九年級(jí)數(shù)學(xué)-第二十七章-相似三角形-難題易錯(cuò)題

1、1如圖所示，已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF2如圖，ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，在AB的延長線上任取一點(diǎn)E，連接OE交BC于點(diǎn)F若AB=a，AD=c，BE=b，則BF= 3如圖所示在ABC中，BAC=120，AD平分BAC交BC于D求證：4如圖所示，ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，E為AD延長線上一點(diǎn)，OE交CD于F，EO延長線交AB于G求證：5一條直線截ABC的邊BC、CA、AB（或它們的延長線）于點(diǎn)D、E、F求證：6如圖所示P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，過P點(diǎn)作線段DE，F(xiàn)G，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求d7如圖

2、所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O點(diǎn)，過O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EFBCAD=12厘米，BC=20厘米求EF8已知：P為ABCD邊BC上任意一點(diǎn)，DP交AB的延長線于Q點(diǎn)，求證：9如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，MNBC，且MN與對角線BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN10P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，過P點(diǎn)作DE，F(xiàn)G，IH分別平行于AB，BC，CA（如圖所示）求證：11如圖所示在梯形ABCD中，ABCD，ABCD一條直線交BA延長線于E，交DC延長線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB12已知P為

3、ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連AP，BP，CP并延長分別交對邊于D，E，F(xiàn)求證：（1）（2）三者中，至少有一個(gè)不大于2，也至少有一個(gè)不少于213如圖所示在ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分BAC，BDAE的延長線于D，且交AM延長線于F求證：EFAB14如圖所示P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BP=BQ，BHPC于H求證：QHDH15已知M是RtABC中斜邊BC的中點(diǎn)，P、Q分別在AB、AC上，且PMQM求證：PQ2=PB2+QC216如圖所示在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求證：EFBC17如圖所示在ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足APB=BPC=C

4、PA若2B=A+C，求證：PB2=PAPC（提示：設(shè)法證明PABPBC）18已知：如圖，ABC為等腰直角三角形，D是直角邊BC的中點(diǎn)，E在AB上，且AE：EB=2：1求證：CEAD19如圖所示，ABC中，M、N是邊BC的三等分點(diǎn)，BE是AC邊上的中線，連接AM、AN，分別交BE于F、G，求BF：FG：GE的值20.在ABC中，ABC=124求證：1AB+1AC=1BC提示：要證明如幾何題的常用方法：比例法：將原等式變?yōu)椋蕵?gòu)造成以a+b、b為邊且與a、c所在三角形相似的三角形。通分法：將原等式變?yōu)椋孟嚓P(guān)定理將兩個(gè)個(gè)比通分即：2013初中相似三角形難題易錯(cuò)題參考答案與解析一填空題（共2小題）

5、1如圖所示，已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF考點(diǎn)：平行線分線段成比例725636 專題：計(jì)算題分析：由于BC是ABC與DBC的公共邊，且ABEFCD，利用平行線分線段成比例的定理，可求EF解答：解：在ABC中，因?yàn)镋FAB，所以EF：AB=CF：CB，同樣，在DBC中有EF：CD=BF：CB，+得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1設(shè)EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入得x：6+x：9=1，解得x=故EF=厘米點(diǎn)評(píng)：考查了平行線分線段成比例定理，熟練運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算2如圖，ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，在AB的延長線上任取一點(diǎn)E，連接OE交

6、BC于點(diǎn)F若AB=a，AD=c，BE=b，則BF= 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)725636 專題：計(jì)算題分析：首先作輔助線：取AB的中點(diǎn)M，連接OM，由平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì)，即可求得：EFBEOM與OM的值，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得BF的值解答：解：取AB的中點(diǎn)M，連接OM，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，OB=OD，OMADBC，OM=AD=c，EFBEOM，AB=a，AD=c，BE=b，ME=MB+BE=AB+BE=a+b，BF=故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)解此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，合理應(yīng)

