幾何入門訓練1

1、幾何入門訓練【概述】要學好幾何，首先要在理解的基礎上完全掌握各項知識點，包括各種概念和原理，在此基礎上,掌握好“識圖”、“推理”和“表達”三大能力，幾何就不會難學了。現(xiàn)在，我們就從上述幾個方面著手，大家共同努力，漸入“幾何之門”?！局R點】必須了解的基本概念直線、射線、線段、角（周角、平角、直角、鈍角、銳角） 相交、平行、垂直、垂線段、角平分線、中點 同位角、內錯角、同旁內角、余角、補角、鄰補角、互余、互補、對頂角 兩點間的距離（連接兩點的線段的長度）、點到直線的距離、平行線間的距離以上概念，教科書上都有詳細的解說，請同學們自己去查找，這里不再解釋。必須.坐握的基本原理所謂原理，就是用房解、證

2、幾何題的依據(jù)。在幾何里，我們每一步分析推理、每一個結論的得出，都必須有一個相應的“原理”作為依據(jù)。比如說，當我們看到題目中有兩條直線平行，我們就可以得出同位角相等的結論，這是因為我們知道有一條原理就是“兩直線平行，同位角相等”。下面，我們按內容將要學習的原理分為“幾何基本原理（9條）”、“平行線性質原理（4條）”、“平行線判定原理（5條）”三類共18條來學習。幾何基本原理【原理1】過兩點直且只直二條立線.。（或：兩點確定二條直線_）R原理解說1經過兩點作直線，只能作出一條，此原理為公理，不用證明。R應用舉例1用兩顆釘子就可以將一根木條固定在墻上，是因為【原理2】.兩點之旬_“線段最短。R原理解

3、說1如圖1-1,在A、B兩點之間，有各種連接方法,其中最短的就是線段AB,此原理可用來證明“三角形基本原理【原理3】同角（或等角）的補角捫等一同角（或等角）的余角相等.。R原理解說1此原理在應用上的格式如下：a +0 =180° P+e=180。（已知）P （同角的補角相等）“同角（或等角）的余角相等”的應用只要將上式中的12 =180 :34 =180 二/1=N3 （已知）/2=/4 （等角的補角相等）180o改為90o即可。3R應用舉例1如圖1-2,RtABC中，/ACB=90,CDLAB于D,求證：/1=ZB,/2=/A證明：CDLAB/BDC=90Z2+ZB=90C又:/A

4、CB=90即/1+/2=90'.1./1=/B同理可得：/2=ZA（已知）（垂直定義）（三角形內角和定理）（已知）（同角的余角相等）（在學習原理的同時，注意模仿證題的格式）R練習1如圖1-3,點E在BD上,AB±BD于B,求證：/1=/C,/2=/A證明：（圖1-2）DC!BD于D,且AE±CE【原理4】對頂角相等。R原理解說ii加面1-4,這是個很簡單的原理,/1=/2,可用“同角的補角相等”原理來證明。已知：直線a、b相交求證：/1=72證明：【原理5】過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；在里面囚過二點有氐只直二條直線與E知直線垂直.。R原理解說1此原理

5、在解證題中用得較少，只要理解即可。不過要注意二者的區(qū)別：前面一句有“過直線外”而無“在平面內”，后面一句正好相反?！驹?】直線處二點與直線上衽點連結的所為線段上上垂線段最短.R原理解說1P是直線l外一點，AB、C都在直線l上，且PAIl。那么在線段PAPRPC中，PA最短。此原理應用也少。【原理7】平移不改變圖形的形狀和大??；平移把直線變成與它平行的直線；像與原像對應點的連線坐行且相篝，R原理解說1平移的性質比較簡單，所以不多加說明。7X65,/ 1 = 72 / 1 = 7 3，/2=/3 （等量代換）平行線性質原理【原理8】平面內如果一條直線垂直于兩平行線中的一條，則必垂直于另一條。R原

6、理解說1如圖1-5,a/b,c，a,試說明c±b【原理9】等量加（或減）等量，仍是等量（等式性質等量可代換（簡稱“等量代換”）R原理解說1此原理本是數(shù)學中的基本原理，非幾何專有。其常見格式如下：,/1=/2/3=/4./1±/3=/2±/4（等式性質）【平行線性質原理U兩直線平行同位角相等；【平行線性質原理2】jsa線飛行”.向錯疝如i_；【平行線性質原理3】向百裝行，同旁內補。（注：以上原理將在“識圖訓練”中加強，此處略過）【平行線性質原理4】工行線間的距離處處相一等一。R原理解說1如圖2-1,allb,A、B兩點在直線a上,C、DE在直線b上，則有S»

