Mathematica求解方程(組)、級(jí)數(shù)

1、方程（組）與級(jí)數(shù)的 Mathematica求解學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 能用Mathematica求各種方程（組）的數(shù)值解和近似解；2. 能對(duì)常見函數(shù)進(jìn)行幕級(jí)數(shù)的展開。求解簡單方程（組）數(shù)學(xué)里的方程是帶有變量的等式。一般地說，一個(gè)或一組方程總是對(duì)于方程中出現(xiàn)的變量的可能取值范圍增加了一些限制。所謂求解方程就是設(shè)法把方程對(duì)于變量取值的限制弄清 楚，最好的結(jié)果是用不含變量的表達(dá)式把變量的值表示出來。在這個(gè)系統(tǒng)里，方程也用含有變量的等式表示，要注意的是在這里等號(hào)用連續(xù)的兩個(gè)等號(hào)（=）表示。方程的兩端可以是任何數(shù)學(xué)表達(dá)式。用戶可以自己操作 Mathematica系統(tǒng)去求解方程，例如使用移項(xiàng)一類的等價(jià)變換規(guī)則對(duì) 方

2、程加以變形、對(duì)方程的兩端進(jìn)行整理、把函數(shù)作用于方程的兩端等等。系統(tǒng)也提供了一些用于求解方程的函數(shù)。1、求方程的代數(shù)解最基本的方程求解函數(shù)是Solve，它可以用于求解方程（主要是多項(xiàng)式方程）或方程組。Solve有兩個(gè)參數(shù)，第一個(gè)參數(shù)是一個(gè)方程，或者是由若干個(gè)方程組的表（表示一個(gè)方程組）;第二個(gè)參數(shù)是要求解的變量或變量表。例如，下面的式子對(duì)于變量X求解方程432x-x3 _6x21=0 :In 1:=SolvexA4-xA3-6xA2+仁=0,x輸入了這個(gè)表達(dá)式，系統(tǒng)立刻就能計(jì)算出方程的四個(gè)根，求出的解都是精確解（代數(shù)根）。對(duì)于一般的多項(xiàng)式，這樣得出的解常常是用根式描述的復(fù)數(shù)。方程的解被表示成一個(gè)

3、表，表中是幾個(gè)子表，每一個(gè)子表的形式都是 x-.，箭頭后面是方程的一個(gè)解。Solve也可以求解多變量的方程或者方程組：In 2:=Solvex-2y=0,xA2-y=i,x,y這個(gè)表達(dá)式求解方程組：x _ 2y = 0 x2 -y 有時(shí)求解方程會(huì)得到非常復(fù)雜的解。例如將上面的第一個(gè)方程稍加變形，所得到的解的表達(dá)式就會(huì)變得很長：In 3:=SolvexA4-xA3-6xA2=2=0,x這個(gè)表達(dá)式求出的解的表達(dá)式非常長，以至一個(gè)計(jì)算機(jī)屏幕顯示不下。使用MS-DOS系統(tǒng)上的Mathematica的讀者可以用鍵盤上的 PgUP鍵和PgDn鍵把計(jì)算機(jī)屏幕上已經(jīng)卷出 的表達(dá)式翻回來閱讀，附錄B里提供了使用

4、這類計(jì)算機(jī)的有關(guān)操作的更詳細(xì)的說明。對(duì)于使用圖形界面提供的功能去翻閱前面的結(jié)果。在被求解的方程里還可以有其他符號(hào)參數(shù)，可以要求系統(tǒng)對(duì)于這一個(gè)或者那一個(gè)變量求解方程。對(duì)于Mathematica系統(tǒng)來說，方程中的符號(hào)變量（無論使用什么變量名）都是一樣 的。對(duì)于處理復(fù)雜的方程，MATHEMETICA 系統(tǒng)還提供了例外兩個(gè)有用的函數(shù)。函數(shù)Eliminate 用于從方程組消去一個(gè)或幾個(gè)變量，例如下面的表達(dá)式消去方程組里的變量 Y:IN4:=Elimi nateXA2-2Y= =1,X+2Y= =4,YEliminate 的使用形式與 Solve 類似，它的第二個(gè)參數(shù)用于說明希望消去的變量。另一 個(gè)函數(shù)

