剪切應(yīng)力計算

1、1 基本概念及知識要點(diǎn)1.1 基本概念軸力、拉（壓）應(yīng)力、力學(xué)性能、強(qiáng)度失效、拉壓變形、胡克定律、應(yīng)變、變形能、靜不定問題、剪切、擠壓。以上概念是進(jìn)行軸向拉壓及剪切變形分析的基礎(chǔ)，應(yīng)準(zhǔn)確掌握和理解這些基本概念。1.2 軸向拉壓的內(nèi)力、應(yīng)力及變形1橫截面上的內(nèi)力：由截面法求得橫截面上內(nèi)力的合力沿桿的軸線方向，故定義為軸力，符號規(guī)定：拉力為正，壓力為負(fù)。工程上常以軸力圖表示桿件軸力沿桿長的變化。2軸力在橫截面上均勻分布，引起了正應(yīng)力，其值為正應(yīng)力的符號規(guī)定：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。常用的單位為MPa、Pa。3強(qiáng)度條件強(qiáng)度計算是材料力學(xué)研究的主要問題之一。軸向拉壓時，構(gòu)件的強(qiáng)度條件是可解決三個方面的

2、工程問題，即強(qiáng)度校核、設(shè)計截面尺寸及確定許用載荷。4胡克定律線彈性范圍內(nèi)，桿的變形量與桿截面上的軸力、桿的長度l成正比，與截面尺寸A成反比；或描述為線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力應(yīng)變成正比，即式中的E稱為材料的彈性模量，EA稱為抗拉壓剛度。胡克定律揭示在比例極限內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比，是材料力學(xué)最基本的定律之一，一定要熟練掌握。1.3 材料在拉壓時的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能的研究是解決強(qiáng)度和剛度問題的一個重要方面。材料力學(xué)性能的研究一般是通過實(shí)驗方法實(shí)現(xiàn)的，其中拉壓試驗是最主要、最基本的一種試驗，由它所測定的材料性能指標(biāo)有：材料抵抗彈性變形能力的指標(biāo)；材料的強(qiáng)度指標(biāo)；材料的塑性指標(biāo)。低碳鋼的拉伸試驗是一個典型

3、的試驗。詳見教材，應(yīng)理解本部分知識。1.4 簡單拉壓靜不定問題1 未知力的個數(shù)超過靜力平衡方程個數(shù)的問題為靜不定問題，其中未知力可以是結(jié)構(gòu)的約束反力或構(gòu)件的內(nèi)力。2 解決靜不定問題，除列出靜力平衡方程外，還需列出一定數(shù)量的補(bǔ)充方程，這些補(bǔ)充方程可由結(jié)構(gòu)各部分變形之間的幾何關(guān)系以及變形和力之間的物理關(guān)系求得，將補(bǔ)充方程和靜力平衡方程聯(lián)立求解，即可得出全部未知力。3 靜不定結(jié)構(gòu)還有一個特性，即由于桿件在制造中的誤差，將引起裝配應(yīng)力；由于溫度變化會引起溫度應(yīng)力。1.5 應(yīng)力集中的概念工程實(shí)際中，由于結(jié)構(gòu)上和使用上的需要，有些零件必須有切口、切槽和螺紋等。在構(gòu)件尺寸的突變處，發(fā)生局部應(yīng)力急劇增加的現(xiàn)象

4、，稱為應(yīng)力集中現(xiàn)象。1.6 剪切和擠壓的實(shí)用計算1 工程中經(jīng)常使用到聯(lián)接件，如鉚釘、銷釘、鍵或螺栓等。聯(lián)接件一般受剪切作用，并伴隨有擠壓作用，因而聯(lián)接件應(yīng)同時滿足剪切強(qiáng)度和擠壓強(qiáng)度。有時還要考慮被聯(lián)接部分的拉伸強(qiáng)度問題。2 兩作用外力之間發(fā)生相互錯動的面稱為剪切面。剪切面上的切應(yīng)力為，其中為剪力，A為剪切面的面積，即假設(shè)切應(yīng)力在剪切面上均勻分布。剪切強(qiáng)度條件3 產(chǎn)生相互擠壓的表面稱為擠壓面。擠壓面上的擠壓應(yīng)力為，式中F為擠壓力，Abs為擠壓面積，即假設(shè)擠壓應(yīng)力在擠壓面上均勻分布。擠壓強(qiáng)度條件為2 重點(diǎn)與難點(diǎn)及解析方法2.1 軸向拉壓的應(yīng)力、強(qiáng)度計算及變形計算強(qiáng)度計算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，它能夠解決

