幾種特殊函數(shù)的積分

1、 4-5 幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分 一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分 ； 二、三角函數(shù)有理式的積分；二、三角函數(shù)有理式的積分； 三、簡單無理函數(shù)的積分三、簡單無理函數(shù)的積分.積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分線性性線性性復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負

2、負整整數(shù)數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都都是是實實數(shù)數(shù)，并并且且00 a，00 b.一、有理函數(shù)的積分假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式,)1(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是真分式真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是假分式假分式； 利用多項式除法利用多項式除法, 假分式可以化成一個假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和多項式和一個真分式之和.例例1123 xxx.112 xx難點難點 將有理函數(shù)化為部分分式之和將有理函數(shù)化為部分分式之和.（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有

3、理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：其中其中kAAA,21都是常數(shù)都是常數(shù).特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;axA （2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM ,都是常數(shù)都是常數(shù)), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;2qpxxNMx 真分式化為部分分式之和的真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法待定系數(shù)法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3

4、 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 12)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值來確定系數(shù)代入特殊值來確定系數(shù)CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并將并將 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,12

5、12xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得例例4 4 求積分求積分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.1ln11lnCxxx解解例例5 5 求積分求積分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx221151125121ln52.arctan51)1ln(5121ln522Cxxx例例6 6 求積分求積分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtt

6、tt )1)(1(162dttttt 2133136Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(說明說明 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：現(xiàn)三類情況：)1(多項式；多項式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 討論積分討論積分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 2,422pqa ,2MpNb 則則 dxqpxxNMxn)(

7、2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx 記記, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn這三類積分均可積出這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). ., 1)1( n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(s

8、inxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函數(shù)有理式的積分2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （萬能置換公式）（萬能置換公式）例例7 7 求積分求積分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由萬能置換公式由萬能置換公式 dxxxxco

9、ssin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 例例8 8 求積分求積分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 解（二）解（二）修改萬能置換公式修改萬能置換公式,xutan

10、令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 解（三）解（三）可以不用萬能置換公式可以不用萬能置換公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 結(jié)論結(jié)論 比較以上三種解法比較以上三種解法, 便知萬能置換不一定便知萬能置換不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的計算中先考故三角有理式的計算中先考慮其它手段慮其它手段, 不得已才用萬能置換不得已才用萬能置換.例例9 9 求積分求積分.sin3sinsi

11、n1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x .tan41Cx 討論類型討論類型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法解決方法作代換去掉根號作代換去掉根號. .例例1

12、010 求積分求積分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 三、簡單無理函數(shù)的積分,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 例例1111 求積分求積分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 說明說明 無理函數(shù)去根號時無理函數(shù)去根號時, 取根指數(shù)的取根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù).例例1212 求積分求積分.12

13、13 dxxxx解解先對分母進行有理化先對分母進行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 簡單無理式的積分簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分三角有理式的積分.（萬能置換公式）（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結(jié)思考題思考題將分式分解成部分分式之和時應(yīng)注意什么？將分式分解成部分分式之和時應(yīng)注意什么？思考題解答

14、思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式分解后的部分分式必須是最簡分式.一、一、 填空題：填空題：1 1、 dxxxCBxxAdxx111323，其，其 A_, , B_ _ , , C_；2 2、 dxxCxBxAdxxxx111111222, , 其中其中 A_, , B_, , C_；3 3、 計算、 計算 ,sin2xdx可用萬能代換可用萬能代換 xsin_ _, , dx_ _；4 4、計算、計算 ,mbaxdx令令 t_, , x_,_, dx_ . .練習(xí)題練習(xí)題5 5、有理函數(shù)的原函數(shù)都是、有理函數(shù)的原函數(shù)都是_ . .二、求下列不定積分：二、求下列不定積分： 1 1、 321

15、xxxxdx； 2 2、 xxxdx221； 3 3、 dxx411； 4 4、 xdx2sin3； 5 5、 5cossin2xxdx； 6 6、 dxxx1111 ； 7 7、 xdxxx11； 8 8、 342)1()1(xxdx . .三、求下列不定積分三、求下列不定積分（用以前學(xué)過的方法） ：（用以前學(xué)過的方法） ： 1 1、 dxxx31； 2 2、 dxxxxsincos1； 3 3、 241xxdx； 4 4、 dxxx32cossin； 5 5、 dxxx283)1(； 6 6、dxxx sin1sin； 7 7、 dxxxxx)(33； 8 8、 dxexexx2)1(；

16、9 9、 dxxx22)1ln(； 10 10、 xdxx arcsin12； 11 11、dxxxxx cossincossin； 1212、 )(xbaxdx. .二、二、1 1、Cxxx 34)3)(1()2(ln21； 2 2、Cxxxx arctan21)1()1(ln41224； 3 3、)12arctan(421212ln8222 xxxxx C )12arctan(42；一一、1 1、2,1,1 ； 2 2、- -1 1, ,21,21；3 3、2212,12uduuu ； 4 4、bax , ,abt 2, ,dtat2； 5 5、初初等等函函數(shù)數(shù) . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案 4 4、Cx 3tan2arctan321； 5 5、Cx 512tan3arctan51； 6 6、Cxxx )11ln(414； 7 7、xxxx 1111lnCxx 11arctan2, ,或或 Cxxx arcsin11ln2； 8 8、Cxx 31123. .三、三、1 1、 Cxx 11)1(212； 2 2、Cxx )sinln(； 3 3、Cxxx