5、Reduce 用于化簡復(fù)雜的方程或方程組，它試圖用一組比較簡單的邏輯關(guān)系來描述由 原來方程所描述的變量之間的關(guān)系。它的使用形式與 Solve, Eliminate 一樣，這里不舉例字 了。2、 求方程的數(shù)值解理論上已經(jīng)證明，對(duì)于五次以上的多項(xiàng)式方程沒有求代數(shù)解的一般方法， MATHEMATICA 也求不出那些不能分解因式的五次以上的多項(xiàng)式方程的解，例如：IN5 :=SOLVEXA5+5XA3-2= =0,X它返回一個(gè)帶有函數(shù) TORUOES 的表達(dá)式?？梢园押瘮?shù) N 作用到這個(gè)結(jié)果表達(dá)式上， 求出方程的數(shù)值解：IN6:=N%可以看到系統(tǒng)同時(shí)求出了方程的五個(gè)根的時(shí)候可以直接用函數(shù)N 和 SOLV

6、E 結(jié)合完成工作：IN7:=NSOLVEXA6+4XA2-31= =0,X在系統(tǒng)里直接提供了一個(gè)函數(shù) NSOLVE 做這件事。 對(duì)于更復(fù)雜的方程（或方程組） ，用 SOLVE 求不出根，使用函數(shù) N 也解決不了問題。 對(duì)于這樣的方程，用戶可以使用 REDUCE,ELIMINATE 等函數(shù)去處理，設(shè)法把方程描述的 變量之間的關(guān)系搞清楚。如果需要的就是方程的根，那么只要用求數(shù)值根的函數(shù) FINDROOT 。函數(shù) FINDROOT 求數(shù)值根所采用的方法與人們一般用計(jì)算機(jī)求數(shù)值根的方法 一樣。但是，由于 MA THEMA TIC 有求導(dǎo)函數(shù)的能力，在這里計(jì)算有導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式的數(shù) 值根就非常簡單。 不管

7、表達(dá)式多么復(fù)雜， 系統(tǒng)都能自動(dòng)的求出它的導(dǎo)函數(shù)。 求數(shù)值根使用的 也是牛頓法，用戶必須給 FINDROOT 提供一個(gè)初始值。下面一個(gè)簡單的例子：IN8:=FINDROOTSINXEXP2X-COSX= =0,X,0.5對(duì)于求不出導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式，例如用戶自己定義的一個(gè)復(fù)雜計(jì)算函數(shù)，使用FindRoot提供函數(shù)值取不同符號(hào)（正負(fù)號(hào)）的兩個(gè)點(diǎn)（用表的形式放在上面初始值0.5 的位置），形式是：IN9:= FindRoot FUN1X= =0,X,0,1這里假使 FUN1 是用戶定義的一個(gè)函數(shù)。 使用計(jì)算機(jī)求數(shù)值根的第一個(gè)問題是確定初始點(diǎn)， 若初始值選取得不好將給求根帶來困 難。再一個(gè)麻煩是用戶要自己

8、求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。 在 MATHEMATICA 系統(tǒng)里處理的對(duì)象是 表達(dá)式，一個(gè)表達(dá)式可以服務(wù)于不同的用途， 可以作為求值的對(duì)象，作為畫圖的對(duì)象， 也可 以作為演算的對(duì)象。當(dāng)需要求一個(gè)表達(dá)式的數(shù)值根的時(shí)候，表達(dá)式的這樣的多種功 能，或者說 MATHEMATICA 系統(tǒng)對(duì)于表達(dá)式的多方面的操作能力就表現(xiàn)出很大的優(yōu)越性。 一個(gè)代數(shù)表達(dá)式，無論多么復(fù)雜， MATHEMA TICA 系統(tǒng)都可以直接求出它的導(dǎo)函數(shù)，可以 作出它的圖形。 從圖形上我們很容易認(rèn)識(shí)這個(gè)函數(shù)表達(dá)式在某一個(gè)區(qū)間的大致性質(zhì)， 包括它 的根的出現(xiàn)和分布情況。 對(duì)表達(dá)式的這些認(rèn)識(shí)為人們確定如何取初始值、 如何求根提供了很 有價(jià)值的線索。