5、三類工程問題。而胡克定律是聯(lián)系力與變形的基本定律，應(yīng)重點(diǎn)掌握。解析方法：1對等截面直桿，橫截面上的正應(yīng)力最大，強(qiáng)度計算時必須明確在哪個截面進(jìn)行強(qiáng)度計算；而縱向截面上的應(yīng)力等于零。2應(yīng)用胡克定律計算變形時，內(nèi)力應(yīng)以代數(shù)值代入。求解結(jié)構(gòu)上節(jié)點(diǎn)的位移時，設(shè)想交于該節(jié)點(diǎn)的各桿，沿各自的軸線自由伸縮，從變形后各桿的終點(diǎn)作各桿軸線的垂線，這些垂線的交點(diǎn)即為節(jié)點(diǎn)新的位置。2.2 簡單拉壓靜不定問題解靜不定問題的關(guān)鍵是列出正確的變形幾何關(guān)系。在列幾何關(guān)系時，注意假設(shè)的變形應(yīng)是桿件可能的變形。解析方法：1 列靜力平衡方程；2根據(jù)變形協(xié)調(diào)關(guān)系列出變形的幾何關(guān)系；3 列出力與變形之間的物理關(guān)系；4 聯(lián)立解方程組求出

6、未知力。力學(xué)性能是材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的特性。是通過實(shí)驗研究的方法來實(shí)現(xiàn)的，這種方法對我們以后的工程設(shè)計有一定的指導(dǎo)作用。應(yīng)理解力學(xué)性質(zhì)中涉及到的幾個強(qiáng)度指標(biāo)及塑性指標(biāo)。剪切和擠壓的強(qiáng)度計算聯(lián)接件的強(qiáng)度計算，關(guān)鍵在于正確判斷剪切面和擠壓面。剪切面積為受剪面的實(shí)際面積，當(dāng)擠壓面為半圓柱面時，一般取圓柱的直徑平面面積為擠壓面面積，以簡化運(yùn)算。3 典型問題解析3.1軸向拉壓的強(qiáng)度、變形計算例題：已知AC桿為直徑d25mm 的A3圓鋼，材料的許用應(yīng)力141MPa，AC、AB桿夾角30°，如圖21（a）所示， A處作用力F20kN，求：1 校核AC桿的強(qiáng)度；2 選擇最經(jīng)濟(jì)的

7、直徑d；3 若用等邊角鋼，選擇角鋼型號。（b）（a）圖21解：1校核AC桿的強(qiáng)度用一截面將AC、AB桿截開，取A節(jié)點(diǎn)作為研究對象，如圖21（b）所示，利用平衡方程計算。代入強(qiáng)度條件，校核AC桿的強(qiáng)度滿足強(qiáng)度要求,安全。2 選擇最佳截面尺寸，根據(jù)強(qiáng)度條件AC桿的直徑取為20mm，即可滿足強(qiáng)度要求。3選擇等邊角鋼型號A284mm2，查表可選50×3號等邊角鋼。解題指導(dǎo)：桿件軸力方向未知時，可使用設(shè)正法，即假設(shè)軸力為正，由平衡方程求解出的結(jié)果為正，說明是拉力；結(jié)果為負(fù)，說明是壓力。例題2.2：零件受力如圖22所示，其中FP50 kN。求零件橫截面的最大正應(yīng)力，并指出發(fā)生在哪一橫截面上。圖2

