2015人教A版本（文）（8.1 空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積與體積）一輪復(fù)習(xí)題

1、1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征多面體(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上、下底面是全等的多邊形.(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形.(3)棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形.旋轉(zhuǎn)體(1)圓柱可以由矩形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.(2)圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.(3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點(diǎn)連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到.(4)球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到.空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，

2、三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.3.空間幾何體的直觀圖畫空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法，基本步驟：(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，且使xOy45°(或135°).(2)已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別平行于x軸、y軸.(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?(4)在已知圖形中過O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應(yīng)的z軸也垂直于xOy平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z軸且長度不變.4.柱、錐、臺

3、和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VSh臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31.判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(×)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(×)(3)用斜二測畫法畫水平放置的A時，若A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且A90°，則在直觀圖中，A45°.(×)(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.(

4、15;)(5)圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.()(6)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差來計(jì)算.()2.(2013·四川)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()答案D解析由三視圖可知上部是一個圓臺，下部是一個圓柱，選D.3.(2013·課標(biāo)全國)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3答案A解析作出該球軸截面的圖象如圖所示，依題意BE2，AECE4，設(shè)DEx，故AD2x，因?yàn)锳D2A

5、E2DE2，解得x3，故該球的半徑AD5，所以VR3.4.一個三角形在其直觀圖中對應(yīng)一個邊長為1的正三角形，原三角形的面積為_.答案解析由斜二測畫法，知直觀圖是邊長為1的正三角形，其原圖是一個底為1，高為的三角形，所以原三角形的面積為.5.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面，則該圓錐的體積為_.答案解析側(cè)面展開圖扇形的半徑為2，圓錐底面半徑為1，h，V×1×.題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1(1)下列說法正確的是()A.有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱C.有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(2)給出下列命題：在圓柱的上、下底面的圓

6、周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C思維啟迪從多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義入手，可以借助實(shí)例或幾何模型理解幾何體的結(jié)構(gòu)特征.答案(1)B(2)A解析(1)A錯，如圖1；B正確，如圖2，其中底面ABCD是矩形，可證明PAB，PCB都是直角，這樣四個側(cè)面都是直角三角形；C錯，如圖3；D錯，由棱臺的定義知，其側(cè)棱必相交于同一點(diǎn).(2)不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時才是母線；不一定，因?yàn)椤捌溆喔髅娑际侨?/p>

7、角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形”，如圖1所示；不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖2所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等.思維升華(1)有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱.(2)既然棱臺是由棱錐定義的，所以在解決棱臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略.(3)旋轉(zhuǎn)體的形成不僅要看由何種圖形旋轉(zhuǎn)得到，還要看旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.如圖是一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，A，B，C是展開圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中

8、，ABC的值為()A.30°B.45°C.60°D.90°答案C解析還原正方體，如圖所示，連接AB，BC，AC，可得ABC是正三角形，則ABC60°.題型二空間幾何體的三視圖和直觀圖例2(1)如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是()(2)正三角形AOB的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則它的直觀圖的面積是_.思維啟迪(1)由正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體的高是1，由體積是可求出底面積.由底面積的大小可判斷其俯視圖是哪一個.(2)按照直觀圖畫法規(guī)則確定平面圖形和其直觀圖面積的關(guān)系.答案(1)

9、C(2)a2解析(1)由該幾何體的正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體是柱體，且其高為1，由其體積是可知該幾何體的底面積是，由圖知A的面積是1，B的面積是，C的面積是，D的面積是，故選C.(2)畫出坐標(biāo)系xOy，作出OAB的直觀圖OAB(如圖).D為OA的中點(diǎn).易知DBDB(D為OA的中點(diǎn))，SOAB×SOAB×a2a2.思維升華“長對正，寬相等，高平齊”.(2)解決有關(guān)“斜二測畫法”問題時，一般在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用圖形中原有的垂直直線或圖形的對稱軸為坐標(biāo)軸，圖形的對稱中心為原點(diǎn)，注意兩個圖形中關(guān)鍵線段長度的關(guān)系.(1)(2013·湖南)已知棱長為1的正方體

