偏微分方程數(shù)值解法

1、偏微分方程問題，其求解十分困難。除少數(shù)特殊情況外，絕大多數(shù)情況均難以求出精確解。因此，近似解法就顯得更為重要。本章僅介紹求解各類典型偏微分方程定解問題的差分方法。§1 差分方法的基本概念1.1 幾類偏微分方程的定解問題橢圓型方程：其最典型、最簡單的形式是泊松（Poisson）方程特別地，當(dāng)時(shí)，即為拉普拉斯（Laplace）方程，又稱為調(diào)和方程 Poisson方程的第一邊值問題為其中為以為邊界的有界區(qū)域，為分段光滑曲線，稱為定解區(qū)域，分別為，上的已知連續(xù)函數(shù)。第二類和第三類邊界條件可統(tǒng)一表示為其中為邊界的外法線方向。當(dāng)時(shí)為第二類邊界條件，時(shí)為第三類邊界條件。拋物型方程：其最簡單的形式為

2、一維熱傳導(dǎo)方程方程可以有兩種不同類型的定解問題：初值問題初邊值問題其中，為已知函數(shù)，且滿足連接條件邊界條件稱為第一類邊界條件。第二類和第三類邊界條件為其中，。當(dāng)時(shí)，為第二類邊界條件，否則稱為第三類邊界條件。雙曲型方程:最簡單形式為一階雙曲型方程物理中常見的一維振動(dòng)與波動(dòng)問題可用二階波動(dòng)方程描述，它是雙曲型方程的典型形式。方程的初值問題為邊界條件一般也有三類，最簡單的初邊值問題為1.2 差分方法的基本概念差分方法又稱為有限差分方法或網(wǎng)格法，是求偏微分方程定解問題的數(shù)值解中應(yīng)用最廣泛的方法之一。它的基本思想是：先對求解區(qū)域作網(wǎng)格剖分，將自變量的連續(xù)變化區(qū)域用有限離散點(diǎn)（網(wǎng)格點(diǎn)）集代替；將問題中出現(xiàn)

3、的連續(xù)變量的函數(shù)用定義在網(wǎng)格點(diǎn)上離散變量的函數(shù)代替；通過用網(wǎng)格點(diǎn)上函數(shù)的差商代替導(dǎo)數(shù)，將含連續(xù)變量的偏微分方程定解問題化成只含有限個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程組（稱為差分格式）。如果差分格式有解，且當(dāng)網(wǎng)格無限變小時(shí)其解收斂于原微分方程定解問題的解，則差分格式的解就作為原問題的近似解（數(shù)值解）。因此，用差分方法求偏微分方程定解問題一般需要解決以下問題：（1）選取網(wǎng)格； （2）對微分方程及定解條件選擇差分近似，列出差分格式； （3）求解差分格式； （4）討論差分格式解對于微分方程解的收斂性及誤差估計(jì)。下面，用一個(gè)簡單的例子來說明用差分方法求解偏微分方程問題的一般過程及差分方法的基本概念。設(shè)有一階雙曲型方程初

4、值問題。（1） 選取網(wǎng)格： 2h -h 0 h 2h 3h首先對定解區(qū)域作網(wǎng)格剖分，最簡單常用一種網(wǎng)格是用兩族分別平行于軸與軸的等距直線，將分成許多小矩形區(qū)域。這些直線稱為網(wǎng)格線，其交點(diǎn)稱為網(wǎng)格點(diǎn)，也稱為節(jié)點(diǎn)，和分別稱作方向和方向的步長。這種網(wǎng)格稱為矩形網(wǎng)格。（2） 對微分方程及定解條件選擇差分近似，列出差分格式： 如果用向前差商表示一階偏導(dǎo)數(shù)，即其中。方程 在節(jié)點(diǎn)處可表示為其中。由于當(dāng)足夠小時(shí)，在式中略去，就得到一個(gè)與方程相近似的差分方程此處，可看作是問題的解在節(jié)點(diǎn)處的近似值。同初值條件結(jié)合，就得到求問題的數(shù)值解的差分格式。式 稱為差分方程的截?cái)嗾`差。如果一個(gè)差分方程的截?cái)嗾`差為，則稱差分方

5、程對是階精度，對是階精度的。顯然，截?cái)嗾`差的階數(shù)越大，差分方程對微分方程的逼近越好。若網(wǎng)格步長趨于0時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差也趨于0，則稱差分方程與相應(yīng)的微分方程是相容的。這是用差分方法求解偏微分方程問題的必要條件。如果當(dāng)網(wǎng)格步長趨于0時(shí)，差分格式的解收斂到相應(yīng)微分方程定解問題的解，則稱這種差分格式是收斂的。§2 橢圓型方程第一邊值問題的差分解法本節(jié)以Poisson方程為基本模型討論第一邊值問題的差分方法。2.1 差分格式的建立 考慮Poisson方程的第一邊值問題取分別為方向和方向的步長，如圖所示，以兩族平行線，將定解區(qū)域剖分成矩形網(wǎng)格。節(jié)點(diǎn)的全體記為。定解區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，記

