導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的方法使復(fù)雜問題變得簡單化，因而已逐漸成為新高考的又一熱點.本節(jié)內(nèi)容主要是指導(dǎo)考生對這種方法的應(yīng)用.難點磁場()已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)設(shè)g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)設(shè)(x)=g(x)f(x),試問：是否存在實數(shù),使(x)在(,1)內(nèi)為減函數(shù)，且在(1，0)內(nèi)是增函數(shù).案例探究例1已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=±1時取得極值，且f(1)=1.(1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由.命

2、題意圖：利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入.是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識點，通過對函數(shù)極，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間a,b上的最大最小值，或利用求導(dǎo)法解決一些實際應(yīng)用問題是函值的判定，可使學(xué)生加深對函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解.屬級題目.知識依托：解題的成功要靠正確思路的選擇.本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化.這是解答本題的閃光點.錯解分析：本題難點是在求導(dǎo)之后，不會應(yīng)用f(±1)=0的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙.技巧與方法：考查函數(shù)f(x)是實數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值

3、，再通過極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，建立由極值點x=±1所確定的相等關(guān)系式，運用待定系數(shù)法求值.解：(1)f(x)=3ax2+2bx+cx=±1是函數(shù)f(x)的極值點，x=±1是方程f(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系，得又f(1)=1,a+b+c=1, 由解得a=,(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x1)(x+1)當(dāng)x1或x1時，f(x)0當(dāng)1x1時，f(x)0函數(shù)f(x)在(,1)和(1,+)上是增函數(shù)，在(1，1)上是減函數(shù).當(dāng)x=1時，函數(shù)取得極大值f(1)=1,當(dāng)x=1時，函數(shù)取得極小值f(1)=1.例2在甲、乙兩個工廠，甲廠

4、位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最?。棵}意圖：學(xué)習(xí)的目的，就是要會實際應(yīng)用，本題主要是考查學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)知識解決實際問題的意識，思想方法以及能力.知識依托：解決實際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù).把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化，形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解.錯解分析：本題難點是如何把實際問題中所涉及的

5、幾個變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式.技巧與方法：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變化，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系.解法一：根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運費最省，設(shè)C點距D點x km,則BD=40,AC=50x,BC=又設(shè)總的水管費用為y元，依題意有：y=30(5ax)+5a (0x50)y=3a+,令y=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50x=20(km)供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.解法二：設(shè)BCD=Q

6、,則BC=,CD=40cot,(0),AC=5040cot設(shè)總的水管費用為f(),依題意，有f()=3a(5040·cot)+5a·=150a+40a·f()=40a·令f()=0,得cos=根據(jù)問題的實際意義，當(dāng)cos=時，函數(shù)取得最小值，此時sin=,cot=,AC=5040cot=20(km),即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.錦囊妙計1.f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)0,則f(x)是增函數(shù)；若f(x)0,則f(x)是減函數(shù).2.求函數(shù)的極值點應(yīng)先求導(dǎo)，然后令y=0得出全部導(dǎo)數(shù)為0的點，(導(dǎo)數(shù)為0的點不一定都是極值點

7、，例如：y=x3,當(dāng)x=0時，導(dǎo)數(shù)是0，但非極值點)，導(dǎo)數(shù)為0的點是否是極值點，取決于這個點左、右兩邊的增減性，即兩邊的y的符號，若改變符號，則該點為極值點；若不改變符號，則非極值點，一個函數(shù)的極值點不一定在導(dǎo)數(shù)為0的點處取得，但可得函數(shù)的極值點一定導(dǎo)數(shù)為0.3.可導(dǎo)函數(shù)的最值可通過(a,b)內(nèi)的極值和端點的函數(shù)值比較求得，但不可導(dǎo)函數(shù)的極值有時可能在函數(shù)不可導(dǎo)的點處取得，因此，一般的連續(xù)函數(shù)還必須和導(dǎo)數(shù)不存在的點的函數(shù)值進行比較，如y=|x|,在x=0處不可導(dǎo)，但它是最小值點.殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.()設(shè)f(x)可導(dǎo)，且f(0)=0,又=1,則f(0)( )A.可能不是f(x)的極值B.

8、一定是f(x)的極值C.一定是f(x)的極小值D.等于02.()設(shè)函數(shù)fn(x)=n2x2(1x)n(n為正整數(shù))，則fn(x)在0,1上的最大值為( )A.0B.1C. D.二、填空題3.()函數(shù)f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的單調(diào)區(qū)間_.4.()在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開時它的面積最大.三、解答題5.()設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間.6.()設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點.(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.7.()已知a、b為實數(shù)，