10、的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于()B.C.D.(2)如圖，矩形OABC是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中OA6 cm，OC2 cm，則原圖形是()答案(1)C(2)C解析(1)由俯視圖知正方體的底面水平放置，其正視圖為矩形，以正方體的高為一邊長，另一邊長最小為1，最大為，面積范圍應(yīng)為1，不可能等于.(2)如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD2OD2×24 cm，CDCD2 cm.OC6 cm，OAOC，故四邊形OABC是菱形.題型三空間幾何體的表面積與體積例3(1)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()B.328C.488(2)

11、已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖均由直角三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得幾何體的體積為()A.B.C.D.思維啟迪先由三視圖確定幾何體的構(gòu)成及度量，然后求表面積或體積.答案(1)C(2)C解析(1)由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個梯形側(cè)面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個側(cè)面是矩形，寬為4，長為.所以S表422×4×(24)×4×24××2488.(2)由三視圖確定該幾何體是一個半球體與三棱錐構(gòu)成的

12、組合體，如圖，其中AP，AB，AC兩兩垂直，且APABAC1，故AP平面ABC，SABCAB×AC，所以三棱錐PABC的體積V1×SABC×AP××1，又RtABC是半球底面的內(nèi)接三角形，所以球的直徑2RBC，解得R，所以半球的體積V2××()3，故所求幾何體的體積VV1V2.思維升華解決此類問題需先由三視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，判斷是否為組合體，由哪些簡單幾何體構(gòu)成，并準(zhǔn)確判斷這些幾何體之間的關(guān)系，將其切割為一些簡單的幾何體，再求出各個簡單幾何體的體積，最后求出組合體的體積.(2012·課標(biāo)全國)已知三棱錐SAB

13、C的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為()A.B.C.D.答案A解析由于三棱錐SABC與三棱錐OABC底面都是ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐SABC的高是三棱錐OABC高的2倍，所以三棱錐SABC的體積也是三棱錐OABC體積的2倍.在三棱錐OABC中，其棱長都是1，如圖所示，SABC×AB2，高OD ，VSABC2VOABC2×××.轉(zhuǎn)化思想在立體幾何計(jì)算中的應(yīng)用典例：(12分)如圖，在直棱柱ABCABC中，底面是邊長為3的等邊三角形，AA4，M為AA的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱

14、側(cè)面經(jīng)過棱CC到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC的交點(diǎn)為N，求：(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；(2)PC與NC的長；(3)三棱錐CMNP的體積.思維啟迪(1)側(cè)面展開圖從哪里剪開展平；(2)MNNP最短在展開圖上呈現(xiàn)怎樣的形式；(3)三棱錐以誰做底好.規(guī)范解答解(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖為一邊長分別為4和9的矩形，故對角線長為.2分(2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB展開，如下圖，設(shè)PCx，則MP2MA2(ACx)2.MP，MA2，AC3，x2，即PC2.又NCAM，故，即.NC.8分(3)SPCN×CP×CN×2×.在三棱錐MPCN中，M到面P

15、CN的距離，即h×3.VCMNPVMPCN·h·SPCN××.12分溫馨提醒(1)解決空間幾何體表面上的最值問題的根本思路是“展開”，即將空間幾何體的“面”展開后鋪在一個平面上，將問題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問題.(2)如果已知的空間幾何體是多面體，則根據(jù)問題的具體情況可以將這個多面體沿多面體中某條棱或者兩個面的交線展開，把不在一個平面上的問題轉(zhuǎn)化到一個平面上.如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開，把曲面上的問題轉(zhuǎn)化為平面上的問題.(3)本題的易錯點(diǎn)是，不知道從哪條側(cè)棱剪開展平，不能正確地畫出側(cè)面展開圖.缺乏空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化意識.方法與技巧1.棱柱

16、、棱錐要掌握各部分的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算問題往往轉(zhuǎn)化到一個三角形中進(jìn)行解決.“旋轉(zhuǎn)”特點(diǎn)，弄清底面、側(cè)面及展開圖形狀.3.三視圖畫法：(1)實(shí)虛線的畫法：分界線和可見輪廓線用實(shí)線，看不見的輪廓線用虛線；(2)理解“長對正、寬平齊、高相等”.4.直觀圖畫法：平行性、長度兩個要素.5.求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形.將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解.6.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體

