parseval定理

1、譜密度在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)中,譜密度、功率譜密度和能量譜密度是一個(gè)用于信號的通用概念，它表示每赫茲的功率、每赫茲的能量這樣的物理量綱。解釋在物理學(xué)中,信號通常是波的形式，例如電磁波、隨機(jī)振動或者聲波。當(dāng)波的頻譜密度乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)南禂?shù)后將得到每單位頻率波攜帶的功率，這被稱為信號的功率譜密度（powerspectraldensity,PSD或者譜功率分布（spectralpowerdistribution,SPD。功率譜密度的單位通常用每赫茲的瓦特?cái)?shù)（W/HN表示，或者使用波長而不是頻率，即每納米的瓦特?cái)?shù)（W/nm來表示。盡管并非一定要為信號或者它的變量賦予一定的物理量綱，下面的討論中假設(shè)信號在時(shí)域

2、內(nèi)變化。定義能量譜密度能量譜密度描述的是信號或者時(shí)間序列的能量或者變化如何隨著頻率分布。如果f（t）是一個(gè)有限能量信號，即平方可積，那么信號的譜密度（）就是信號連續(xù)傅里葉變換幅度的平方。其中是角頻率（循環(huán)頻率的2冗倍），F(xiàn)（）是f（t）的連續(xù)傅里葉變換如果信號是離散的fn,經(jīng)過有限的元素之后，仍然得到能量譜密度：其中F()是fn的離散時(shí)間傅里葉變換。如果所定義的數(shù)值個(gè)數(shù)是有限的，這個(gè)序列可以看作是周期性的,使用離散傅里葉變換得到離散頻譜,或者用零值進(jìn)行擴(kuò)充從而可以作為無限序列的情況計(jì)算譜密度。乘數(shù)因子1/2冗經(jīng)常不是絕對的， 它隨著不同傅里葉變換定義的歸一化常數(shù)的不同而不同。功率譜密度上面能量

3、譜密度的定義要求信號的傅里葉變換必須存在，也就是說信號平方可積或者平方可加。一個(gè)經(jīng)常更加有用的替換表示是功率譜密度(PSD,它定義了信號或者時(shí)間序列的功率如何隨頻率分布。這里功率可能是實(shí)際物理上的功率，或者更經(jīng)常便于表示抽象的信號被定義為信號數(shù)值的平方，也就是當(dāng)信號的負(fù)載為1歐姆(ohm)時(shí)的實(shí)際功率。此瞬時(shí)功率(平均功率的中間值)可表示為：2Ps(t)由于平均值不為零的信號不是平方可積的，所以在這種情況下就沒有傅里葉變換。 幸運(yùn)的是維納-辛欽定理(Wiener-Khinchintheorem)提供了一個(gè)簡單的替換方法， 如果信號可以看作是平穩(wěn)隨機(jī)過程，那么功率譜密度就是信號自相關(guān)函數(shù)的傅里葉

4、變換。信號的功率譜密度當(dāng)且僅當(dāng)信號是廣義的平穩(wěn)過程的時(shí)候才存在。如果信號不是平穩(wěn)過程，那么自相關(guān)函數(shù)一定是兩個(gè)變量的函數(shù)，這樣就不存在功率譜密度，但是可以使用類似的技術(shù)估計(jì)時(shí)變譜密度。屬性,1-infnef(t)的譜密度和f(t)的自相關(guān)組成一個(gè)傅里葉變換對(對于功率譜密度和能量譜密度來說，使用著不同的自相關(guān)函數(shù)定義)。通常使用傅里葉變換技術(shù)估計(jì)譜密度，但是也可以使用如Welch法(Welchsmethod)和最大嫡這樣的技術(shù)。傅里葉分析的結(jié)果之一就是Parseval定理(Parsevalstheorem),這個(gè)定理表明能量譜密度曲線下的面積等于信號幅度平方下的面積，總的能量是：2ftdtd:

5、上面的定理在離散情況下也是成立的。另外的一個(gè)結(jié)論是功率譜密度下總的功率與對應(yīng)的總的平均信號功率相等，它是逐漸趨近于零的自相關(guān)函數(shù)。相關(guān)概念大多數(shù)“頻率”圖實(shí)際上僅僅表示了譜密度。有時(shí)完整的頻率要用兩部分來表示，一部分是對應(yīng)于頻率的“幅度”(它就是譜密度)，另外一部分是對應(yīng)于頻率的“粗色”(它包含了頻譜中剩余的其它信息)。信號f(t)可以從一個(gè)完整的頻譜進(jìn)行恢復(fù)。需要注意的是f不能僅僅從譜密度這一部分進(jìn)行恢復(fù)一一它丟失了“臨時(shí)信息”。信號的譜矩心(spectralcentroid)是譜密度函數(shù)的中點(diǎn)，也就是說將整個(gè)分布切分成兩個(gè)相等部分的點(diǎn)。譜密度是頻率的函數(shù)，而不是時(shí)間的函數(shù)。但是，也可以計(jì)算一個(gè)較長信號上一小段“窗口”的譜密度，并且根據(jù)與事件相關(guān)的窗口進(jìn)行繪圖，這樣的圖形稱為頻譜圖(spectrogram)。這是短時(shí)傅里葉變換和小波等許多譜分析技術(shù)的基礎(chǔ)。應(yīng)用一一電子工程信號功率譜的概念和應(yīng)用是電子工程的基礎(chǔ)，尤其是在電子通信系統(tǒng)中，例如無線電和微波通信、雷達(dá)以及相關(guān)系統(tǒng)。人們已經(jīng)花費(fèi)了很大的精力和大量的金錢投入到開發(fā)、生產(chǎn)“頻