6、內(nèi)點(diǎn)集為。邊界與網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)，邊界點(diǎn)全體記為。與節(jié)點(diǎn)沿方向或方向只差一個(gè)步長的點(diǎn)和稱為節(jié)點(diǎn)的相鄰節(jié)點(diǎn)。如果一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的四個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)均屬于，稱為正則內(nèi)點(diǎn)，正內(nèi)點(diǎn)的全體記為，至少有一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)不屬于的內(nèi)點(diǎn)稱為非正則內(nèi)點(diǎn)，非正則內(nèi)點(diǎn)的全體記為。問題是要求出第一邊值問題在全體內(nèi)點(diǎn)上的數(shù)值解。為簡便，記，。對正則內(nèi)點(diǎn)，由二階中心差商公式Poisson方程 在點(diǎn)處可表示為其中 為其截?cái)嗾`差表示式，略去，即得與方程相近似的差分方程式中方程的個(gè)數(shù)等于正則內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而未知數(shù)則除了包含正則內(nèi)點(diǎn)處解的近似值外，還包含一些非正則內(nèi)點(diǎn)處的近似值，因而方程個(gè)數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)。在非正則內(nèi)點(diǎn)處Poisson方程的差

7、分近似不能按上式給出，需要利用邊界條件得到。邊界條件的處理可以有各種方案，下面介紹較簡單的兩種。（1）直接轉(zhuǎn)移用最接近非正則內(nèi)點(diǎn)的邊界點(diǎn)上的值作為該點(diǎn)上值的近似，這就是邊界條件的直接轉(zhuǎn)移。例如，點(diǎn)為非正則內(nèi)點(diǎn)，其最接近的邊界點(diǎn)為點(diǎn)，則有上式可以看作是用零次插值得到非正則內(nèi)點(diǎn)處的近似值，容易求出，其截?cái)嗾`差為。將上式代入，方程個(gè)數(shù)即與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等。 （2）線性插值這種方案是通過用同一條網(wǎng)格線上與點(diǎn)相鄰的邊界點(diǎn)與內(nèi)點(diǎn)作線性插值得到非正則內(nèi)點(diǎn)處值的近似。由點(diǎn)與的線性插值確定的近似值，得其中，其截?cái)嗾`差為。將其與方程相近似的差分方程聯(lián)立，得到方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的方程組，求解此方程組可得Pois

8、son方程第一邊值問題的數(shù)值解。上面所給出的差分格式稱為五點(diǎn)菱形格式，實(shí)際計(jì)算時(shí)經(jīng)常取，此時(shí)五點(diǎn)菱形格式可化為簡記為其中。例1 用五點(diǎn)菱形格式求解拉普拉斯（Laplace）方程第一邊值問題其中。取。 （0,0） (1,0) (2,0) (3,0)解網(wǎng)格中有四個(gè)內(nèi)點(diǎn)，均為正則內(nèi)點(diǎn)。由五點(diǎn)菱形格式，得方程組 代入邊界條件其解為，當(dāng)時(shí)，對 利用點(diǎn)，構(gòu)造的差分格式，稱為五點(diǎn)矩形格式，簡記為其中，其截?cái)嗾`差為五點(diǎn)菱形格式與矩形格式的截?cái)嗾`差均為，稱它們具有二階精度。如果用更多的點(diǎn)構(gòu)造差分格式，其截?cái)嗾`差的階數(shù)可以提高，如利用菱形格式及矩形格式所涉及的所有節(jié)點(diǎn)構(gòu)造出的九點(diǎn)格式就是具有四階精度的差分格式。&

9、#167;3 拋物型方程的差分解法以一維熱傳導(dǎo)方程為基本模型討論適用于拋物型方程定解問題的幾種差分格式。3.1 差分格式的建立首先對平面進(jìn)行網(wǎng)格剖分。分別取為方向與方向的步長，用兩族平行直線，將平面剖分成矩形網(wǎng)格，節(jié)點(diǎn)為。為簡便，記，。（一）微分方程的差分近似 在網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)處，對分別采用向前、向后及中心差商公式一維熱傳導(dǎo)方程可分別表示為由此得到一維熱傳導(dǎo)方程的不同差分近似上述差分方程所用到的節(jié)點(diǎn)各不相同。其截?cái)嗾`差分別為，和。因此，它們都與一維熱傳導(dǎo)方程相容。如果將式中的用代替，則可得到又一種差分近似差分方程用到四個(gè)節(jié)點(diǎn)。由Taylor公式容易得出故其的截?cái)嗾`差為。因而不是對任意的，此差分方程都

