《銳角三角函數(shù)》導(dǎo)學(xué)案(共17頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第七章 銳角三角函數(shù)（1）正切函數(shù) 學(xué)習(xí)目標1、認識銳角的正切的概念。2、會求一個銳角的正切值。3、經(jīng)歷操作觀察思考求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)習(xí)重點：銳角的正切的概念學(xué)習(xí)難點：銳角的正切的概念，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法知識要點 在RtABC中，C=90°，A的對邊與鄰邊的比值是A的正切，記作一、 情境創(chuàng)設(shè) 問題1. 我們從家到學(xué)校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起來很累，這是為什么？觀察斜坡的傾斜程度，你有什么發(fā)現(xiàn)？如何刻畫斜坡的傾斜程度？如上圖，這兩個直角三角形中，C=C=90°，且有一條直角邊相等，但斜邊不相等，哪個坡更陡

2、？ 本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關(guān)系，因此同學(xué)們首先應(yīng)思考：當銳角固定時，兩直角邊的比值是否也固定？給出正切概念：如圖，在RtABC中，把A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作：.二、典型例題例1根據(jù)下列圖中所給條件分別求出下列圖中A、B的正切值。通過上述計算，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 互余兩角的正切值 例2如圖，在RtABC中，ACB=90°，CD是AB邊上的高，AC=3,AB=5，求ACD 、BCD的正切值。 結(jié)論：等角的正切值 例3 如圖（1），A=30°，C=90°，根據(jù)三角函數(shù)定義求出30°、45°、60°的正切值（1） （2）

3、 （3） 例4 如圖，A=15°，C=90°，求出15°正切值隨堂演練1.（1）在直角三角形ABC中，C=90°，b=9, a=12,則= ，tanB= 。（2）如圖，ABC的三個頂點分別在正方形網(wǎng)格的格點上，則的 （3）在RtABC中,C=90°,AC=12,tanA=2，則BC長為 。2.如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到ACB，則tanB的值為（ ） A B C DABCCB3RtABC中，C=90°，若，則tanA= 。4在，若將各邊長度都擴大為原來的2倍，則A的正切值（ ） A擴大2

4、倍B縮小2倍C擴大4倍D不變5. 在RtABC中A=75°，C=90°，求出75°正切值9等腰三角形ABC的底邊為10cm，周長為36cm，求tanC.ABC §7.2 正弦、余弦(1) 學(xué)習(xí)目標：1、認識銳角的正弦、余弦的概念。2、會求一個銳角的正弦、余弦值。3、經(jīng)歷操作觀察思考求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)重點：銳角的正弦、余弦的概念教學(xué)難點：銳角的正弦、余弦的概念，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法知識要點：1、正弦的定義如圖，在RtABC中，C90°，我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做A的_，記作_，即：sinA_=_.2、余弦

5、的定義如圖，在RtABC中，C90°,我們把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做A的_，記作=_，即：cosA=_=_。（你能寫出B的正弦、余弦的表達式嗎？）試試看_.教學(xué)過程一、情景創(chuàng)設(shè)1、問題1：如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m后，他的相對位置升高了5m，如果他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對位置升高了多少？行走了a m呢？2、問題2：在上述問題中，他在水平方向又分別前進了多遠？20m13m3、B 在ABC中, C=90°. 銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做 A的正弦,記作sinA.CA 銳角A的鄰邊a與斜邊c的比叫做 A的余弦,記作cosA.二、典型例題例1. 根據(jù)圖

6、中數(shù)據(jù),分別求出A, B 的正弦,余弦.練習(xí)：在ABC中，A、B、C的對邊分別為、，且，下面四個式中錯誤的有( ) sin；cos；tan；sinA1個B2個C3個D4個例2、 如圖，在RtABC中，C=90°，A、B、C的對邊分別是、，：=2：3，求sinA與sinB的值。例3、如圖，在RtABC中 ，ACB=90°，BC=6，CDAB于D，AC=8。試求：sinA的值；cosACD的值；CD的長。練習(xí)：1、 如圖，在RtABC中，C90°，AC12，BC5，則sinA_，cosA_，sinB_，cosB_。2、 在RtABC中，C90°，AC1，BC

