不定積分例題及答案理工類吳贛昌[1]

1、內容概要名稱主要內容不定積分不定積分的概念設，若存在函數(shù)，使得對任意均有 或，則稱為的一個原函數(shù)。的全部原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分，記為注：（1）若連續(xù)，則必可積；（2）若均為的原函數(shù)，則。故不定積分的表達式不唯一。性質性質1：或；性質2：或；性質3：，為非零常數(shù)。計算方法第一換元積分法（湊微分法）設的 原函數(shù)為，可導，則有換元公式：第二類換元積分法設單調、可導且導數(shù)不為零，有原函數(shù)，則 分部積分法有理函數(shù)積分若有理函數(shù)為假分式，則先將其變?yōu)槎囗検胶驼娣质降暮停粚φ娣质降奶幚戆辞闆r確定。本章的地位與作用在下一章定積分中由微積分基本公式可知-求定積分的問題，實質上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問題；后繼

2、課程無論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最終的解決都歸結為對定積分的求解；而求解微分方程更是直接歸結為求不定積分。從這種意義上講，不定積分在整個積分學理論中起到了根基的作用，積分的問題會不會求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對這一章掌握的好壞。這一點隨著學習的深入，同學們會慢慢體會到！ 課后習題全解習題4-1：知識點：直接積分法的練習求不定積分的基本方法。思路分析：利用不定積分的運算性質和基本積分公式，直接求出不定積分！(1)思路: 被積函數(shù) ，由積分表中的公式（2）可解。解：(2)思路:根據(jù)不定積分的線性性質，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。解：(3)思路:根據(jù)不定積分的線性性質

3、，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。解：(4)思路:根據(jù)不定積分的線性性質，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。解：(5)思路:觀察到后，根據(jù)不定積分的線性性質，將被積函數(shù)分項，分別積分。解：(6)思路:注意到，根據(jù)不定積分的線性性質，將被積函數(shù)分項，分別積分。解：注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個有理的假分式，通常先將其分解為一個整式加上或減去一個真分式的形式，再分項積分。(7)思路:分項積分。解：(8)思路:分項積分。解：(9)思路:？看到，直接積分。解：(10)思路:裂項分項積分。解：(11)解：(12)思路:初中數(shù)學中有同底數(shù)冪的乘法： 指數(shù)不變，底數(shù)相乘

4、。顯然。解：(13)思路:應用三角恒等式“”。解：(14)思路:被積函數(shù) ，積分沒困難。解：(15)思路:若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時，一般地先降冪，再積分。解：(16)思路:應用弦函數(shù)的升降冪公式，先升冪再積分。解：(17)思路:不難，關鍵知道“”。解：(18)思路:同上題方法，應用“”，分項積分。解：(19)思路:注意到被積函數(shù) ，應用公式(5)即可。解：(20)思路:注意到被積函數(shù) ，則積分易得。解：2、設，求。知識點：考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關系。思路分析：直接利用不定積分的性質1：即可。解：等式兩邊對求導數(shù)得：3、設的導函數(shù)為，求的原函數(shù)全體。知識點：仍為考查不定積分（原函

5、數(shù)）與被積函數(shù)的關系。思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。解：由題意可知，所以的原函數(shù)全體為：。4、證明函數(shù)和都是的原函數(shù)知識點：考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關系。思路分析：只需驗證即可。解：，而5、一曲線通過點，且在任意點處的切線的斜率都等于該點的橫坐標的倒數(shù)，求此曲線的方程。知識點：屬于第12章最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點的坐標帶入方程確定具體的方程即可。解：設曲線方程為，由題意可知：，；又點在曲線上，適合方程，有，所以曲線的方程為6、一物體由靜止開始運動，經(jīng)秒后的速度是，問：（1） 在秒后

6、物體離開出發(fā)點的距離是多少？（2） 物體走完米需要多少時間？知識點：屬于最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關系。思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。解：設物體的位移方程為：，則由速度和位移的關系可得：，又因為物體是由靜止開始運動的，。(1)秒后物體離開出發(fā)點的距離為:米；(2)令秒。習題4-21、填空是下列等式成立。知識點：練習簡單的湊微分。思路分析：根據(jù)微分運算湊齊系數(shù)即可。解：2、求下列不定積分。知識點：（湊微分）第一換元積分法的練習。思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實就是看看積分表達式中，有沒有成塊