8、2解：用截面法分析零件各橫截面上的軸力，得軸力都是相同的，即又因為開孔使截面積減小，所以最大正應(yīng)力可能發(fā)生在孔徑比較小的兩個橫截面上I一I或IIII上。對于I一I截面，其橫截面積對于II一II截面，其橫截面積則最大正應(yīng)力發(fā)生在I一I截面,，其上之正應(yīng)力解題指導(dǎo)：由于開孔，在孔邊形成應(yīng)力集中，因而橫截面上的正應(yīng)力并不是均勻分布的。嚴(yán)格地講，不能采用上述方法計算應(yīng)力。上述方法只是不考慮應(yīng)力集中時的應(yīng)力，稱為“名義應(yīng)力”。如果將名義應(yīng)力乘上一個應(yīng)力集中系數(shù)，就可得到開孔附近的最大應(yīng)力。應(yīng)力集中系數(shù)可從有關(guān)手冊中查得。圖23（a）所示鉸接正方形結(jié)構(gòu)，各桿的橫截面面積均為30cm2，材料為鑄鐵，其許用拉

9、應(yīng)力，許用壓應(yīng)力，試求結(jié)構(gòu)的許可載荷。解：1求各桿軸力取B節(jié)點(diǎn)作為研究對象，如圖23（b）所示，代平衡方程， （拉）即AB、BC桿軸力為取A節(jié)點(diǎn)作為研究對象，如圖23（c）所示，代平衡方程， （壓）即AD、DC桿軸力為，AC桿軸力為。圖232 求許可載荷由斜桿的拉伸強(qiáng)度條件由AC桿的壓縮強(qiáng)度條件故結(jié)構(gòu)的許可載荷為解題指導(dǎo)：盡管拉力要比壓力小約40%，但結(jié)構(gòu)的許可載荷還是受拉伸強(qiáng)度所限制,這是因為鑄鐵的抗拉強(qiáng)度要比其抗壓強(qiáng)度低得多。在工程實(shí)際中，受壓構(gòu)件通常選用鑄鐵等脆性材料，而受拉構(gòu)件一般選用低碳鋼等塑性材料，以合理地利用各種材料的力學(xué)性能。 例題2.4：圖24（a）所示之結(jié)構(gòu)中，AB和AC均

10、為Q235鋼制成的圓截面桿，直徑相同d20mm，許用應(yīng)力160 MPa。試確定該結(jié)構(gòu)的許用載荷。圖24解：1由平衡條件計算各桿軸力，設(shè)AB桿軸力為，AC桿軸力為，如圖24（b）所示。對于節(jié)點(diǎn)A，由得（1）由得 （2）將（1）、（2）式聯(lián)解可見AB桿比AC桿受力大，而兩者的材料及橫截面尺寸都是相同的。因此，兩根桿的危險程度不同。如果AB桿的強(qiáng)度得到滿足，AC桿的強(qiáng)度也一定安全。2根據(jù)強(qiáng)度條件計算許用載荷有據(jù)此解得因而得kN若改為，由強(qiáng)度條件計算許用軸力由于AB、AC桿不能同時達(dá)到最大許用容許軸力，則將，代入（2）式，解得這個解顯然是錯誤的。解題指導(dǎo)：上述錯誤解法，實(shí)際上認(rèn)為兩根桿同時達(dá)到了危險狀

11、態(tài)。但實(shí)際上，兩根桿的材料、截面尺寸相同，而受力不同，因而應(yīng)力不同，其中受力較大的桿中應(yīng)力達(dá)到許用應(yīng)力時，另一根的應(yīng)力必然小于許用應(yīng)力。因而二者不可能同時到達(dá)危險狀態(tài)。例題2.5：1、2桿均為圓截面鋼桿，桿端為鉸接。兩桿長度L、直徑d、材料E均相等，A處作用力F，如圖25所示，試求節(jié)點(diǎn)A在力F作用下的位移。解：圖25在力F作用下，桿1、2為軸向拉伸，由靜力平衡關(guān)系得：代入胡克定律解得1、2桿的變形量但兩桿鉸接在一起，不能自由伸長，可判斷出變形后節(jié)點(diǎn)A位移向下。分別以B、C為圓心，、為半徑作圓弧，所作圓弧的交點(diǎn)A1就是桿件變形后節(jié)點(diǎn)A的位置。在實(shí)際工程中，為了便于計算，從桿件變形后的端點(diǎn)作桿件的