17、的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.失誤與防范1.臺體可以看成是由錐體截得的，但一定強(qiáng)調(diào)截面與底面平行.2.注意空間幾何體的不同放置對三視圖的影響.3.幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)一、選擇題1.五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對角線，那么一個五棱柱對角線的條數(shù)共有()B.15答案D解析如圖，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，從頂點(diǎn)A出發(fā)的對角線有兩條：AC1，AD1，同理從B，C，D，E點(diǎn)出發(fā)的對角線均有兩條，共2×510(條).2.(2012·福

18、建)一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是()答案D解析考慮選項(xiàng)中幾何體的三視圖的形狀、大小，分析可得.球、正方體的三視圖形狀都相同、大小均相等，首先排除選項(xiàng)A和C.對于如圖所示三棱錐OABC，當(dāng)OA、OB、OC兩兩垂直且OAOBOC時，其三視圖的形狀都相同，大小均相等，故排除選項(xiàng)B.不論圓柱如何設(shè)置，其三視圖的形狀都不會完全相同，故答案選D.3.(2013·重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.B.答案C解析由三視圖知該幾何體為直四棱柱，其底面為等腰梯形，上底長為2，下底長為8，高為4，故面積為S20.又棱柱的高為10，所以體積VSh2

19、0×10200.4.如圖是一個物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是()答案D解析由俯視圖可知是B和D中的一個，由正視圖和側(cè)視圖可知B錯.5.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為()A.B.C.D.答案C解析由三視圖可知該幾何體為一個半圓錐，底面半徑為1，高為，表面積S×2×××12××1×2.二、填空題6.如圖所示，E、F分別為正方體ABCDA1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面DCC1D1上的投影是_.(填序號)答案解析四邊形

20、在面DCC1D1上的投影為：B在面DCC1D1上的投影為C，F(xiàn)、E在面DCC1D1上的投影應(yīng)在邊CC1與DD1上，而不在四邊形的內(nèi)部，故錯誤.ABCD的所有棱長都為，則該三棱錐的外接球的表面積為_.答案3解析如圖，構(gòu)造正方體ANDMFBEC.因?yàn)槿忮FABCD的所有棱長都為，所以正方體ANDMFBEC外接球的半徑為.易知三棱錐ABCD的外接球就是正方體ANDMFBEC的外接球，所以三棱錐ABCD的外接球的半徑為.所以三棱錐ABCD的外接球的表面積為S球423.8.(2013·江蘇)如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐FADE的體積為V

21、1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1V2_.答案124解析設(shè)三棱錐FADE的高為h，則.三、解答題9.一個幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，求這個幾何體的表面積.解這個幾何體是一個圓臺被軸截面割出來的一半.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為，母線長為2，幾何體的表面積是兩個半圓的面積、圓臺側(cè)面積的一半和軸截面的面積之和，故這個幾何體的表面積為S×12×22×(12)×2×(24)×3.10.已知一個上、下底面為正三角形且兩底面中心連線垂直于底面的三棱臺的兩底面邊長分別為30 cm和20 cm，且其

22、側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺的高.解如圖所示，三棱臺ABCA1B1C1中，O、O1分別為兩底面中心，D、D1分別為BC和B1C1的中點(diǎn)，則DD1為棱臺的斜高.由題意知A1B120，AB30，則OD5，O1D1，由S側(cè)S上S下，得×(2030)×3DD1×(202302)，解得DD1，在直角梯形O1ODD1中，O1O4，所以棱臺的高為4 cm.B組專項(xiàng)能力提升(時間：30分鐘)EABCD中，底面ABCD為梯形，ABCD,2AB3CD，M為AE的中點(diǎn)，設(shè)EABCD的體積為V，那么三棱錐MEBC的體積為()A.VB.VC.VD.V答案D解析設(shè)點(diǎn)B到平面EMC的距離為h1，點(diǎn)D到平面EMC的距離為h2.連接MD.因?yàn)镸是AE的中點(diǎn)，所以VMABCDV.所以VEMBCVVEMDC.而VEMBCVBEMC，VEMDCVDEMC，所以.因?yàn)锽，D到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離，而ABCD，且2AB3CD，所以.所以VEMBCVMEB