7、的形式作為一個整體變量，這種能夠馬上觀察出來的功夫來自對微積分基本公式的熟練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對特定的題目也非常有效，這在課外例題中專門介紹?。?）思路:湊微分。解：(2)思路:湊微分。解：(3)思路:湊微分。解：(4)思路:湊微分。解：(5)思路:湊微分。解：(6)思路:如果你能看到，湊出易解。解：(7)思路:湊微分。解：(8)思路:連續(xù)三次應用公式(3)湊微分即可。解：(9)思路:本題關鍵是能夠看到 是什么，是什么呢？就是！這有一定難度！解：(10)思路:湊微分。解：方法一：倍角公式。方法二：將被積函數(shù)湊出的函數(shù)和的導數(shù)。方法三： 三角公式，然后湊微分。(11)思路:湊微分

8、：。解：(12)思路:湊微分。解：(13)思路:由湊微分易解。解：(14)思路:湊微分。解：(15)思路:湊微分。解：(16)思路:湊微分。解：(17)思路:經(jīng)過兩步湊微分即可。解：(18)思路:分項后分別湊微分即可。解：(19)思路:裂項分項后分別湊微分即可。解：(20)思路:分項后分別湊微分即可。解：(21)思路:分項后分別湊微分即可。解：(22)思路:裂項分項后分別湊微分即可。解：(23)思路:湊微分。解：(24)思路:降冪后分項湊微分。解：(25)思路:積化和差后分項湊微分。解：(26)思路:積化和差后分項湊微分。解：(27)思路:湊微分。解：(28)思路:湊微分。解：(29)思路:湊

9、微分。解：(30)思路:湊微分。解：(31)思路:被積函數(shù)中間變量為，故須在微分中湊出，即被積函數(shù)中湊出，解：(32)思路:解：(33)解：方法一：思路:將被積函數(shù)的分子分母同時除以 ，則湊微分易得。方法二：思路:分項后湊微分方法三：思路:將被積函數(shù)的分子分母同時乘以 ，裂項后湊微分。(34)解：方法一:思路：分項后湊積分。方法二：思路:利用第二類換元法的倒代換。令，則。(35)解：方法一:思路：分項后湊積分。方法二： 思路:利用第二類換元法的倒代換。令，則。3、求下列不定積分。知識點：（真正的換元，主要是三角換元）第二種換元積分法的練習。思路分析：題目特征是-被積函數(shù)中有二次根式，如何化無理

10、式為有理式？三角函數(shù)中，下列二恒等式起到了重要的作用。為保證替換函數(shù)的單調性，通常將交的范圍加以限制，以確保函數(shù)單調。不妨將角的范圍統(tǒng)統(tǒng)限制在銳角范圍內，得出新變量的表達式，再形式化地換回原變量即可。(1)思路:令，先進行三角換元，分項后，再用三角函數(shù)的升降冪公式。解：令，則。（或）（萬能公式，又時，）(2)思路:令，三角換元。解：令，則。 （時，）(3)思路:令，三角換元。解：令，則。(4)思路:令，三角換元。解：令，則。(5)思路:先令，進行第一次換元；然后令，進行第二次換元。解：，令得：，令，則，（與課本后答案不同）(6)思路:三角換元，關鍵配方要正確。解：，令，則。4、求一個函數(shù),滿足

11、，且。思路:求出的不定積分，由條件確定出常數(shù) 的值即可。解：令，又，可知，5、設，求證：，并求。思路:由目標式子可以看出應將被積函數(shù) 分開成，進而寫成：，分項積分即可。證明：習題4-31、 求下列不定積分：知識點：基本的分部積分法的練習。思路分析：嚴格按照“反、對、冪、三、指順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微分號下湊微分?！钡脑瓌t進行分部積分的練習。（1）思路:被積函數(shù)的形式看作，按照“反、對、冪、三、指”順序，冪函數(shù)優(yōu)先納入到微分號下，湊微分后仍為。解：（2）思路：同上題。解：（3）思路：同上題。解：(4)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(5)思路：嚴格按照“反、對、冪、三

12、、指”順序湊微分即可。解：(6)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(7)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(8)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(9)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(10)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(11)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(12)思路：詳見第(10) 小題解答中間，解答略。(13)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(14)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(15)思路：嚴格

13、按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(16)思路： 將積分表達式寫成，將看作一個整體變量積分即可。解： (17)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(18)思路：先將降冪得，然后分項積分；第二個積分嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(19)思路：分項后對第一個積分分部積分。解：(20)思路：首先換元，后分部積分。解：令，則(21)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(22)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：方法一：方法二：(23)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：令，則所以原積分。(2

14、4)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：注：該題中的其他計算方法可參照習題4-2，2（33）。(25)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：注： 該題也可以化為 再利用分部積分法計算。(26)思路：將被積表達式 寫成，然后分部積分即可。解：2、 用列表法求下列不定積分。知識點：仍是分部積分法的練習。思路分析：審題看看是否需要分項，是否需要分部積分，是否需要湊微分。按照各種方法完成。我們仍然用一般方法解出，不用列表法。(1)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(2)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：。(3)思路：嚴格