7、用數(shù)形結(jié)合思想解題二解答題（共17小題）3如圖所示在ABC中，BAC=120，AD平分BAC交BC于D求證： 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定725636 專題：證明題分析：過D引DEAB，交AC于E，因?yàn)锳D平分BAC（=120），所以BAD=EAD=60若引DEAB，交AC于E，則ADE為正三角形，從而AE=DE=AD，利用CEDCAB，可實(shí)現(xiàn)求證的目標(biāo)解答：證明：過D引DEAB，交AC于EAD是BAC的平分線，BAC=120，BAD=CAD=60又BAD=EDA=60，所以ADE是正三角形，EA=ED=AD由于DEAB，所以CEDCAB，=1由，得=1，從而+=點(diǎn)評(píng)：本題考

8、查了相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定，考查了等邊三角形的判定，考查了角平分線的性質(zhì)，本題中求證CEDCAB是解題的關(guān)鍵4如圖所示，ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，E為AD延長線上一點(diǎn)，OE交CD于F，EO延長線交AB于G求證： 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)725636 專題：證明題分析：應(yīng)利用平行四邊形的性質(zhì)，通過添加輔助線使各線段“集中”到一個(gè)三角形中來求證解答：證明：延長CB與EG，其延長線交于H，如虛線所示，構(gòu)造平行四邊形AIHB在EIH中，由于DFIH，=IH=AB，=，從而，=1+在OED與OBH中，DOE=BOH，OED=OHB，OD=OB，

9、OEDOBH（AAS）從而DE=BH=AI，=1由，得=2點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)的理解和掌握，此題的關(guān)鍵是延長CB與EG，其延長線交于H，如虛線所示，構(gòu)造平行四邊形AIHB這是此題的突破點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，因此屬于一道難題5一條直線截ABC的邊BC、CA、AB（或它們的延長線）于點(diǎn)D、E、F求證： 考點(diǎn)：三角形的面積725636 專題：證明題分析：連接BE、AD，并把線段之比轉(zhuǎn)化為兩三角形面積之比，然后約分即可求證解答：證明：如圖，連接BE、AD，BDE與DCE等高，=，DCE與ADE等高，=，ADF與BDF等高，=，AEF與BEF等高，=，=，=1點(diǎn)評(píng)：此

10、題考查學(xué)生對三角形面積的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是連接BE、AD，并把線段之比轉(zhuǎn)化為兩三角形面積之比6如圖所示P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，過P點(diǎn)作線段DE，F(xiàn)G，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求d考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)725636 專題：計(jì)算題分析：由FGBC，HICA，EDAB，易證四邊形AIPE、四邊形BDPF、四邊形CGPH均是平行四邊形，利用平行線分線段成比例定理的推論可得IHBAFGABC，于是=，=，再結(jié)合=，先計(jì)算式子右邊的和，易求+=2，從而有+=2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，

11、BC=450，CA=425代入此式，解即可解答：解：FGBC，HICA，EDAB，四邊形AIPE、四邊形BDPF、四邊形CGPH均是平行四邊形，IHBAFGABC，=，=，+=，又DE=PE+PD=AI+FB，AF=AI+FI，BI=IF+FB，DE+AF+BI=2（AI+IF+FB）=2AB，+=2，DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，+=+=2，+=2，解得d=306點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、平行四邊形的判定和性質(zhì)7如圖所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O點(diǎn)，過O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EFBCAD

12、=12厘米，BC=20厘米求EF考點(diǎn)：平行線分線段成比例725636 分析：由平行線的性質(zhì)可得=，得出OE與BC，OF與AD的關(guān)系，進(jìn)而即可求解EF的長解答：解：ADBC，EFBC，=，又=，=，OE=BC=，OF=AD=，EF=OE+OF=15點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行線的性質(zhì)問題，能夠利用其性質(zhì)求解一些簡單的計(jì)算問題8已知：P為ABCD邊BC上任意一點(diǎn)，DP交AB的延長線于Q點(diǎn)，求證：考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)725636 專題：證明題分析：由于AB=CD，所以將轉(zhuǎn)化為，再由平行線的性質(zhì)可得=，進(jìn)而求解即可解答：證明：在平行四邊形ABCD中，則ADBC，ABCD，=1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平