10、能逼近熱傳導(dǎo)方程，僅當(dāng)時(shí)，才成立。綜上可知，用不同的差商公式可以得到微分方程的不同的差分近似。構(gòu)造差分格式的關(guān)鍵在于使其具有相容性、收斂性和穩(wěn)定性。前面三個(gè)方程都具有相容性，而此方程則要在一定條件下才具有相容性。（二）初、邊值條件的處理 為用差分方法求解定解問題初值問題初邊值問題還需對定解條件進(jìn)行離散化。 對初始條件及第一類邊界條件，可直接得到其中對第二、三類邊界條件需用差分近似。下面介紹兩種較簡單的處理方法。（1） 在左邊界處用向前差商近似偏導(dǎo)數(shù)，在右邊界處用向后差商近似，即則得邊界條件的差分近似為其截?cái)嗾`差為。 （2）用中心差商近似,即則得邊界條件的差分近似為其截?cái)嗾`差為。誤差的階數(shù)提高了

11、，但出現(xiàn)定解區(qū)域外的節(jié)點(diǎn)和，這就需要將解拓展到定解區(qū)域外?？梢酝ㄟ^用內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的值插值求出和，也可以假定熱傳導(dǎo)方程在邊界上也成立，將差分方程擴(kuò)展到邊界節(jié)點(diǎn)上，由此消去和。 （三）幾種常用的差分格式以熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題為例給出幾種常用的差分格式。（1）古典顯式格式令，則 可改寫成 將其與初始條件及第一類邊界條件結(jié)合，我們得到求解此問題的一種差分格式由于第0層上節(jié)點(diǎn)處的值已知，由此即可算出在第一層上節(jié)點(diǎn)處的近似值。重復(fù)使用此式，可以逐層計(jì)算出所有的，因此此差分格式稱為古典顯式格式。又因式中只出現(xiàn)相鄰兩個(gè)時(shí)間層的節(jié)點(diǎn)，故此式是二層顯式格式。 （2）古典隱式格式 將式 整理并與初始條件及第一類邊界條

12、件式聯(lián)立，得差分格式如下其中。雖然第0層上的值仍為已知，但不能由上式直接計(jì)算以上各層節(jié)點(diǎn)上的值，必須通過解下列線性方程組才能由計(jì)算，故此差分格式稱為古典隱式格式。此方程組是三對角方程組，且系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)，故解存在唯一。 （3）Richardson格式Richardson格式是將式整理后與初始條件及第一類邊界條件式聯(lián)立。其計(jì)算公式為這種差分格式中所涉及的節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在三層上，故為三層顯式格式。Richardson格式是一種完全不穩(wěn)定的差分格式，因此它在實(shí)際計(jì)算中是不能采用的。 （4）杜福特-弗蘭克爾（DoFort-Frankel）格式DoFort-Frankel格式也是三層顯式格式，它是由式與

13、初始條件及第一類邊界條件式結(jié)合得到的。具體形式如下：用這種格式求解時(shí)，除了第0層上的值由初值條件得到，必須先用二層格式求出第1層上的值，然后再按上式逐層計(jì)算。 （5）六點(diǎn)隱式格式對二階中心差商公式如果用在點(diǎn)與點(diǎn)處的二階中心差商的平均值近似在處的值，即同時(shí)在點(diǎn)處的值也用中心差商近似，即這樣又得到熱傳導(dǎo)方程的一種差分近似其截?cái)嗾`差為，將上式與初始條件及第一類邊界條件式聯(lián)立并整理，得差分格式 此格式涉及到六個(gè)節(jié)點(diǎn)，它又是隱式格式，故稱為六點(diǎn)隱式格式。與古典隱式格式類似，用六點(diǎn)格式由第層的值計(jì)算第層的值時(shí)，需求解三對角方程組此方程組的系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)，故仍可用追趕法求解。 例2 用古典顯式格式求初

14、邊值問題的數(shù)值解，取。解 這里，。由格式可得到將初值代入上式，即可算出將邊界條件，及上述結(jié)果代入又可求得如此逐層計(jì)算，得全部節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值解為§4 雙曲型方程的差分解法 對二階波動(dòng)方程如果令，則方程可化成一階線性雙曲型方程組記，則方程組可表成矩陣形式矩陣有兩個(gè)不同的特征值，故存在非奇異矩陣，使得作變換，方程組可化為 方程組由二個(gè)獨(dú)立的一階雙曲型方程聯(lián)立而成。因此本節(jié)主要討論一階雙曲型方程的差分解法。幾種簡單的差分格式 考慮一階雙曲型方程的初值問題將平面剖分成矩形網(wǎng)格，取方向步長為方向步長為，網(wǎng)格線為，。為簡便，記，。 以不同的差商近似偏導(dǎo)數(shù)，可以得到方程的不同的差分近似截?cái)嗾`差分別為，與。結(jié)合離散化的初始條件，可以得到幾種簡單的差分格式其中。如果已知第層節(jié)點(diǎn)上的值，按上面三種格式就可求