幾何證明——中點(diǎn)模型中級

1、【知識要點(diǎn)】1、中位線定理：如圖，在中，若，則且。2、中線倍長(倍長中線)：如圖（左圖），在中，為中點(diǎn)，延長到使，連接，則有：。作用：轉(zhuǎn)移線段和角。注意：在實(shí)際運(yùn)用中，與某個中點(diǎn)相連的線段，都可以將其看作“中線”，從而都可以考慮將它倍長（需要的話）。如上右圖，如果出現(xiàn)“兩條平行線夾中點(diǎn)”的情形，一定會出現(xiàn)“X全等”或“叉叉全等”或“8字型全等”，有時這個“叉叉”需要我們自己畫出來（輔助線）.3、直角三角形斜邊中線定理：如圖，在中，為中點(diǎn)，則有：。4、三線合一：在中:（1）；（2）平分；（3），（4）.“知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是說，以上四條語句，任意選擇兩個作為條

2、件，就可以推出剩下兩條。請牢記：當(dāng)你發(fā)現(xiàn)有某一條線同時具備了“垂線”、“角平分線”、“中線”三種功能當(dāng)中的任意兩種功能時，那么這條線就一定是某個等腰三角形的對稱軸，換句話說，以這條線為對稱軸必定有等腰三角形出現(xiàn).【經(jīng)典例題】例1、如圖所示，已知為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求證：.例2、如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長交于，求證：。例3、如圖，在中，為的平分線，為的中點(diǎn)，求證：。例4、如圖,已知中，為高線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：。例5、如圖所示，在中，為的中點(diǎn)，是的平分線，若且交的延長線于，求證：。例6、如圖所示，在中，是的平分線，是的中點(diǎn)，且交的延長線于，求證：?！咎嵘?xùn)練】1

3、、已知如圖，中，是 邊上的中線 ,求證：.2、已知：如圖，在矩形中，為的中點(diǎn)，交于連結(jié)。求證：. 3、已知如圖，中，是邊的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn). 求證：。4、在梯形中，為的中點(diǎn)，求證：。5、已知：在正方形中，對角線、交于，為的平分線，交于，于 求證： 6、如圖，中，的平分線與邊的中線垂直，垂足為，且，求的三邊長。7、如圖，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，于點(diǎn)，求的長。8、如圖，已知中，是的平分線，又是邊上的中線，求證。9、如圖，已知中，上的中線,求的長.10、如圖，在中，是的中點(diǎn)，求的正切值.11、已知：如圖，中，在上取點(diǎn)，在延長線上取點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若是中點(diǎn)，求證：12、如圖，是的邊的中點(diǎn)，平

4、分，于點(diǎn)，且，求的周長。13、如圖，已知：中,是的中點(diǎn)，。求證：。14、如圖,已知中，是的中點(diǎn)，。求證：。15、如圖，是中邊上的一點(diǎn)，且，是的中線，求證：。16、如圖，已知等腰三角形中，平分，垂足為點(diǎn)，求證：。17、已知：如圖，于點(diǎn)是中點(diǎn)，求證：。18、如圖，在正方形中，是中點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：。19、已知：和都是直角三角形，點(diǎn)在上，且，如圖，連接，設(shè)為的中點(diǎn)，連接。求證：。20、如圖，平行四邊形中，對角線、相交于點(diǎn)，、分別是、 的中點(diǎn)。求證：（1）（2）.21、請閱讀下列材料：問題：如圖，在菱形和菱形中，點(diǎn)在同一條直線上，線段的中點(diǎn)，連結(jié)若,探究與的位置關(guān)系22、如圖，中，是邊

5、的中點(diǎn)，于點(diǎn)，若 ,求證：。23、如圖，梯形中，是中點(diǎn)，于，求。24、如圖，三角形，為上的點(diǎn)，過作，交延長線于，作交于，為中點(diǎn)，連接與，求證：25如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，是邊上的一點(diǎn)，且平分，求證：26、如圖，正方形CGEF的對角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CGBC），M是線段AE的中點(diǎn)，DM的延長線交CE于N（1）求證：AD=NE（2）求證：DM=MF；DMMF27、如圖，等腰梯形中，對角線相交于，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：是等邊三角形.28、已知如圖，的中線、相交于點(diǎn)，F(xiàn)、分別是、的中點(diǎn)，（1）判斷和有何關(guān)系并證明；（2）求證：。29、如圖，在梯形中，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)， 是梯形的高。（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式。30、已知如圖，在四邊形中，分別為、的中點(diǎn)；（1）求證：；（2）交、分別于、，若，求證：為等腰三角形。31、點(diǎn)是所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，連結(jié)、，并把、的中點(diǎn)、順次連結(jié)起來，設(shè)能構(gòu)成四邊形。（1