12、垂線，用垂線代替圓弧線，近似認(rèn)為其交點(diǎn)A2為變形后A的位置，AA2為節(jié)點(diǎn)A的位移。這種求位移的方法稱為圖解法。A點(diǎn)的位移：解題指導(dǎo)：理論上計算節(jié)點(diǎn)位移時，應(yīng)由兩桿伸長后的長度為半徑畫圓弧，兩圓弧的交點(diǎn)即為節(jié)點(diǎn)新的位置。但由于桿件的變形是小變形，實(shí)際上是用切線代替圓弧來簡化運(yùn)算。作圖法簡單易行，計算結(jié)果滿足工程要求。3.2簡單拉壓靜不定問題例題2.6：已知1桿的抗拉壓剛度E1A1，2、3桿的抗拉壓剛度相等E2A2E3A3。三桿鉸接在一起，L 1L2 L3L。試求在力F作用下各桿的內(nèi)力。解：圖26用截面同時截開1、2、3桿，取節(jié)點(diǎn)A為研究對象，由靜力平衡關(guān)系： （1）三個未知數(shù)，兩個獨(dú)立平衡方程，

13、為一次靜不定問題。根據(jù)圖解法，作節(jié)點(diǎn)A的位移圖，得變形關(guān)系：（2）代物理關(guān)系：（3）（1）、（2）、（3）聯(lián)立解得解題指導(dǎo)：由此例題可知,靜不定結(jié)構(gòu)各桿件受力與桿件剛度比有關(guān)，這是靜不定結(jié)構(gòu)區(qū)別于靜定結(jié)構(gòu)的顯著特征之一。例題2.7：已知正方形截面組合桿，由兩根截面尺寸相同、材料不同的桿1和桿2組成，二者的彈性模量為E1和E2（E1E2），若使桿1和桿2均勻受壓，求載荷F的偏心距e。解：圖27靜力平衡關(guān)系：（1）為一次靜不定問題。變形關(guān)系； 物理關(guān)系：（2）（1）、（2）、（3）聯(lián)立解得（3）代入（1）中第二式解得偏心距e為例題2.8：已知桿1為鋼桿E1210GPa,，A1 =30cm2。桿2為

14、銅桿，E2105GPa, ，A 2=30cm2。載荷F50kN。若AB為剛桿且始終保持水平，試問溫度升高還是降低？求溫度的改變量T。解：圖28設(shè)由F、T引起的總的內(nèi)力為、，靜力平衡關(guān)系：（1）為一次靜不定問題。變形關(guān)系：（2）物理關(guān)系：（3）（1）、（2）、（3）聯(lián)立解得即溫度降低，可保證AB剛桿始終保持水平。解題指導(dǎo)：裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力同屬于靜不定問題，求解簡單靜不定問題的關(guān)鍵是列出正確的變形幾何關(guān)系。3.3 剪切和擠壓例題2.9：如圖所示沖床，沖頭，沖剪鋼板MPa，設(shè)計沖頭的最小直徑值及鋼板厚度最大值。 解：圖291按沖頭壓縮強(qiáng)度計算2按鋼板剪切強(qiáng)度計算解題指導(dǎo)：對于剪切的強(qiáng)度計算，關(guān)鍵是

15、確定剪切面和擠壓面?？梢韵日易冃芜^程中相互壓緊的面即為擠壓面，可能產(chǎn)生剪切破壞的面即為擠壓面。例題0：如圖210所示連接，D、t、d均已知，材料的許用應(yīng)力分別為、bs。試確定許用載荷。解：圖2101由強(qiáng)度條件2由剪切強(qiáng)度條件：3由擠壓強(qiáng)度條件：許用載荷為三個力中較小者，即例題1：木榫接頭如圖所示。，。試求榫接頭的切應(yīng)力和擠壓應(yīng)力。圖211解：先分析木榫接頭的剪切面和擠壓面例題1：圖示傳動軸，齒輪與軸用平鍵聯(lián)接，傳遞轉(zhuǎn)矩kN×m。若鍵的尺寸mm、mm，材料的MPa，MPa，試求鍵的長度。解：1受力分析鍵的受力如圖212（b）、（c）所示2 求鍵的長度由剪切強(qiáng)度條件所以由擠壓強(qiáng)度條件則m