7、，則sinA_，cosB=_,cosA=_,sinB=_.3、如圖，在RtABC中，C90°，BC9a，AC12a，AB15a，則tanB=_,cosB=_,sinB=_4、比較：sin30°與sin60°的大小;cos30°與cos60°的大小?隨堂演練：(第2題)1、在RtABC中，C=90°，AC=2，BC=1，則sinA= 。2如圖，P是的邊OA上一點，且P點坐標為（3,4），則sin= ，cos .(第3題)3如圖ABC中，C=90°，sinA=，則BC：AC=( )A3：4B4：3C3：5D4：54在RtABC中

8、，C=90°，AC=4，BC=3，則cosB=( )ABCD §7.2 正弦、余弦(2) 學(xué)習(xí)目標：1、認識銳角的正弦、余弦的概念。2、會求一個銳角的正弦、余弦值。3、經(jīng)歷操作觀察思考求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)重點：利用正弦余弦的有關(guān)概念解決問題。教學(xué)難點：利用正弦余弦的有關(guān)概念解決問題。1 復(fù)習(xí)導(dǎo)入23 如圖,在RtABC中, C=90º, AC=12, BC=5.求: sinA、cosA、sinB、cosB的值.你發(fā)現(xiàn)sinA與cosB 、 cosA與sinB的值有什么關(guān)系嗎?結(jié)論：二、典型例題1. 比較大小sin40 cos40 sin80

9、 cos30 sin45 cos452已知為銳角:（1） sin = ，則cos=_,tan=_, （2） cos= ，則sin=_,tan=_, （3）tan= ，則sin=_,cos=_, 三典型例題例1、如圖，BCAD于C，DFAB于F，SAFD:SEFB=9，BAE=，求sin+cos的值；分析 由已知易證RtAFDRtEFB，再根據(jù)SAFD：SEFB=9，可得AF：EF=3，AF=3EF；由勾股定理可求出AE=EF，從而容易求得sin，cos的值。 例2、如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，ACAB，AD=CD ，BC=10，則AB的值是（ ） A9B8C6 D3例3、 如圖，在菱形

10、ABCD中，AEBC于點E，EC=1，cosB=，求這個菱形面積。隨堂演練1ABC中，C=90°，若tanA，則sinA= 。2ABC中，C=90°，AC=AB，則sinA= ，tanB= 。3.在RtABC中,C=90º,且銳角A滿足sinA=cosA, 則A的度數(shù)是 ( )A.30º B.45º C.60º D.90º4.在RtABC中,C=90º,sinA=,則BC:AC:AB等于 ( )A. 1:2:5 B. C. D. 5. 如圖,在RtABC中,CD是斜邊AB上的高,則下列線段的比中不等于sinA的是(

11、 ) A. B. (第6題)C. D.6如圖，自動扶梯AB段的長度為20米，傾斜角A為，高度BC為 米(結(jié)果用含的三角函數(shù)表示)。7ABC中，C=90°，BC=2，AB=3，則下列結(jié)論正確的是( )。ABCD7.3 4 特殊角的三角函數(shù)及由三角函數(shù)值求銳角 學(xué)習(xí)目標1.熟記30°、45°、60°特殊角的三角函數(shù)值，并利用其進行求值計算。2.會根據(jù)特殊角的正弦、余弦、正切值求該銳角的大小。3.經(jīng)歷操作觀察思考求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)習(xí)重點利用三角函數(shù)有關(guān)概念解決問題教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)、歸納1分別說出30°、45°、60&

12、#176;角的三角函數(shù)值。2.完成下列表格三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°sincostan二、典例分析例1求下列各式的值。（1）2sin30°-cos45° （2）sin60°·cos60°（3）sin230°+cos230°練習(xí)：計算.（1）cos45°sin30° （2）sin260°cos260° (3)tan45°sin30°·cos60° (4) 例2.求滿足下列條件的銳角。(1) cos= (2)2