15、按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(4)思路：分項后分部積分即可。解：(5)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：(6)思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：3、已知是的原函數(shù)，求。知識點：考察原函數(shù)的定義及分部積分法的練習。思路分析：積分中出現(xiàn)了，應馬上知道積分應使用分部積分， 條件告訴你是的原函數(shù)，應該知道解：又4、已知，求。知識點：仍然是分部積分法的練習。思路分析：積分中出現(xiàn)了)，應馬上知道積分應使用分部積分。解：又5、設，；證明：。知識點：仍然是分部積分法的練習。思路分析：要證明的目標表達式中出現(xiàn)了，和提示我們如何在被積函數(shù)的表達式中變出

16、 和 呢？這里涉及到三角函數(shù)中的變形應用，初等數(shù)學中有過專門的介紹，這里可變?yōu)?。證明：6、設為單調連續(xù)函數(shù)，為其反函數(shù)，且 ，求：。知識點：本題考察了一對互為反函數(shù)的函數(shù)間的關系，還有就是分部積分法的練習。思路分析：要明白這一恒等式，在分部積分過程中適時替換。解：又又習題4-41、 求下列不定積分知識點：有理函數(shù)積分法的練習。思路分析：被積函數(shù)為有理函數(shù)的形式時，要區(qū)分被積函數(shù)為有理真分式還是有理假分式，若是假分式，通常將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式，然后再具體問題具體分析。(1)思路：被積函數(shù)為假分式，先將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式，然后分項積分。解：(2)思路

17、：被積函數(shù)為假分式，先將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式，然后分項積分。解：而令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解此方程組得：(3)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：，令等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解此方程組得：(4)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：，解此方程組得：。(5)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：，令等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解此方程組得：。(6)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：；令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解此方程組得：(7)思路：將被積函數(shù)裂項

18、后分項積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解此方程組得：而(8)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：又由分部積分法可知：(9)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解之得：而(10)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：；解之得：。(11)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解之得：(12)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：，解之得：(13)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式

19、右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解之得：注：由導數(shù)的性質可證本題的另一種解法：注：由導數(shù)的性質可證。(14)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：又注：本題再推到過程中用到如下性質：（本性質可由分部積分法導出。）若記 ，其中為正整數(shù)，則必有：。2、 求下列不定積分知識點：三角有理函數(shù)積分和簡單的無理函數(shù)積分法的練習。思路分析：求這兩種積分的基本思路都是通過適當?shù)淖儞Q化為有理函數(shù)積分去完成。(1)思路：分子分母同除以變?yōu)楹鬁愇⒎?。解?2)思路：萬能代換！解：令，則注：另一種解法是：(3)思路：萬能代換！解：令，則(4)思路：利用變換！（萬能代換也可，但較繁?。┙猓毫睿瑒t(5)思路：萬能代

20、換！解：令，則(6)思路：萬能代換！解：令，則而(7)思路一：萬能代換！解：令，則而，令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解之得：思路二：利用代換！解：令，則令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解之得:注：比較上述兩解法可以看出應用萬能代換對某些題目可能并不簡單！(8)思路：將被積函數(shù)分項得，對兩個不定積分分別利用代換和萬能代換！解：對積分，令，則令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解之得：對積分，令(9)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令則 (10)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令(11)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令(12)思路：

21、變無理式為有理式，變量替換。解：令(13)思路：變無理式為有理式，三角換元。解：令(14)思路：將被積函數(shù) 變形為后，三角換元。解：令則；注：另一種解法，分項后湊微分。(15)思路：換元。解：令，則總習題四1、設的一個原函數(shù)是，則 (A)(B)-2 (C)-4(D)4知識點：原函數(shù)的定義考察。思路分析：略。解：(B)。2、設，則。知識點：原函數(shù)的定義性質考察。思路分析：對條件兩邊求導數(shù)后解出后代入到要求的表達式中，積分即可。解：對式子兩邊求導數(shù)得：3、設，且，求。知識點：函數(shù)的定義考察。思路分析：求出后解得，積分即可。解：又4、設為的原函數(shù)，當時，有，且，試求。知識點：原函數(shù)的定義性質考察。思

22、路分析：注意到，先求出，再求即可。解：即又又又。5、求下列不定積分。知識點：求不定積分的綜合考察。思路分析：具體問題具體分析。(1)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令，則(2)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令，則。(3)思路：將被積函數(shù) 變?yōu)楹髶Q元或湊微分。解：令，則。(4)思路：湊微分。解：(5)思路：將被積函數(shù)進行配方后換元或先湊微分再換元。解：方法一：令，則方法二：令再令，則(6)思路：倒代換！解：令，則(7)思路：大凡被積函數(shù)的分子分母皆為同一個角的正余弦函數(shù)的線性組合的形式的積分，一般思路是將被積函數(shù)的分子寫成分母和分母的導數(shù)的線性組合的形式，然后分項分別積分即可。解：