13、行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握9如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，MNBC，且MN與對角線BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；梯形725636 專題：計(jì)算題分析：由平行線分線段成比例可得對應(yīng)線段的比，再由題中已知條件即可求解線段MN的長解答：解：MNBC，在ABD中，=，即OM=，同理ON=，MN=OM+ON=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)問題，能夠熟練掌握10P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，過P點(diǎn)作DE，F(xiàn)G，IH分別平行于AB，BC，CA（如圖所示）求證：考點(diǎn)：平行線分線段成比例725636 專題：證明題分析：（1）

14、由平行線可得PIFCAB，得出對應(yīng)線段成比例，即=，同理得出=，即可證明結(jié)論；（2）證明方法與（1）相同解答：證明：（1）DEAB，IHAC，F(xiàn)GBC，可得PIFCAB，=，同理=，+=+=1（2）仿（1）可得=，=，+=+=1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行線的性質(zhì)問題，能夠利用其性質(zhì)通過線段之間的轉(zhuǎn)化，證明一些簡單的結(jié)論11如圖所示在梯形ABCD中，ABCD，ABCD一條直線交BA延長線于E，交DC延長線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；梯形725636 專題：計(jì)算題分析：由平行線可得對應(yīng)線段成比例，又由

15、已知EF=FG=CH=HI=IJ，可分別求出線段AB、CD與AE、CJ的關(guān)系，進(jìn)而可求解結(jié)論解答：解：ABCD，EF=FG=CH=HI=IJ，=，=，=，DJ=4AE，又=，解得AB=AE，又AE=CJ，AB=CJ，EB=4CJ，=，CD=5CJ，AB：CD=：5=1：2點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形對應(yīng)邊成比例或平行線分線段成比例的性質(zhì)問題，應(yīng)熟練掌握12已知P為ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連AP，BP，CP并延長分別交對邊于D，E，F(xiàn)求證：（1）（2）三者中，至少有一個(gè)不大于2，也至少有一個(gè)不少于2 考點(diǎn)：平行線分線段成比例725636 專題：證明題分析：（1）第一問可由三角形的面積入手，即PBC+

16、PAC+PAB=ABC，通過化簡可得面積與線段之間的關(guān)系，進(jìn)而即可求解（2）由（1）中得出，則其中至少有一個(gè)不大于，可設(shè)，即3ADPD，而AD=AP+PD，進(jìn)而通過證明即可得出結(jié)論解答：解：（1）由面積概念得：SPBC+SPAC+SPAB=SABC整理等式得：+=1，由面積概念得：=，=，=，即=同理得：=把式、代入式得：；（2）由，知，中至少有一個(gè)不大于，不妨設(shè)即3ADPD而AD=AP+PD，AP2PD，2，即不小于2，同理可證三式中至少有一個(gè)不大于2點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的面積比與對應(yīng)邊的比值之間的關(guān)系，能夠熟練掌握其內(nèi)在聯(lián)系，并能求解一些比較復(fù)雜的問題13如圖所示在ABC中，AM是B

17、C邊上的中線，AE平分BAC，BDAE的延長線于D，且交AM延長線于F求證：EFAB考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)725636 專題：證明題分析：利用角平分線分三角形中線段成比例的性質(zhì)，構(gòu)造三角形，設(shè)法證明MEFMAB，從而EFAB解答：證明：過B作BGAC交AE的延長線于G，交AM的延長線于HAE是BAC的平分線，BAE=CAEBGAC，CAE=G，BAE=G，BA=BG又BDAG，ABG是等腰三角形，ABF=HBF，F(xiàn)到AB與BH的距離相等，SABF：SHBF=AB：BH，SABF：SHBF=AF：FH，AB：BH=AF：FH又M是BC邊的中點(diǎn)，且BHAC，易知ABHC是平行

18、四邊形，從而BH=AC，AB：AC=AF：FHAE是ABC中BAC的平分線，AB：AC=BE：EC，AF：FH=BE：EC，即（AM+MF）：（AMMF）=（BM+ME）：（BMME）（這是因?yàn)锳BHC是平行四邊形，所以AM=MH及BM=MC）由合分比定理，上式變?yōu)锳M：MB=FM：ME在MEF與MAB中，EMF=AMB，MEFMABABM=FEM，所以EFAB點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)和角平分線的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是過B引BGAC交AE的延長線于G，交AM的延長線于H和利用合分比定理14如圖所示P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BP=BQ，BHPC于H