7、;AABC=SABD=SABE,其理由是“同底等高”略證：依據(jù)“平行線性質原理4"，ABGABDABE的高都是h,S»AABC=SAABD=SaABE=1/2,AB-h平行線判定原理【平行線判定原理1】同位角.相宗一兩直線上行一a【平行線判定原理2】內錯角相笠.,兩直線坐行.；b【平行線判定原理3】同旁內角一互補,一兩直線工行；c（注：以上原理將在“識圖訓練”,加瓜向S昭山（圖2-2）【平行線判定原理4】壬行于同二條直線的兩條直線.互用下行.；R原理解說1如圖2-2,若a/b,b/c,則a/c;【平行線判定原理5】在平面內垂直于同一條直線的兩條直線互相平行一。abR原理解說

8、1如圖2-3,若a±c,b±c,則a/b。c【能力訓練】,然后用規(guī)定的格式寫出來（表達）一道幾何題，通常是通過觀察圖形（識圖）來進行分析（推理）這是一般的解題過程，說明“識圖”、“推理”、“表達”這三大能力是緊密聯(lián)系、缺一不可的。但這三大能力也有一定的獨立性，下面我們就先從“識圖”著手，逐漸學習幾何的解題能力。、基本識圖能力訓練（包括基本作圖能力） 位角、如圖4-1 ,直線a、b被c所截，形成8個角（此即所謂的“三線八角圖”，）請找出圖中所有的同 內錯角和同旁內角。（注意，a、b并不一定要平行）如圖4-2, all b,在圖中找出所有相等的角、互補的角如圖4-3,三條直線兩

9、兩相交（即每兩條都相交）.角,.角,.角,（圖,則: 角 .角 角（4）如圖 4-4, a/ b, c/ d, 若/ 1 = /3= /,o/ 2+Z 5=180 3 /4=/5 二 II若 a / b= / 1 = / c II d= / 1 = /則：; / 3= / 4= ,o; / 2+/ 3=180 =； / 4=/ 6n , = Z 3+Z =180=Z 2+Z =180 o 如圖 4-5, AB / CD, AD / BC ,貝U: AB / CD =AD / BC = /6=/8 =Z2=ZZ1 = Z/ABC吆 BCD=180-/ ADC廿 BCD=180-（圖 4-5）（圖

10、 4-1）4-2）Fd（圖 4-4）10（圖 4-3）（6）如圖4-6,線段AB之間有5個點，則圖中共有多少條線段?R解法1 若直接數(shù)，則先以 A為一個端點，有 AG AD、 AF、AG、AB共6條線段；再以C為一個端點，有 CD、 CF、CG、CB共5條線段，（CA已數(shù)過，不要再往前重復） 線段。 換一種思路：以 A為端點的線段共有 6條（共AE、CE、依此類推，共有（圖 4-6）6+5+4+3+2+1=21 條7個點，A與其它6個點分別組成），同樣,以B為端點的線段也有6條，但與A點重復1條，其實每兩個點之間都會重復一次，所以共有+2=21條。按第種思路，若線段上共有n個點，則共有n（n-

11、D條線段。R練習1若線段AB之間有9個點，則共有條線段。R推廣1如圖4-7,圖中共有個三角形； 某校初三年級共有6個班，準備舉行一次藍球賽，采取單循環(huán)賽制，即每兩個班只比賽一場，則此次比賽共要安排場。 如圖4-8,如果不計平角和周角，則圖中共有個角；（圖4-7）A、B兩個火車站之間有4個小站，每兩個站之間的距離都不相同，那/a么共有種不同的票價，要準備種不同的車票。如圖4-9,/1=/A,可判定/根據(jù)是；''/3+/GFE=180,可判定/,根據(jù)（圖4-8）（圖 4-9）三條直線交點的個數(shù)有4種可能，即0、1、2、3個交點，請分別畫出這4種圖。（0個交點圖）（1個交點圖）（2個

12、交點圖）（3個交點圖）平面內有三個點，過每兩個點作直線，可做多少條？四個點呢？分別畫出圖形說明。（10）如圖，平面內AB、C、D四點，按要求作圖：作直線AGBQ作線段AB;作射線AD;連ZBQCD（11）如圖，已知線段a、b（b>a）,求作：線段a+b線段b-a線段2a-b已知線段AB=10cm,在直線AB上有一點C,且BC=4cm;M是AC中點，求線段AM長。（提示：先畫圖，再求解）9二、識圖、推理、表達綜合能力基礎訓練如圖5-1,線段AB上有C、D兩點，若AC=BD,廣了一試證明AD=BC證明：AC=BD（已知）（圖5-1）AC+CD=BD+CD（等式性質）即：AD=BCR變化11如

