大一微積分上冊的定義、公式、定理

1、定義定義1 1),0(lim)2( CC 如如果果, 0lim)1( 如如果果,1時時當(dāng)當(dāng) C 是是比比就就說說);( o 記作記作是是與與就說就說 是是與與則稱則稱 . 記作記作是同一過程中的兩個無窮小是同一過程中的兩個無窮小,高階的無窮小高階的無窮小;同階無窮小同階無窮小;等價無窮小等價無窮小, ,設(shè)設(shè). 0 且且Ck lim)3(如如果果的的是是關(guān)關(guān)于于就就說說 ),0, 0( kC k 階無窮小階無窮小.常用等價無窮小常用等價無窮小,sinxx,tanxx,arctanxx,)1ln(xx ,1xex .21cos12xx ,arcsinxx時時當(dāng)當(dāng)0 x)0(1)1( xx,ln1a

2、xax 間斷點分為兩類間斷點分為兩類:第二類第二類間斷點：間斷點：第一類第一類間斷點：間斷點：)0(0 xf及及)0(0 xf均存在均存在,及及中中至少一個至少一個不存在不存在.)0(0 xf)0(0 xf)0(0 xf若若, )0(0 xf稱稱x0為為可去間斷點可去間斷點. .)0(0 xf若若稱稱x0為為跳躍間斷點跳躍間斷點. ., )0(0 xf定義定義2 2在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)最大值和最小值定理最大值和最小值定理一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值. .有界性定理有界性定理,)(baCxf 設(shè)設(shè)f (x)在在a, b上有界上有界.則則零點定理零點定理,)(baC

3、xf 設(shè)設(shè)),(ba 使得使得. 0)( f且且 f (a), f (b)異號異號,則至少存在則至少存在一點一點介值定理介值定理,)(baCxf 設(shè)設(shè)),()(bfaf ,)(,)(BbfAaf 且且),(ba 則至少存在一點則至少存在一點使得使得.)(Cf C為介于為介于A, B之間之間的任一數(shù)的任一數(shù),xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 定義定義3 3導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 基

4、本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc)()()3(nx )()1ln()4(nx )()(sin)2(nx)()(cosnx)()()1(nxa;)()(xnxee )()11(nx 常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式;)(lnnxaa );2sin( nx);2cos( nx;)1()1(nxn ,)1()!1()1(1nnxn

5、.)1(!)1(1 nnxn)()11(nx .)1(!1 nxn 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos122642 nnnxonxxxxx)()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx )(1112nnxoxxxx )0(x xe)(! 212nnxonxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnxoxnnxxx )0(x定義定義4.xAdy 能表示成能表示成如果如果)()(00 xfxxfy )0()( xxoxAy,0有關(guān)的常數(shù)有關(guān)的常數(shù)而僅與而僅與

6、是不依賴是不依賴其中其中xxA ,)(0可微可微在點在點那么稱那么稱xxfy 為為并稱并稱xA ,)(0的微分的微分相應(yīng)于相應(yīng)于在點在點xxxfy 記作記作,dy即即微分的定義微分的定義定理定理.)(,)()(000Axfxxfyxxfy 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點可微可微在點在點.xdx 規(guī)定：規(guī)定：.)(xxfdy ,)(處的微分處的微分在任意點在任意點 xxfy 稱為稱為,的微分的微分函數(shù)函數(shù),dy記作記作即即dxxfdy)( 則則)(xfdxdy . 微商微商導(dǎo)數(shù)也叫導(dǎo)數(shù)也叫基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cs

7、cddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221 xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxxaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdde)e (ddln)(d2222 基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(

8、;cosCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex;Cex dxax)12(;lnCaax xdxsh)13(;Cxch xdxch)14(.Cxsh xdx2sec)8(;tanCx xdx2csc)9(;cotCx 基基本本積積分分表表 Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17(;tanseclnsec)18( Cxxxdx;cotcsclncsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;arcsin1)21(22Caxdxxa Cx seclnCx cscln;ln211)2

9、3(22Cxaxaadxxa .ln1)25(2222Caxxdxax ;ln211)22(22Caxaxadxax .)ln(1)24(2222Caxxdxax , 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值 baxxfd)(2A 1A 3A 定積分的幾何意義定積分的幾何意義Oxyab)(xf1A2A3A 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù) 為大于為大于1的奇數(shù)的奇數(shù)2.;)()()1(0 TTaadxxfdxxf3.為

10、周期，為周期，是連續(xù)的周期函數(shù)，是連續(xù)的周期函數(shù)，設(shè)設(shè)Txf)().()()()2(0NndxxfndxxfTnTaa 則則通解通解de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP . 0)( yxPdxdy通解通解(1) 一階線性齊次一階線性齊次).()(為任意常數(shù)為任意常數(shù)CCeydxxP ).()(xQyxPdxdy (2) 一階線性非齊次一階線性非齊次定理定理1 1)()(2211xyCxyCy 的的特解特解,那末那末是是(1)的的通解通解.如果如果y1(x)與與y2(x)是是 (1)的兩個的兩個線性無關(guān)線性無關(guān))1(0)()( yxQyxPy(3) 二階線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階線性方程的

11、解的結(jié)構(gòu)定理定理2 2 yxQyxPy)()( 的一個的一個特解特解, yYy那么那么)(xf(2) Y 是是與與(2)對應(yīng)的齊次方程對應(yīng)的齊次方程(1)的通解的通解, (2)的的通解通解. 是是(2) y設(shè)設(shè)解的疊加原理解的疊加原理定理定理3 3)()(21xyxyy 那末那末是是(1)的的 一個特解一個特解.如果如果y1(x)與與y2(x)是是(2)的兩個的兩個特解特解，二階常系數(shù)齊次方程二階常系數(shù)齊次方程0 qyypy02 qprr特征方程特征方程23特征根的情況特征根的情況通解的表達式通解的表達式實根實根21rr xrxrCCy21ee21 實根實根21rr xrxCCy2e )(21 復(fù)根復(fù)根)sincos(e21xCxCyx ir 2,1)(xPeqyypymx )(*1110mmmmxkaxaxaxaexy ,02;01;00222的重根的重根是是的單根的單根是是的根的根不是不是其中，其中，qprrqprrqprrk定理定理5有如下形式的特解有如下形式的特解.), 1 , 0(是待定常數(shù)是待定常數(shù)miai 二階常系數(shù)非齊次方程二階常系數(shù)非齊次方程)(xfqyypy sin)(cos)(xxPxxPeqyypynlx )sin)(cos)(*)2()1(xxRxxRexymmxk ,01;002