9、這樣，某些比較難以處理的問題可能就容易解決了。二、 求解常微分方程（組）1、常微分方程（組）的精確解Mathematica 能求常微分方程（組）的準(zhǔn)確解，能求解的類型大致覆蓋了人工求解的范圍，功能很強(qiáng)。但不如人靈活(例如在隱函數(shù)和隱方程的處理方面)，輸出的結(jié)果與教材上的答案可能在形式上不同。 另外，Mathematica求數(shù)值解也很方便， 且有利于作出解的圖形。 求準(zhǔn)確解的函數(shù)調(diào)用格式如下：DSolveeqn, yx ，x求方程eqn的通解y (x)，其中自變量是 x。DSolveeqn ，yx 0= =yo，yx ，x求滿足初始條件 y(xo) = yo 的特解 y (x)。DSolveeq

10、n1 , eqn2，, y 1x , y2x， , x求方程組的通解。DSolveequ1 ，y1x 0= =y 10, , y 1x , y2x， , x求方程組的特解。說明：應(yīng)當(dāng)特別注意，方程及各項(xiàng)參數(shù)的表述方式很嚴(yán)格，容易出現(xiàn)輸入錯(cuò)誤。微分方 程的表示法只有通過例題才能說清楚。例1解下列常微分方程(組)(1)y = 2y. (x 1)2, (2) y =y；x+1(x + x )y(3)y = zz = _y(4)y = zy的通解及滿足初始條件y (0) =0 , zZ = y(0) =1的特解。解: ln1=DSolvey x= =2yx/(x+1) + (x+1)A (5/2 ),

11、yx,xOut1=r 2WTj+x)7/2+(1+x5ln2=DSolvey 兇=(1+yxF2 )/(x+xA3 )Out2=yx 匚T yx ln3=DSolvey x= =zxz，X= = -yxyx,zx , xyx) , yx , x- 1 - 12c1 1 2 xOut3=yxt C1Cosx+ C2Si nx,zxT C2Cosx- C1Si nxln4=DSolvey x= =zx, z x= = -yx,y0= =0 , z0= =1,yx,zx , xOut4=yxt Sinx , zx t Cosx提示：認(rèn)真觀察上例，可以從中學(xué)習(xí)輸入格式，未知函數(shù)總帶有自變量，等號(hào)用連續(xù)

12、鍵入兩個(gè)等號(hào)表示，這兩點(diǎn)由于不習(xí)慣會(huì)出錯(cuò)！導(dǎo)數(shù)符號(hào)用鍵盤上的撇號(hào)，連續(xù)兩撇表示二階 導(dǎo)數(shù)，這與習(xí)慣相同。自變量、未知量、初始值的表示法與普通變量相同。說明：輸出結(jié)果總是盡量用顯式解表出， 有時(shí)反而會(huì)使表達(dá)式變得復(fù)雜， 這與教科書的 習(xí)慣不同。當(dāng)求顯式解遇到問題時(shí)，會(huì)給出提示。通解中的任意常數(shù)用C1 , C2，表示。例2求解下列微分方程：門)y 3y 3y y =(x -5)e(2)x2 (y)2 =1, (3) . y 二 xy。(x - 5 ) Exp-x,解：In1 : =DSolve y x +3y x+3y x + yx=yxOut1=,x2、-5x + x2丿5x22yx； 1 ex

13、22竺 xeC1 exC2 ex2C3.3 4xIn 2: =Simplify%1Out2= yxe(-20x3x4 24C1 24xC2 24x2C3) 24In3: =DSolvexA2 + y xA2 = = 1, yx , xxxOut3=In 4yx1 - x221y x x2Out4=ArcSi nx2C1,ArcSi nxC12=DSolveSqrty x = = x yx , yx , xyx -33x -C1xx說明：由以上可以看出對(duì)方程的類型并無限制,但是輸出的答案未必符合習(xí)慣，例如第xx一個(gè)方程的答案需要化簡，有時(shí)即使化簡后也未必與教材上的答案一致。例3 求微分方程xy