13、sin=1 (3)2sin=0 (4)tan1=0練習(xí)：1. 若sin=,則銳角=_.若cos=1,則銳角=_.2. 若A是銳角，且3tanA=,則cosA=_.3.已知為銳角,當無意義時,求tan(+15°)-tan(-15°)的值.三、小結(jié)隨堂演練：1sin30º的值等于 . 的補角是120°,則=_ _,sin=_ _.2下列計算錯誤的是( ) AB CD3. 求滿足下列條件的銳角:(1)cos-=0 (2)-tan+=0(3)cos-2=0 (4)tan（+10°）=4計算(1) (2) 5已知tan2（1+）tan+=0，求銳角的度數(shù)

14、6已知：如圖，在Rt中，點為邊上一點，且，求周長（結(jié)果保留根號）7已知銳角ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c （1）試說明：SABC=absinC； （2）若a=30cm，b=36cm，C=30°，求ABC的面積7.5解直角三角形 學(xué)習(xí)目標：1.理解直角三角形中5個元素的關(guān)系，會運用“勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、銳角三角函數(shù)”解直角三角形。2.通過綜合運用“勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、銳角三角函數(shù)” 解直角三角形提高分析問題、解決問題的能力。3.培養(yǎng)學(xué)生對圖形的轉(zhuǎn)化能力。重點： 邊角關(guān)系的靈活應(yīng)用難點： 如何通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形，把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形

15、中的問題來解決問題。知識點：1解直角三角形的定義：任何一個三角形都有六個元素，三條邊、三個角，在直角三角形中，已知有一個角是直角，我們把利用已知的元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形。2解直角三角形的所需的工具。(1)兩銳角互余AB90°(2)三邊滿足勾股定理a2b2c2(3)邊與角關(guān)系sinAcosB，cosAsinB，tanA， tanB。3一個直角三角形當已知 或已知 ，這個直角三角形就是可解的直角三角形4解直角三角形的四種類型和解法如下表：類型已知條件解法兩邊兩直角邊a, bc=，tanA=，B=90°-A一直角邊a，斜邊cb=，sinA=，B=90°

16、-A一邊一銳角一直角邊a，銳角AB=90°-A，b=atanB，c=斜邊c，銳角AB=90°-A，a=c·sinA，b=c·cosA5解直角三角形時需要注意的幾個問題：（1）盡量使用原始數(shù)據(jù)，少用有誤差的近似值，使計算更加準確。（2）非直角三角形問題，通過添加恰當?shù)妮o助線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題。（3）恰當使用方程可使一些較復(fù)雜的解直角三角形問題化繁為簡、化難為易。 （4）在選用三角函數(shù)時，盡可能做乘法，避免除法，以使運算簡便。典型例題：例1 在RtABC中，C=90°，A、B、C的對邊分別為、，由下列條件解直角三角形。 已知，B=60°

17、; 已知，（3）已知，A=60°配套練習(xí)：根據(jù)下列條件解直角三角形 (1)在 RtABC中，C90o，c10，A30o. (2）在RtABC中，C90o，a50，c.例2.如圖，已知在ABC中，B=60°，AD=14，CD=12，SADC=，求BD的長。隨堂演練：1在RtABC中，C=90°，A=30°，AB=18，則AC= ，BC= 。2在RtABC中，C=90°，則A= ，b= 。3在RtABC中，C=90°，則tanB= ，面積S= 。4在RtABC中，C=90°，AC：BC=，AB=6，B= ，AC= BC= 。5在

18、下列直角三角形中不能求解的是（ ）A已知一直角邊一銳角 B已知一斜邊一銳角C已知兩邊 D已知兩角6. ABC中，AB90O,cosA，則sinB，若c10,則a 7. 解直角三角形在RtABC中8.為測量松樹AB的高度，一個人站在距松樹15米的E處，測得仰角ACD=52º,已知人的高度是1.72米，求樹高（精確到0.01米）（tan52º=1.2799）9某塊綠地的形狀如圖所示，其中BAD=60°，ABBC，ADCD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的長。(參考數(shù)據(jù)：1.414, 1.732,精確到1m) §7.6銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用（

