初中數學面積問題與面積方法

1、賽點突破1利用面積關系解決幾何問題，古已有之，最典型的例子就是勾股定理的許多采用面積割補的證明。在數學競賽中，有些問題是要求出指定圖形的面積，也有些問題從表面上看似乎不直接涉及到面積，但若用等積變換與面積法去解答，往往會收到事半功倍的效果。在運用等積變換與面積法時，常常用到以下的公式和定理。2中，設為a邊上的高，R、r分別為外接圓、內切圓的半徑，則三角形的面積公式形式多樣，注意根據問題需要靈活選取。3（1）相似三角形面積的比等于相似比的平方；（2）等底（或等高）的三角形的面積比等于其所對應的高（或底）的比。4共角定理若與相等或互補，則。5共邊定理如圖，若直線AB與PQ相交于M，則。圖251范例

2、解密例1 已知：如圖，P是中平分線上的任一點，過C作CEPB交AB的延長線于E，過B作BFPC交AC的延長線于F。求證：。分析：利用角平分線性質得到距離相等，結合等底等高的兩個三角形面積相等，將問題轉化為等積問題。證明：連結PE、PFCEPB，BFPC圖252又P是平分線上的點P到BE及CF的距離相等即 的邊BE上的高等于的邊CF上的高評注：解決本題的關鍵是運用“平行得等積”。例2（2003年德國數學競賽）在平行四邊形ABCD中，M、N分別在AB、BC上，且M、N不與端點重合，。設AN與CM相交于點Q。求證：DQ平分。證明：設點Q到AB、BC、CD、DA的距離分別為a、b、c、d圖253又故D

3、Q平分例3已知：O是的外接圓圓心，直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F。求證：。分析：運用共邊定理將要證明的等式轉化為面積恒等式。 證明：圖254即評注：本題看似與面積無關，但運用面積法特別簡單。例4（2002年澳大利亞數學奧林匹克）設四邊形ABCD是矩形，E、F分別是邊BC、CD上的點，且滿足是正三角形。求證：。分析：引入角和線段長，將所證三角形的面積表示出來，利用三角法求證。證明：設，則，。又設正 邊長為t，則圖255又因為所以，例5（2003年白俄羅斯數學奧林匹克）已知圓內接四邊形ABCD滿足，。求ABC的面積。分析：參數法求解。解：延長AD至M，使，設，。DCMBAC設

4、，則圖256又又評注：本題涉及到圓內接四邊形，其另一種解法是運用托勒密定理，請參考本章超級訓練第3題。例6（2000年全國高中數學聯(lián)賽）如圖，在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點E、F，滿足BAE=CAF，作FMAB，F(xiàn)NAC（M、N為垂足），延長AE交三角形ABC的外接圓于D點。證明：四邊形AMDN與三角形ABC的面積相等。證明：連結MN、BD、CD，設MN交AD于O。FMAB，F(xiàn)NACA、M、F、N四點共圓又AOMANF又ABDAFC圖257由、得又，及例7（2003年白俄羅斯數學奧林匹克）已知凸五邊形ABCDE滿足，。求五邊形ABCDE的面積。解：設K是點C關于直線BD的對稱點，則作和的平

5、分線，且交于點M。于是，BM是AK的中垂線，DM是EK的中垂線。特別地，有，即M是的外心。因為圖258所以，所以 ，即又因為，所以 故AE是的斜邊，即M是AE的中點。因為 ，所以評注：巧妙地構造K點，采用“割補法”求解。例8 （2004年首屆中國東南地區(qū)數學奧林匹克）設點D為等腰的底邊BC上一點，F(xiàn)為過A、D、C三點的圓在內的弧上一點，過B、D、F三點的圓與邊AB交于點E。求證：。證明：設AF的延長線交BDF于K，則AC又由正弦定理，得圖259而又故。例9（2003年第2屆中國女子數學奧林匹克）已知D是的邊AB上的任意一點，E是邊AC上的任意一點，連結DE，F(xiàn)是線段DE上的任意一點，設，。求證

6、：（1），；（2）。證明：連結BE、CD。(1)圖2510（2）由（1）得。例10（第16屆亞太地區(qū)數學奧林匹克）設O、H分別是銳角的外心和垂心。求證：、和中一個三角形的面積等于其余兩個的和。證明：先證如下引理：設O、H是線段BC所在直線外兩點，P是線段BC的中點，記、和的面積分別為、和，則。事實上，過點B、P、C分別作OH的垂線，垂足分別分別為D、E、F。則PE是梯形BDFC的中位線，所以圖2511即得。故引理得證。下面證明原命題：過點O作于PO是銳角的外心根據引理，得連AP交OH于G，則由歐拉定理，知點G為的重心圖2512這就證明了、和中一個三角形的面積等于其余兩個的和。超級訓練1在銳角中