19、求證：QHDH考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)725636 專題：證明題分析：要證QHDH，只要證明BHQ=CHD由于PBC是直角三角形，且BHPC，熟知PBH=PCB，從而HBQ=HCD，因而BHQ與DHC相似解答：證明：在RtPBC中，BHPC，PBC=PHB=90，PBH=PCB顯然，RtPBCRtBHC，=，由已知，BP=BQ，BC=DC，=，=ABC=BCD=90，PBH=PCB，HBQ=HCD在HBQ與HCD中，=，HBQ=HCD，HBQHCD，BHQ=DHC，BHQ+QHC=DHC+QHC又BHQ+QHC=90，QHD=QHC+DHC=90，即DHHQ

20、點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，難度適中，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法15已知M是RtABC中斜邊BC的中點(diǎn)，P、Q分別在AB、AC上，且PMQM求證：PQ2=PB2+QC2考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線；勾股定理725636 專題：證明題分析：以M點(diǎn)為中心，MCQ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180至MBN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可得MCQ與MBN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BN=QC，MN=MQ，全等三角形對應(yīng)角相等可得，MBN=C，再連接PN，可以證明PM垂直平分NQ，所以PN=PQ，然后證明PBN為直角三角形，根據(jù)勾股定理即可證明解答：證明：如圖，以M點(diǎn)為中心，MCQ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180至

21、MBN，MCQMBN，BN=QC，MN=MQ，MBN=C，連接PN，PMQM，PM垂直平分NQ，PN=PQ，ABC是直角三角形，BC是斜邊，ABC+C=90，ABC+MBN=90，即PBN是直角三角形，根據(jù)勾股定理可得，PN2=PB2+BN2，PQ2=PB2+QC2點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)，勾股定理的應(yīng)用，利用旋轉(zhuǎn)變換把構(gòu)造出以PQ、PB、QC轉(zhuǎn)化為同一個(gè)直角三角形的三邊是證明的關(guān)鍵16如圖所示在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求證：EFBC考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線的判定725636 專題：證明題分析：由題中條件可得AC=

22、AF，即ACF是等腰三角形，所以EC=EF，進(jìn)而得出ECF=EFC，結(jié)論得證解答：證明：ACB=90，CDAB，CAD=BCD，又AE平分CAB，CF平分BCD，BCF=CAE，B=ACD，B+ECF=B+BCF，即ACF=AFC，又AE平分CAB，AC=AF，CE=EF，即ECF=EFC，EFC=BCF，即EFBC點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判定問題，應(yīng)熟練掌握17如圖所示在ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足APB=BPC=CPA若2B=A+C，求證：PB2=PAPC（提示：設(shè)法證明PABPBC）考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)725636 專題：證明題分析：用APB=APC=120，C

23、BP=BAP兩個(gè)對應(yīng)角相等證明PABPBC，根據(jù)相似比可證到結(jié)論解答：證明：APB=120，ABP+BAP=60，又ABC=60，ABP+CBP=60，CBP=BAP，又APB=APC=120，ABPBCP，=，BP2=PAPC點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理，先用判定定理證明相似，然后根據(jù)相似對應(yīng)邊成比例證明結(jié)論18已知：如圖，ABC為等腰直角三角形，D是直角邊BC的中點(diǎn)，E在AB上，且AE：EB=2：1求證：CEAD考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形725636 專題：證明題分析：過B作BC的垂線交CE的延長線于點(diǎn)F，從而可推出ACBF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到兩組對應(yīng)角相等從而可判定ACEBFE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)成比例可得到AC=2BF，進(jìn)而得到CD=BF，再利用HL判定ACDCBF，由全等三角形的性質(zhì)得其對應(yīng)角相等，再根據(jù)等角的性質(zhì)不難證得結(jié)論解答：證明：過B作BC的垂線交CE的延長線于點(diǎn)F，（1分）FBC=ACB=90ACBFACEBFE（3分）AC=2BF（4分）AC=BC