14、+ y - e x = 0在初始條件y| x=1 = 2e下的特解。解：In1 : =DSolvex*y x+yx-EAx= =0, y1= =2E , yx , xOut1= yxx例5求常微分方程組:2、常微分方程（組）的數(shù)值解函數(shù)NDSolve用于求給定初值條件或邊界條件的常微分方程（組）的近似解，其調(diào)用格式如下：NDSolveeqns ，yi, y2, , x , xmin , xmax 求常微分方程（組）的近似解。其中微分方程和初值條件的表示法如同DSolve，未知函數(shù)仍有帶自變量和不帶自變量兩種形式，通常使用后一種更方便。初值點(diǎn)xo可以取在區(qū)間xmin , xmax上的任何一點(diǎn)處，

15、得到插值函數(shù)InterpolatingFunctiondomain, table類型的近似解，近似解的定義域domain 般為domain , table，也有可能縮小。例4求常微分方程y = x2 + y2,滿足初始條件y （0） = 0的數(shù)值解。解：In1 : =s1=NDSolvey x= =xA2+yxA2, y0= =0,y, x , -2 , 2Out1=yt InterpolatingFunction-2., 2. , In2: = y=y / . s11Out2=lnterpolatingFunction-2., 2., ln3=Plotyx , x , -2 , 2 , As

16、pectRatio t Automatic ,PlotRa nge圖13-43微分方程的解曲線Worki ngPrecisi on參見數(shù)值積分部分的介紹。例5求常微分方程組:Worki ngPrecisi on參見數(shù)值積分部分的介紹。例5求常微分方程組:Out3= -Graphics-上例中包含許多值得學(xué)習(xí)的實(shí)用內(nèi)容，其中第二項(xiàng)參數(shù)使用y而不是yx,比用yx好。如果求解區(qū)間改為x , -3 , 3,就會(huì)出現(xiàn)警告提示，實(shí)際得不到-3 , 3上的解。Out1表明返回的解放在一個(gè)表中，不便使用，實(shí)際的解就是插值函數(shù):,2., In terpolati ngFunction -2.In2的結(jié)果是用y表

17、示解函數(shù)的名字，因此 In3順利畫出解曲線如圖13-43所示。13x y x x” 3y，= _x滿足初始條件x (0) =0, y (0) =1的數(shù)值解。解：In1 : =s仁NDSolvex t= = yt -(xtA3/3 - xt ),t= = - xt,x0= =0 , y0= =1,x, y , t , -15 ,15Out1=xt In terpolati ngFu nctio n-15.yt in terpolati ngFun cti on -15.In 2: = x=x / . s11, 1,15., ,15. , y=y / . s11, 2Out2=I nterpola

18、tin gFu nctio n-15.Out3=I nterpolat in gFu nctio n-15.,15., ,15., In4=ParametricPlotxt,yt, t , -15, 15,Out3= -Graphics-說明：上例是求一個(gè)著名方程組的近似解，其中In2也可以改用一個(gè)賦值式x , y=x ,y / . Flattens1, 一次得到兩個(gè)函數(shù)。通過求數(shù)值解容易得到它的相圖，In4繪制了解的相軌線如圖13-44所示，圖中表明原點(diǎn)是奇點(diǎn)，極限環(huán)的形狀也已經(jīng)得到。為了應(yīng)付復(fù)雜的情況，需要設(shè)置可選參數(shù)：Worki ngPrecisi on參見數(shù)值積分部分的介紹。t,0,