7、，的平分線交BC于L點，交的外接圓于N點，交AB于K，交AC于M。證明：與四邊形AKNM的面積相等。2從內一點M向三角形的三條高作垂線。若在每一條高上所作垂線的垂足到頂點的距離是等長的。求證：這個長度等于三角形內切圓的直徑。3已知圓內接四邊形ABCD滿足，。求ABC的面積。4已知點P是內一點，ÐPAB=ÐPBC=ÐPCA=a，A'B'，B'C'，C'A'分別過A、B、C三點，且分別垂直于PA、PB、PC，求證：SDABC=SDA'B'C'·sin2a5設E為凸四邊形ABCD的對角線的

8、交點，、分別為、四邊形ABCD的面積。求證：，等號何時成立？6如圖，設中，D、E、F分別在BC、AC、AB上，若四邊形AFDE是它的內接四邊形，求證：.第6題圖第25章 面積問題與面積方法1設，則又2設高是AD、BE、CF，點M到AD、BE、CF的垂足分別是I、J、K。設，則第2題圖又若r是的內切圓半徑，則，即t等于的內切圓直徑。3連BD交AC于O點，ABDOBA，又由托勒密定理，得第3題圖即4過點C'作C'DB'P于D，連CD.B'ABA'C'CPaaaDPAA'B',PBB'C'A、B'、B、P四點共圓

9、.ÐCDB'=ÐC'B'D.又顯然P、B、C'、D、C這五點在以PC'為直徑的圓上，ÐCDB'=ÐPBC=a=ÐDB'C'.CD/B'C'.四邊形BCDC'是圓內接梯形.BC=C'D.第4題圖同理：.DABCDABC，且相似比為sina .SDABC=SDA'B'C'sin2a.5記a、b、c、d分別為EA、EB、EC、ED的長度，則同理，因此由柯西不等式，得第5題圖當且僅當，即，。也就是，即ABCD時等號成立。故原不等式成立

10、，當且僅當ABCD時等號成立。6A、F、D、E四點共圓，ÐEDF+ÐEAF=180o.sinÐEDF=sinÐEAF=sinÐBAC.,第6題圖,作BB'AC于B'，DXAC于X；CC'AB于C'，DYAB于Y，BB'/DX, BC2=(BD+DC)2=(BD-DC)2+4BD·DC4BD·DC,. 設 ÐEAF=a, ÐDEA=ÐDFB=q，則 EF=2R·sina；AD=2R·sinq，(R為外接圓半徑),DY=DF·si

11、nq；DX=DE·sinq,又BB'=AB·sina，CC'=AC·sina,因此，由可得.同步測試25 面積問題與面積方法1已知BC是等腰直角的斜邊，在BC上取點D，使，作交AC于E。求證：。2在中，D是AB邊上的一點?？疾斓膬惹袌A和的與DB邊相切的旁切圓，設這兩個圓的半徑都等于r。求證：的相等邊上的高等于4r。3在中，P是內的角平分線上的點，M（異于A、B）是邊AB上的點，直線AP、CP、MP分別交邊BC、AB、AC于點D、E、N。如果，試求。4已知銳角ABC的三邊BC、CA、AB的中點分別為。分別由向ABC的另外兩條邊各作垂線，相應的交點分別

12、為。求證：六邊形的面積等于面積ABC的一半。5銳角三角形ABC中，H、G分別為該三角形的垂心和重心。已知。求證：。6如圖，已知圓內接三角形邊長分別為a、b、c (a,b,cÎR+。第6題圖同步測試25 面積問題與面積方法1在中，又第1題圖故2設從的頂點C、A、D到該三角形內切圓的切線長分別為x、y、z。又設從的頂點D和B到該三角形DB邊外側的旁切圓的切線長分別為z和w，則有設的AC邊和BC邊上的高線長等于h，則又第2題圖由、得3設，r是的內切圓半徑。點P在的角平分線上點P一定是的內心又，及4連結、，作的三條高、。設的垂心為H。，同理四邊形是平行四邊形同理第4題圖5設AH交BC于O，以O為原點，OC為x軸正方向建立直角坐標系。設，則易算得，。于是而第5題圖（因為為銳角三角形，所以）故由、，即知原命題成立。6連結AC