19、1） 學(xué)習(xí)目標：1.經(jīng)歷探索實際問題的求解過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用。 2.能把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能進行有關(guān)三角函數(shù)的計算并能對結(jié)果的實際意義進行說明 。 3.正確理解“旋轉(zhuǎn)角、仰角、俯角、視線、方位角”從而正確理解實際問題，解決實際問題。重點： 靈活應(yīng)用“銳角三角函數(shù)、勾股定理”解直角三角形難點：發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造可解的直角三角形和需解的直角三角形方向角1：北偏東30度。2：南偏西60度重要概念：旋轉(zhuǎn)角：AOB1是俯角，2仰角12 解題要領(lǐng)：把實際問題抽象為幾何問題，畫出幾何圖形，明確已知量和未知量，通過添加適當輔助線，構(gòu)造直角三角形，解決實際問題。問題引入：長為90 CM

20、的單擺AB旋轉(zhuǎn)30°后，最低點B升高了多少？典型例題例1. 國慶長假，小明和同學(xué)一起到游樂場游玩，游樂場大型摩天輪的半徑為20米，旋轉(zhuǎn)一周需要12分鐘。小明乘坐最底部的車廂（離地面約0.5米）開始一周的觀光。（1）2分鐘后，小明離地面的高度是多少（精確到0.1米）？ （2）摩天輪啟動多長時間后，小明和地面的高度將首次達到9m ? (提示cos55°=0.575) (3) 小明將有多長時間連續(xù)保持在離地面9 m以上的高度？例2升國旗時，某同學(xué)站在離旗桿底部20m處行注目禮，當國旗升至旗桿端時，該同學(xué)視線的仰角恰為40°，若雙眼離地面1.5m，則旗桿高度為多少m?（s

21、in40°=0.64, tan40°=0.84）（圖6）例3某商場為緩解我市“停車難”問題，擬建造地下停車庫，圖6是該地下停車庫坡道入口的設(shè)計示意圖，其中， ABBD，BAD18o，C在BD上，BC0.5m根據(jù)規(guī)定，地下停車庫坡道入口上方要張貼限高標志，以便告知駕駛員所駕車輛能否安全駛?cè)胄∶髡J為CD的長就是所限制的高度，而小亮認為應(yīng)該以CE的長作為限制的高度小明和小亮誰說的對？請你判斷并計算出正確的結(jié)果（結(jié)果精確到0.1m） 參考數(shù)據(jù)：sin18°=0.31, cos18°=0.95，tan18°=0.32隨堂演練：1小明站在A處放風箏，風箏飛

22、到C處時的線長為20米，這時測得CBD=60°，若牽引底端B離地面1.5米，求此時風箏離地面高度。(計算結(jié)果精確到0.1米，)2汶川地震后，搶險隊派一架直升飛機去A、B兩個村莊搶險，飛機在距地面450米上空的P點，測得A村的俯角為，B村的俯角為（如圖） 求A、B兩個村莊間的距離（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)）3水平地面上的甲、乙兩樓的距離為30米，從甲樓頂部測得乙樓頂部的仰角為30°，測行乙樓底部的俯角為45°求甲、乙兩樓的高度 §7.6銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用（2） 學(xué)習(xí)目標：1.經(jīng)歷探索實際問題的求解過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用。 2.能把

23、實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能進行有關(guān)三角函數(shù)的計算并能對結(jié)果的實際意義進行說明 。 3.正確理解“旋轉(zhuǎn)角、仰角、俯角、視線、方位角”從而正確理解實際問題，解決實際問題。重點： 借助列方程靈活應(yīng)用銳角三角函數(shù)解直角三角形難點：幾個可解的直角三角形和需解的直角三角形之間的聯(lián)系解題要領(lǐng)：把實際問題抽象為幾何問題，畫出幾何圖形，通過添加適當輔助線構(gòu)造直角三角形，注意抓住幾個直角三角形之間的公共邊角，靈活應(yīng)用銳角三角函數(shù)借助列方程解直角三角形。問題引入：我校九年級某班在測量校內(nèi)旗桿高度的數(shù)學(xué)活動中，同學(xué)們設(shè)計了兩種測量方案，并根據(jù)測量結(jié)果填寫了如下數(shù)學(xué)活動報告中的一部分請你把下表中計算過程和結(jié)果填寫完整課