13、圖5-1,線段AB上有C、D兩點，若AD=BC，試證明AC=BDR變化2如圖5-1,線段B上有C、兩點，若AD=BC=7,R變化31如圖5-2,已知/AOD=/BOC,求證：/1=72CD=2,求AB的長。（圖5-2）R變化4如圖5-2,已知/1=72,求證：/AOD=/BOCR變化51如圖5-2,已知/AOD=/BOC=70°,/DOC=20°,求/AOB的度數(shù):如圖5-3,已知直線a、b被c所截，/1=72,、一o求證：/3=72,/4+Z2=180說說明1本題是由同位角相等證內錯角相等、同旁內角互補,所以不要由/1=/2得a/b來證。R變化11如圖5-4,已知直線a、

14、b被c所截，/1=72,求證：a/bR說明1本題可用同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補三種方法來證。證法一：（圖5-4）證法證法三:（圖 5-5）（圖 5-7）R變化21如圖5-5,已知直線a、b被c所截，/1+/2=180求證：a/bR說明1本題也可用同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補三種方法來證。證法一：證法證法三:R變化31如圖5-6,已知a/b,/1=Z2,求證：c/d（提示：找一個中間量）如圖5-7,/A=/1,CE平分/BCD,試證CE/ABR變化11如圖5-8,已知EF/CD,/1=72,證明：CD平分/ACB,BD 平分/ ABCCE / DFR變化21如圖5-9,已知/A

15、BC=/ACBCE平分/ACB,/DBF=/F,證明：（4）求證：鄰補角的角平分線互相垂直如圖5-10,已知OE平分/AOC,OF平分/BOC,證明：OELOFR變化1求證：兩直線平行，同旁內角的角平分線互相垂直如圖5-11,已知AB/CD,EP平分/BEC,FP平分/EFD,證明：EPXFP如圖5-12中的三個圖，已知AB/CD,試探究/1、/2與/3的關系并加以證明。在（1）圖中，/=/+/11在（2）圖中，/+/+/=證明：(2)在（3）圖中，/證明：三、常用幾何（數(shù)學）解題思想（思路）K轉化思想轉化思想就是將未知的，陌生的，復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的，熟悉的，簡單的問題，是數(shù)學

16、中最常用、最基本的思想之一。例如解二元一次方程組就是將二元一次方程轉化成一元一次方程來解；P6第題的幾個變化題型都是運用轉化思想，將已知條件轉化成同位角或內錯角等相等來證。K分類討論思想2當一個問題因為某種量的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量的各種情況進行分類討論。例如|a的取值就需要討論；R第題也需要討論C點的位置。K數(shù)形結合思想2利用“數(shù)形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。把代數(shù)和幾何相結合，例如對幾何問題用代數(shù)方法解答，對代數(shù)問題用幾何方法解答。例：如右圖，P是AC中點,則下列式子不成立的是（A. MN=PCC. PN=1/2 （PC+PB）M是AB中點，N是

17、BC中點, )B. MP=1/2 (AP-PB)D. MN=1/2 (AC+PB )本題若直接識圖除 a選項外很難看清其中的等量關系,我們可以設 AM=BM= a , BN=NC= b ,貝U有:ap=CP=1/2(2a+2b)=a+bPB=PC-BC=a+b-2b=a-bMP=AP-AM=a+b-a=b(AP-PB)=(a+b)-(a-b)=2b1/2(AP-PB)=b選項B成立。卜面大家使用這種方法可以自己判定選項C、D是否成立：PN=-=1/2（PC+PB）=選項C。（填“成立”或“不成立”）MN=1/2（AC+PB）=選項D。（填“成立”或“不成立”）K方程思想2當一個問題可能與某個方程建立關聯(lián)時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題。不關是代數(shù)中的應用題要用到方程思想，幾何中的一些題型也可用方程思想解決。例：點C、D將線段AB分成2:3:4三部分，M、N分別是第一、第三部分的中點，MN=4.2cm,求AB的長度。分析：本題本無圖，我們可以根據(jù)題意先畫圖。如右圖：MN依題意可設AC、CD、DB分別為2X、3x、4X,識圖二AI.UD可得MN=6X=4.2cm,則X=0.7,AB=9X=6.3cmK整體思想2從問題的整體性質出發(fā)，突