23、(8)思路：分項積分后對前一積分采用分部積分，后一積分不動。解：6、求不定積分：知識點：分部積分法考察兼顧湊微分的靈活性。思路分析：分項后，第二個積分顯然可湊現(xiàn)成的微分，分部積分第二個積分，第一個積分不動，合并同種積分，出現(xiàn)循環(huán)后解出加一個任意常數(shù)即可。解：而7、設，求證：，并求。知識點：分部積分法考察，三角恒等式的應用，湊微分等。思路分析：由要證明的目標式子可知，應將分解成，進而寫成，分部積分后即可得到。證明：。8、思路：化無理式為有理式，三交換元。解：令，則。9、設不定積分，若，則有。思路：，提示我們將被積函數(shù)的分子分母同乘以后再積分。解：又選。10、求下列不定積分:知識點：求無理函數(shù)的不

24、定積分的綜合考察。思路分析：基本思路將被積函數(shù)化為有理式。(1)、思路：先進行倒代換，在進行三角換元 。解：令，則。令，則。(2)、思路：進行三角換元，化無理式為有理式。解：令，則注：(3)、思路：進行三角換元，化無理式為有理式。解：令，則(4)、思路：進行三角換元，化無理式為有理式。解：令，則(5)、思路：進行三角換元，化無理式為有理式。解：令，則11、求下列不定積分:知識點：較復雜的分部積分法的考察。思路分析：基本思路嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分。(1)、思路：分部積分。解：(2)、思路：分部積分。解：。(3)、思路：分部積分。解：(4)、思路：分項后分部積分。解：(5)、思路

25、：分部積分后 倒代換。解：對于積分應用倒代換，令，則，(6)、思路：將被積函數(shù)變形后分部積分。解：。12、求不定積分:為自然數(shù)。知識點：較復雜的分部積分法的考察。思路分析：基本思路嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分，推一個遞推關系式。解：13、求不定積分:知識點：較復雜的分部積分法的考察。思路分析：基本思路嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分，分項后分別積分。解：14、求下列不定積分:知識點：求解較復雜的有理函數(shù)和無理函數(shù)的不定積分。思路分析：基本思路有理式分項、無理式化為有理式。(1)、思路：將被積函數(shù)化為一個整式加上一個真分式的形式，然后積分。解：(2)、思路：將被積函數(shù)化為一個

26、整式加上一個真分式的形式，然后積分。解：對采用倒代換，令，則。而(3)、思路：將被積函數(shù)分項后分部積分。解：(4)、思路：將被積函數(shù)裂項分項后積分。解：(5)、思路：將被積函數(shù)分項后積分。解：令，等式右邊通分后比較等式兩邊分子上的同次冪項的系數(shù)得：；解之得：(6)、思路:化無理式為有理式，第二類換元法。該題中欲同時去掉，應令。解：令，則(7)、思路:分母有理化，換元。解：對于積分，令，則對于積分，令，則(8)、思路：換元倒代換。解：令，則（解題過程中涉及到開方，不妨設，若小于零，不影響最后結果的形式。也就是：不論正負，結果都一樣。）(9)、解答詳見習題4-4第2題的（15）題。(10)、思路:

27、“一路”換元。解：令，則令則15、求下列不定積分:知識點：求解較復雜的三角函數(shù)有理式的不定積分。思路分析：基本思路三角代換等，具體問題具體分析。(1)、思路:萬能代換。解：令，則(2)、思路:萬能代換。解：令，則(3)、思路:將被積函數(shù)的分子1變換一下，。解：(4)、思路:注意到，而，此題易解。解：(5)、思路:將被積函數(shù)積化和差。解：注：另一種解法是：(6)、思路:注意到被積函數(shù)的分子，分母，易解。解：(7)、思路:萬能代換。解：令，則，代入得：(8)、思路:非常典型的解題思路-將被積函數(shù)的分子表示成分母和分母的導數(shù)的線性組合的形式。解：16、求知識點：被積函數(shù)表現(xiàn)為一個分段函數(shù)，則不定積分也表現(xiàn)為一個分段函數(shù)。思路分析：基本思路討論。解：當時，；而當時，；當時，；當時，當時，當時，由的連續(xù)性可知：設17、設求思路: 變量替換。解：令，則。18、設定義在上，,又在連續(xù)，為的第一類間斷點，問在內是否存在原函數(shù)？為什么？知識點：考察對原函數(shù)定義的理解。思路分析：反證法。解證：假設為的一個原函數(shù)，考察在點的導數(shù)，而在點連續(xù)，這與為的第一類間斷點矛盾！課外典型例題與