24、題測量校內(nèi)旗桿高度目的運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)方法解決實際問題測量旗桿高度方案BACDMN方案一方案二示意圖DAMCNGB測量工具皮尺、測角儀皮尺、測角儀測量數(shù)據(jù)：，計算過程（結(jié)果保留根號）解：解：測量結(jié)果典型例題例1 小明為了測量停留在空中的氣球的高度，他先在地面上找一點，站在這點測得氣球的仰角為27°，然后向氣球方向走了50米，測得氣球的仰角為40°。這時他就能算出氣球的高度了。他是如何求得氣球的高度呢？（小明的身高是16米）（tan27°=0.51,tan40°=0.84,結(jié)果精確到01米）270400 例2如上圖所示，已知：在ABC中，A=60&#

25、176;，B=45°，AB=8.求：ABC的面積(結(jié)果可保留根號). 例3如圖，小唐同學(xué)正在操場上放風箏，風箏從A處起飛，幾分鐘后便飛達C處，此時，在AQ延長線上B處的小宋同學(xué)，發(fā)現(xiàn)自己的位置與風箏和旗桿PQ的頂點P在同一直線上.（1）已知旗桿高為10米，若在B處測得旗桿頂點P的仰角為30°，A處測得點P的仰角為45°，試求A、B之間的距離；（2）此時，在A處背向旗桿又測得風箏的仰角為75°，若繩子在空中視為一條線段，求繩子AC約為多少？（結(jié)果可保留根號）圖隨堂演練：1 如圖，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處及樓底D處測得塔頂A的仰角分別為4

26、5°和60°，試求塔高和樓高。2.如圖，飛機沿水平方向（A、B兩點所在直線）飛行，前方有一座高山，為了避免飛機飛行過低，就必須測量山頂M到飛行路線AB的距離MN.飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行的距離（因安全因素，飛機不能飛到山頂?shù)恼戏絅處才測飛行距離），請設(shè)計一個距離MN的方案，要求：(1)指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標出)；(2)用測出的數(shù)據(jù)寫出求距離MN的步驟.(2題圖) §7.6銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用（3） 學(xué)習(xí)目標：1.正確理解“坡度、坡角、傾斜角”等在實際問題中的意義。2. 能綜合運用解直角三角形的知識解決實際問題，進一步培養(yǎng)“把實際問題轉(zhuǎn)

27、化為數(shù)學(xué)問題”的能力重點： 用三角函數(shù)有關(guān)知識解決工程中的相關(guān)實際問題難點： 根據(jù)解決問題的需要，正確添加輔助線，從而利用解直角三角形的方法解決實際問題知識點：坡度的概念，坡度與坡角的關(guān)系。如下圖，這是一張水庫攔水壩的橫斷面的設(shè)計圖，坡面的鉛垂高度與水平寬度的比叫做坡度(或坡比)，記作i，即i，坡度通常用l：m的形式，例如下圖中的1：2的形式。坡面與水平面的夾角叫做坡角。從三角函數(shù)的概念可以知道，坡度與坡角的關(guān)系是itanB，顯然，坡度越大，坡角越大，坡面就陡。 （一）與（二）比較：（一）中坡度小，坡角A小，坡面平緩； （二）中坡度大，坡角A大，坡面陡嘗試練習(xí)：(圖3)如圖3，一個小球由地面沿著坡度的坡面向上前進。若小球升高了10m，此時小球沿坡面向上前進 米；若小球沿坡面向上前進10m，此時小球升高 米。典例剖析： 例1某數(shù)學(xué)活動小組組織一次登山話動。他們從山腳下A點出發(fā)沿斜坡AB到達B點再從B點沿斜坡BC到達山巔C點，路線如圖所示斜坡AB的長為1040米，斜坡BC的長為40