16、m故鍵的長度應(yīng)取 mm。在工程實(shí)際中，鍵為標(biāo)準(zhǔn)件，應(yīng)按有關(guān)規(guī)定選用。解題指導(dǎo)：從上述計算可見，當(dāng)平鍵的擠壓應(yīng)力達(dá)到許用值時，鍵的工作剪應(yīng)力遠(yuǎn)低于許用剪應(yīng)力。對于標(biāo)準(zhǔn)鍵（或花鍵），其擠壓強(qiáng)度是主要矛盾，而其剪切強(qiáng)度一般都是足夠的；對于鉚釘、螺栓等聯(lián)接件，其剪切強(qiáng)度往往是主要的，擠壓強(qiáng)度通常都能得到滿足。4 自我測試?yán)?壓1. 軸向拉伸桿，正應(yīng)力最大的截面和切應(yīng)力最大的截面（ ）。(A）分別是橫截面、45°斜截面； （B）都是橫截面，（C）分別是45°斜截面、橫截面； （D）都是45°斜截面。正確答案是。2.軸向拉壓桿，在與其軸線平行的縱向截面上（ ）。（A） 正應(yīng)力

17、為零，切應(yīng)力不為零；（B） 正應(yīng)力不為零，切應(yīng)力為零；（C） 正應(yīng)力和切應(yīng)力均不為零；（D） 正應(yīng)力和切應(yīng)力均為零。正確答案是。3. 應(yīng)力應(yīng)變曲線的縱、橫坐標(biāo)分別為FN/A，L/L，其中（ ）。（A）A和L均為初始值； （B）A和L均為瞬時值； （C）A為初始值，L為瞬時值； （D）A為瞬時值，L均為初始值。正確答案是。4. 進(jìn)入屈服階段以后，材料發(fā)生（ ）變形。（A） 彈性； （B）線彈性； （C）塑性； （D）彈塑性。正確答案是。5. 鋼材經(jīng)過冷作硬化處理后，其（ ）基本不變。(A) 彈性模量；（B）比例極限；（C）延伸率；（D）截面收縮率。正確答案是。6. 設(shè)一階梯形桿的軸力沿桿軸是變化

18、的，則發(fā)生破壞的截面上 （ ）。（A）外力一定最大，且面積一定最小；（B）軸力一定最大，且面積一定最?。唬–）軸力不一定最大，但面積一定最??；（D）軸力與面積之比一定最大。正確答案是。7. 一個結(jié)構(gòu)中有三根拉壓桿，設(shè)由這三根桿的強(qiáng)度條件確定的結(jié)構(gòu)許用載荷分別為F1、F2、F3，且F1 >F2 >F3，則該結(jié)構(gòu)的實(shí)際許可載荷 F 為（ ）。（A） F1 ； （B）F2； （C）F3； （D）（F1F3）/2。正確答案是。8. 圖示桁架，受鉛垂載荷F50kN作用，桿1、2的橫截面均為圓形，其直徑分別為d1=15mm、d2=20mm，材料的許用應(yīng)力均為150MPa。試校核桁架的強(qiáng)度。9. 已知直桿的橫截面面積A、長度L及材料的重度、彈性模量E，所受外力P如圖示。求：（1）繪制桿的軸力圖； （2）計算桿內(nèi)最大應(yīng)力； （3）計算直桿的軸向伸長。剪切1在連接件上，剪切面和擠壓面分別（ ）于外力方向。 （A）垂直、平行； （B）平行、垂直； （C）平行； （D）垂直。正確答案是。2. 連接件應(yīng)力的實(shí)用計算是以假設(shè)（ ）為基礎(chǔ)的。（A） 切應(yīng)力在剪切面上均勻分布；（B） 切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限；（C） 剪切面為圓形或方行；（D） 剪切面面積大于擠壓面面