2007年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題及答案解析

1、一、選擇題：（本題共10小題，每小題4分，共40分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）(1) 當(dāng)時，與等價的無窮小量是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 利用已知無窮小量的等價代換公式，盡量將四個選項先轉(zhuǎn)化為其等價無窮小量，再進行比較分析找出正確答案.【詳解】 當(dāng)時，有； 利用排除法知應(yīng)選(B).(2) 函數(shù)在上的第一類間斷點是x =(A) 0. (B) 1. (C) . (D) . A 【分析】 本題f(x)為初等函數(shù)，找出其無定義點即為間斷點，再根據(jù)左右極限判斷其類型?！驹斀狻縡(x)在上的無定義點，即間斷點為x =

2、0,1,又 ，可見x=0為第一類間斷點，因此應(yīng)選(A). (3) 如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間3，2，2，3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間2，0，0，2的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)則下列結(jié)論正確的是(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 本題考查定積分的幾何意義，應(yīng)注意f(x)在不同區(qū)間段上的符號，從而搞清楚相應(yīng)積分與面積的關(guān)系?！驹斀狻?根據(jù)定積分的幾何意義，知F(2)為半徑是1的半圓面積：，F(xiàn)(3)是兩個半圓面積之差：=，因此應(yīng)選(C). (4) 設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是(A) 若存在，則f(0)=0. (B) 若存在

3、，則f(0)=0. (C) 若存在，則存在. (D) 若存在，則存在 D 【分析】 本題為極限的逆問題，已知某極限存在的情況下，需要利用極限的四則運算等進行分析討論?！驹斀狻?(A),(B)兩項中分母的極限為0，因此分子的極限也必須為0，均可推導(dǎo)出f(0)=0.若存在，則，可見(C)也正確，故應(yīng)選(D). 事實上，可舉反例：在x=0處連續(xù)，且=存在，但在x=0處不可導(dǎo). (5) 曲線，漸近線的條數(shù)為(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. D 【分析】 先找出無定義點，確定其是否為對應(yīng)垂直漸近線；再考慮水平或斜漸近線。【詳解】 因為，所以為垂直漸近線；又 ，所以y=0為水平漸近線

4、；進一步，=，= =，于是有斜漸近線：y = x. 故應(yīng)選(D).(6) 設(shè)函數(shù)f (x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且 令, 則下列結(jié)論正確的是(A) 若，則必收斂. (B) 若，則必發(fā)散. (C) 若，則必收斂. (D) 若，則必發(fā)散. D 【分析】 利用反例通過排除法進行討論?！驹斀狻?設(shè)f(x)=, 則f (x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，但發(fā)散，排除(C); 設(shè)f(x)=, 則f(x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，但收斂，排除(B); 又若設(shè)，則f(x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，但發(fā)散，排除(A). 故應(yīng)選(D). (7) 二元函數(shù)f(x, y)在點(0，0) 處可微的一個充分條件是(A) . (B) ，且.

5、(C). (D) ，且. C 【詳解】 選項(A)相當(dāng)于已知f(x, y)在點(0,0)處連續(xù)，選項(B)相當(dāng)于已知兩個一階偏導(dǎo)數(shù)存在，因此(A),(B)均不能保證f(x, y)在點(0，0)處可微。選項(D)相當(dāng)于已知兩個一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但不能推導(dǎo)出兩個一階偏導(dǎo)函數(shù)在點(0,0)處連續(xù)，因此也不能保證f(x, y)在點(0，0) 處可微。若，則，即同理有從而 = =0根據(jù)可微的定義，知函數(shù)f(x, y) 在(0，0) 處可微，故應(yīng)選(C). (8) 設(shè)函數(shù)f(x, y)連續(xù)，則二次積分等于(A) . (B) .(C) . (D) . B 【分析】 先確定積分區(qū)域，畫出示意圖，再交換積分次序。

6、【詳解】 積分區(qū)域 D: , 也可表示為 D: , 故 =，應(yīng)選(B). (9) 設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是 (A) . (B) .(C) . (D) . A 【詳解】用定義進行判定:令，得 .因線性無關(guān)，所以又 ，故上述齊次線性方程組有非零解, 即線性相關(guān).類似可得(B), (C), (D)中的向量組都是線性無關(guān)的.(10) 設(shè)矩陣, ,則A與B(A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. B 二、填空題 (1116小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.) (11) =【詳解】= = (12) 曲線

