八年級數(shù)學全等三角形添加輔助線學案文件

1、考點分析：全等三角形是初中數(shù)學中的重要內(nèi)容之一，是今后學習其他知識的基礎。判斷三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所給條件充足，則可直接根據(jù)相應的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應的公理進行分析，先推導出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要構造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進行等量代換，就可以化難為易了?！救切屋o助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗。 三角形中

2、兩中點，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線?！境Ｒ娸o助線的作法有以下幾種】1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。4、過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。5、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段

3、與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。6、特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構造全等三角形

4、；利用翻折，構造全等三角形；引平行線構造全等三角形；作連線構造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。2、如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過點E，求證;ABAC+BD證明：方法1在AB上選一點F，使AF=AC，連接EF。因AE是CAB的平分線，CAE=FAE，又AC=AF，AE=AE所以，CAEFAE則C=AFE又由AC/BD知C+D=180°而AFE+BFE=180°所以，D=BFE又已知EB是ABD的平分線，即DBE=FBE，另外，還有EB=EB所以利

5、用三角形全等的判斷定理AAS知DBEFBE，所以，F(xiàn)B=DB因此，AB=AF+FB=AC+BD。例1：如圖，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。思路分析：1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應用2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程：證明：延長BA，CE交于點F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90°，BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。又1+F=

6、3+F=90°，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關知識點和不同知識領域的聯(lián)系，為同學們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數(shù)學思想，它是解決問題的關鍵。 1.如圖所示，在ABC中，C90°，ACBC， AD平分CAB，并交BC于D，DEAB于E，若AB6cm，求DEB的周長。2.如右圖，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于點D，若

7、BD=CD.求證：AD平分BAC.（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2：如圖，已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。 思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。解答過程：  證明：延長AD到E，使DE=A

8、D，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，BD=DC又BDE=CDABEDCAD，故EB=AC，E=2，AD是BAC的平分線1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。 （3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例3：已知，如圖，AC平分BAD，CD=CB，AB>AD。求證：B+ADC=180°。思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線定理的應用

9、。2）解題思路：因為AC是BAD的平分線，所以可過點C作BAD的兩邊的垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作CEAB于E，CFAD于F。AC平分BAD，CE=CF。在RtCBE和RtCDF中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CDF，CDF+ADC=180°，B+ADC=180°。（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6：如圖甲，ADBC，點E在線段AB上，ADE=C

10、DE，DCE=ECB。求證：CD=AD+BC。思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。解答過程：證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙FCEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4。在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF

11、+CF，CD=AD+BC。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關的輔助線（一）、截取構全等如圖1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有OEDOFD

12、，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。例2 已知：如圖1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求證DCAC例3 已知：如圖1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習1 已知在ABC中，AD平分BAC，B=2C，求證：AB+BD=AC2 已知：在ABC中，CAB=2B，AE

13、平分CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3 已知：在ABC中，AB>AC,AD為BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC4 已知：D是ABC的BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1，已知AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180 分析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。例2 如圖2-2，在ABC中，A=

14、90 ，AB=AC，ABD=CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DEBC于E，則AD=DE=CE，則構造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。例3 已知如圖2-3，ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：BAC的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP，證AP平分BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習：1如圖2-4AOP=BOP=15 ，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12已知在ABC中，C=90 ，AD平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。五、延

15、長已知邊構造三角形：例如：如圖6：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B，求證：ADBC第2頁六、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖7：ABCD，ADBC 求證：AB=CD。八、連接已知點，構造全等三角形。例如：已知：如圖9；AC、BD相交于O點，且ABDC，ACBD，求證：AD。1已知：如圖AB=AD，CB=CD，(1)求證：B=D(2)若AE=AF試猜想CE與CF的大小關系并證明證明：(1)方法1、連結(jié)AC，證明ABCADC，進而B=D。 方法2、連接BD，因為AB=AD，所以，ABD=ADB同理，CBD=CDB 所以，ABD-CBD=ADB-CDB，即

16、B=D。(2)由(1)得B=D，又因為BE=DF，CB=CD,故BCECDF，進而CE=CF。通過例1我們應該初步體會添加輔助線的必要性，例1(1)(2)兩個小問，從添加輔助線證明一次全等得角相等，到添加輔助線證明二次全等線段等，我們感覺到了問題層次的遞進。特別是例1(1)中如果B、C、D共線的時候我們可以得到等邊對等角的結(jié)論。為例2使用做鋪墊。練習：(1)已知：如圖AB=CD，AD=BC，求證：A=C例1、如圖，中，AD平分，且，求證：證明：過D作，垂足為MMCABD又，AD平分在和中，即:例2、如圖，EA，EB分別平分，CD過點E，求證：證明：在AB上截取，連接EF在和中FEDABC即在和

17、中（ASA）、借助角平分線造全等（一）例題講解例1、如圖，已知在中，的角平分線AD，CE相交于點O.求證：FODEACB證明：在AC上取點F，使，連接OFAD是的平分線，CE是的平分線，即：1、已知，如圖1，在四邊形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。求證：BAD+BCD=180°。2、已知，如圖2，1=2，P為BN上一點，且PDBC于點D，AB+BC=2BD。求證：BAP+BCP=180°。1.已知：如圖，ABC中，AD平分BAC，若C=2B,證明：AB=AC+CD.7、等邊三角形ABC和等邊三角形DEF，D在AC邊上。延長BD交CE延長線于N，延長AE交B

18、C延長線于M。求證：CM=CN ABCD（1）如圖，在ABC中，AD是ABC的角平分線，AC=AB+BD，求證：B=2C（2）如圖，ABC中，CE平分ACB，且AECE，AED+CAE=180°ABCDE求證：EDBC一、選擇題：1. 能使兩個直角三角形全等的條件是( )A. 兩直角邊對應相等B. 一銳角對應相等C. 兩銳角對應相等D. 斜邊相等2. 根據(jù)下列條件，能畫出唯一的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. 如圖，已知，增加下列條件：；。其中能使的條件有( )A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個 （第3題） （第4題） （第5題） （第6題）4. 如圖，已知，則等于

19、( )A. B. C. D. 無法確定二、填空題：5. 如圖，在中，的平分線交于點，且，則點到的距離等于_；6. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為_；三、解答題：7. 如圖，為等邊三角形，點分別在上，且，與交于點。求的度數(shù)。8. 如圖，為上一點，交延長線于點。求證：。9. 如圖，已知AEAD，AFAB，AF=AB，AE=AD=BC，AD/BC.求證：（1）AC=EF，（2）ACEF10.已知：如圖，在RtABC中，AB=AC，BAC=90°，1=2，CEBD的延長線于E.求證：BD=2CE.11、如圖，ABC中，AD是高，CE是中線，DCBE，DGCE于G。 （1

20、）求證：G是CE的中點； （2）B2BCE。12、在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DEEC，過D作DFBA交AE于點F，DFAC，求證：AE平分BAC。13、如圖，在ABC中，B22.50，C600，AB的垂直平分線交BC于點D，BD，AEBC于點E，求EC的長。一、選擇題：1. A2. C3. B4. C二、填空題：5. 46. 三、解答題：7. 解：為等邊三角形，在與中(SAS)。8. 證明：，在與中(AAS)。9. 證明：（1）AD/BC，BDAB=180°又DAB4EAF3=360°，3=4=90°DABEAF=180°B=EAF在ABC和FAE中ABCFAE（SAS）AC=EF（2）ABCFAE1=F又13=2F2=3又3=90°2=90