要引入部分電導(dǎo)部分電導(dǎo)的概念。 第三章恒定電場23 線性、各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)中有（n+1）個電極，它們的電流分別為I0、I1、Ik、In，且有關(guān)系I0+I1+Ik+In=0 電流與電壓的關(guān)系，用線性方程組表示為 nnkkUGUGUGUGI1111121210101nnkkUGUGUGUGI222220222121202211nnnn

15、knknnnnnUGUGUGUGIGkj稱為多電極系統(tǒng)中電極間的部分電導(dǎo)，稱為多電極系統(tǒng)中電極間的部分電導(dǎo)，G10、G20、Gk0、Gn0稱為自有部分電導(dǎo)G12、G23、Gkn、等稱為互有部分電導(dǎo)。第三章恒定電場24部分電導(dǎo)只與電極的幾何形狀、尺寸、相互位置及導(dǎo)電媒質(zhì)的電阻率有關(guān)，其數(shù)值都是正值，且Gkj=Gjk。 在(n+1)個電極組成的多極系統(tǒng)中，共有n(n+1)/2個部分電導(dǎo)。 部分電導(dǎo)與靜電場中的部分電容形成相互比擬的關(guān)系。 1# 2# 3# G12 G23 G31 G10 G20 G30 圖 3-11 3.4.3 接地電阻接地電阻 保護接地保護接地為了保護工作人員及電氣設(shè)備的安全而接

16、地；工作接地工作接地以大地為導(dǎo)線或為消除電氣設(shè)備導(dǎo)電部分對地電壓的升高而接地。工程上常將電氣設(shè)備的一部分與大地聯(lián)接，叫做接地。第三章恒定電場25接地體接地體為了接地而埋入地下的金屬導(dǎo)體系統(tǒng)接地線接地線將電氣設(shè)備與接地體連接的導(dǎo)線接地裝置接地裝置接地體與接地線的總稱。 接地電阻接地電阻電流由接地裝置流入大地，再流向另一接地體或向遠(yuǎn)處擴散所遇到的電阻。包括： 接地線本身的電阻 接地體本身的電阻 接地體與大地之間的接觸電阻 兩接地體之間大地的電阻兩接地體之間大地的電阻 接地電阻主要是指大地的電阻接地電阻主要是指大地的電阻 。 常把接地體等效為一個半徑為R的導(dǎo)體球電極，并以無限遠(yuǎn)處作為零電位點，接地體

17、電位R與接地體電流I的比值，即為接地電阻。 第三章恒定電場26J=I/4r2 ， E=J/=I/4r2 RIdrrIdlERRR442接地電阻 RIRR41hJ2）接地體不是深埋地下，要考慮地面對電流的影響hhII1）對于深埋的接地體，可不考慮地面影響 I第三章恒定電場27用鏡像法求解 hIRIR2443）緊靠地面的半球形接地體，應(yīng)用鏡像法得到一個孤立球 圖 3-14 R 接地電阻)211(41hRIRR由于孤立導(dǎo)體球的電容 C=4RRRR21412由靜電比擬可得，半球體的接地電阻第三章恒定電場283.4.4 跨步電壓跨步電壓 假設(shè)半球形接地體的半徑為R，由接地體流入大地的電流為I，則在距球心r遠(yuǎn)處的電流密度22rIJ電場強度22rIJEB A (r) lr b UBA 圖3-15 R 任一點電位 rrrIdrrIdlEr22)(2人的兩腳A、B之間的跨步電壓 )lbl(IdrrIUlblBA11222第三章恒定電場29作作 業(yè)業(yè)3-2 兩同心導(dǎo)體球內(nèi)外