三角形的內(nèi)心與旁心問題

1、三角形的五心-A（角分線心）內(nèi)心與旁心 陶平生三角形的五心是指內(nèi)心、外心、重心、垂心與旁心；在數(shù)學(xué)競賽中占有十分重要的位置從賽題統(tǒng)計方面來看，其中又以角分線心的問題最為突出，必須熟悉其基本性質(zhì)，基本構(gòu)形，常用輔助線以及基本定理的應(yīng)用本講座介紹內(nèi)心與旁心問題的內(nèi)心為，而邊外的旁心分別為；分別是三條內(nèi)角平分線，交三角形外接圓于，交外接圓于，交于，顯然，三角形過同一頂點的內(nèi)、外角平分線互相垂直，并且有、；、；、；、；、；、；（稱為對稱比定理）、，（俗稱“雞爪”定理）（注意，中最后一等式僅當(dāng)外角分線與邊有交點時使用）、中，是的平分線，點分別在上，滿足，分別是的中點；證明：、是直角三角形斜邊上的高，（）

2、，分別是的內(nèi)心，的外接圓分別交于，直線交于點；證明：分別是的內(nèi)心與旁心、四邊形中，自對角線的交點，作于，線段交于，交于，是線段上的任意一點.證明：點到線段的距離等于到線段、的距離之和.、的外心為，是的中點，直線交于，點分別是的外心與內(nèi)心，若，證明：為直角三角形、如圖，四邊形內(nèi)接于，而與外切于點，且都內(nèi)切于，若對角線分別是、的內(nèi)、外公切線；證明：點是的內(nèi)心、如圖，是所在平面上的一點，設(shè)點關(guān)于該三角形的三條內(nèi)角平分線的對稱點為；證明：三線共點、（年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）內(nèi)接于, 自作的切線, 又以為圓心,為半徑作交直線于，交直線于；證明：四邊形的四條邊所在直線分別通過的內(nèi)心及三個旁心.、中，是角平分線

3、上的任一點，分別是延長線上的點，且，；若分別是的中點；證明：、中，內(nèi)切圓切于，設(shè)是的直徑，若交于；證明：、（年東南賽）已知、分別是的外接圓和內(nèi)切圓；證明：過上的任意一點，都可作一個三角形，使得、分別是的外接圓和內(nèi)切圓、是內(nèi)的一點，若，證明：、如圖，分別是的外心與內(nèi)心，是邊上的高，在線段上；求證：的外接圓半徑等于邊上的旁切圓半徑（年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）、（年中國數(shù)學(xué)奧林匹克試題）設(shè)銳角的三邊長互不相等，為其外心，點在線段的延長線上，使得，過點分別作，垂足分別為，作，垂足為，記的外接圓半徑為，類似地可得；求證：、設(shè)與的邊分別切于點，又與的外接圓相切于點；證明：線段過的內(nèi)心（曼海因定理）、中，是內(nèi)心，是的中點，角的平分線交三角形的外接圓于，是關(guān)于的對稱點（設(shè)點在圓內(nèi)），延長交外接圓于；證明：三線段中，必有一線段是其余兩線段的和、中，于，分別是與的內(nèi)心，直線交于，交于，若；證明：為直角、等腰梯形中，分別是的內(nèi)心，是直線上的一點，的外接圓交的延長線于；證明： （美國-第屆）、如圖，四邊形內(nèi)接于圓，的內(nèi)心依次為；證明：是矩形、三角形中，是的中點，分別是邊上的點，且的外接 圓 交 線段于若點滿足：證明：、（第屆）如圖，兩個半徑不相等的圓與交于兩點，兩點分別在上，且線段以為中點；延長交于點，延長交于點；設(shè)線段的中垂線分別為；證明：、與相交；、若與的交點為，則三條線段能構(gòu)成一個直角三角形、如圖，在