19、20 , PlotPoints t 1000Precisio nGoal計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差。MaxSteps最大步數(shù)。Starti ngStepSize初始步長。以上可選參數(shù)的默認(rèn)值都為 Automatic，其中AccuracyGoal和PrecisionGoal 的默認(rèn) 值比 WorkingPrecision 小10，當(dāng)解趨于 0時(shí)應(yīng)將 AccuracyGoal取成Infinity 。對(duì)于常微 分方程，最大步長默認(rèn)值為 1000。這個(gè)函數(shù)也可以解偏微分方程，最大步長默認(rèn)值為200。例6解下列微分方程（組）：1（1）yi，滿足初始條件y （0）=1的特解；4yI x = _3x 3y（2） *

20、 y =xz+26.5x - y，滿足初始條件 x（0）=z（0）=0，y（0）=1 的特解。z = xy _ z解：In1 : =NDSolvey x= =l/4yx, y0= =1, y, x , 1,AccuracyGoal20, PrecisionGoal20, WorkingPrecision 25Out1=yt In terpolat in gFu nctio n0 , 1.000000000000000000000000000 , In 2: =y1 / . %Out2=0.968912424710644784118519+ 0.2474039592545229296234109

21、ii In3: =NDSolvex t= = -3（xt -yt）,y t = = -xt zt+36.5xt -yt,z t = = xt yt- zt,x0 = = z0 = = 0, y0= =1,x,y , z, t , 0 ,20, MaxStepst 3000Out3=xt In terpolati ngFu nctio n0.,20., ,In4t in terpolat ingFun cti on 0.t in terpolat ingFun cti on 0.=ParametricPlot3DEvaluatext,20., ,20. , ,yt , zt / . %10圖13

22、-45 3維相軌線Out3= -Graphics3D-說明：以上范例中In1取高精度，而且是復(fù)系數(shù)方程。In2是求解在x=1時(shí)的近似li丄i值，求精確解能得到準(zhǔn)確值e4，讀者可以求e4的近似值與 Out2的結(jié)果比較，驗(yàn)證近似解的精確度確實(shí)很高。In3在求解時(shí)增大步數(shù)，成功地得到了由In4繪制的如圖13-45所示的解的相軌線。In4所示的繪圖語句與前面例子中的不同，現(xiàn)在只要會(huì)模仿使用它們 就行了，要想弄清原理請(qǐng)參閱相關(guān)Mathematica書籍。三、級(jí)數(shù)1. 求和與求積求有限或無窮和、積的函數(shù)是：i maxSumf , i , imin , imax求 f ，其中 imin 可以是-汽i 三mi

23、nimax可以是g (即+8),但是必須滿足imin imax。基本輸入模板中也有求和專用的符號(hào)， 使用模板輸入更方便。Sumf , i , imin , imax , j , jmin , jmax， 求多重和，也可以使用基本輸入 模板連續(xù)多次輸入求和符號(hào)得到。i maxProductf , i , imin , imax求 | f (i)，基本輸入模板中i 3 min也有求積符號(hào)。Productf , i , imin , imax , j , jmin , jmax，求多重積，也可以使用基本輸入模板連續(xù)多次輸入求積符號(hào)得到。NSum 和NProduct得到數(shù)值解。2. 將函數(shù)展開為幕級(jí)數(shù)

24、將函數(shù)展開為幕級(jí)數(shù)的函數(shù)調(diào)用格式如下:Seriesf，x，xo, n將函數(shù)f（ x）在X。處展成幕級(jí)數(shù)直到 n次項(xiàng)為止。Seriesf，x，xo，n，y，yo,m將函數(shù)f（x，y）先對(duì)y后對(duì)x展開。展開下列函數(shù)為幕級(jí)數(shù):解: In1Out1=ln2Out2=In3Out3=(1)y=tgx，( 2):=SeriesTa nx35x 2x x315:=SeriesSi nx /xsin x y =x，x，17x73150，962x92835(3)y =ox10，x，0，924x x1 -612050406 8xx+362880:=Seriesfx ， x， 1，7xyf （ x），（ 4）y = e 。ox101 f1 f 1(x-1)-21(4)41f 1(X-1)424120f1(x-1)2 1丄 f(3)1(x _1)31(x-1)5丄心二m72050407-ox -18In4:=S