7、上對應(yīng)于的點處的法線斜率為【詳解】 因為 ，于是，故法線斜率為 (13) 設(shè)函數(shù)則=【詳解】 一般地，從而 = (14) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為 其中為任意常數(shù). 【詳解】 特征方程為 ，解得 可見對應(yīng)齊次線性微分方程的通解為 設(shè)非齊次線性微分方程的特解為，代入非齊次方程可得k= 2. 故通解為 (15) 設(shè)f(u,v)是二元可微函數(shù)，則 =【詳解】，于是有= (16) 設(shè)矩陣, 則的秩為1.【詳解】依矩陣乘法直接計算得 ,故r()=1.三、解答題：(1724小題，共86分. )(17)（本題滿分10分）設(shè)f(x)是區(qū)間上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，其中是f的反函數(shù)，求f(x).【

8、分析】 等式兩端先對x求導(dǎo)，再積分即可。【詳解】 在等式兩端先對x求導(dǎo)，得，即 ， 也即 .于是 =由題設(shè)知, f(0)=0, 于是c = 0，故 (18)（本題滿分11分）設(shè)D是位于曲線下方、x軸上方的無界區(qū)域。(I) 求區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積V(a);(II) 當(dāng)a為何值時，V(a)最小? 并求此最小值.【分析】 V(a)的值可通過廣義積分進行計算，再按通常方法求V(a) 的最小值即可?！驹斀狻?(I) = = (II) , 得 ， 即 a = e. 由于a = e是唯一的駐點，是極小值點，也是最小值點，最小值為 (19)（本題滿分10分） 求微分方程滿足初始條件的特解?！痉?/p>

9、析】 本題為可降階的二階微分方程，作變量代換即可。【詳解】 令，則原方程化為 即 ，其解為 利用u=,有C =0, 于是 , 由 知應(yīng)取. 再由 ，積分得，代入初始條件y(1)=1，得， 故滿足初始條件的特解為. (20)（本題滿分11分） 已知函數(shù)f(u)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)y=y(x)由方程所確定，設(shè)，求【詳解】，在中, 令x= 0 得y=1 . 而由兩邊對x求導(dǎo)得 再對x求導(dǎo)得 將x=0, y=1代入上面兩式得 故 （21）（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)f(x), g(x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 證明：存在

10、，使得【分析】 需要證明的結(jié)論與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，自然聯(lián)想到用微分中值定理。事實上，若令，則問題轉(zhuǎn)化為證明, 只需對用羅爾定理，關(guān)鍵是找到的端點函數(shù)值相等的區(qū)間(特別是兩個一階導(dǎo)數(shù)同時為零的點)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一點，使得，則在區(qū)間上兩次利用羅爾定理有一階導(dǎo)函數(shù)相等的兩點，再對用羅爾定理即可。【證明】 構(gòu)造輔助函數(shù)，由題設(shè)有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)內(nèi)具有相等的最大值, 不妨設(shè)存在, 使得，若，令, 則若，因，從而存在，使在區(qū)間上分別利用羅爾定理知，存在，使得. 再對在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，知存在，有， 即 （22）（本題滿分11分）設(shè)二元函數(shù)

11、計算二重積分，其中【分析】 被積函數(shù)為分區(qū)域函數(shù)，利用積分的可加性分區(qū)域積分，在計算過程中注意利用區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性進行化簡?！驹斀狻?由區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性有其中為D在第一象限的部分. 設(shè) ,.因此 .(23) (本題滿分11分)設(shè)線性方程組與方程 有公共解，求a的值及所有公共解【分析】 兩個方程有公共解就是與聯(lián)立起來的非齊次線性方程組有解. 【詳解】將與聯(lián)立得非齊次線性方程組:若此非齊次線性方程組有解, 則與有公共解, 且的解即為所求全部公共解. 對的增廣矩陣作初等行變換得:.于是1° 當(dāng)a=1時，有=2<3，方程組有解, 即與有公共解, 其全部公共解即為的通解，此時，此時方程組為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為: ,所以與的全部公共解為，k為任意常數(shù).2° 當(dāng)a =2時，有=3，方程組有唯一解, 此時，故方程組的解為: ,即與有唯一公共解: 為.(24) (本題滿分11分)設(shè)3階對稱矩陣的特征值是的屬于的一個特征向量,記其中為3階單位矩陣.(I) 驗證是矩陣的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量(II) 求矩陣【分析】 根據(jù)特征值的性質(zhì)可立即得B的特征值, 然后由B也是對稱矩陣可求出其另外兩個線性無關(guān)的特征向量.【詳解】(I) 由 得 , 進一步 , ，故 ，從