大學定積分習題精講

1、§6. 1 定積分的概念與性質(zhì)1概念定積分表示一個和式的極限其中：，；幾何意義：表示，所圍曲邊梯形面積的代數(shù)和可積的必要條件：在區(qū)間上有界可積的充分條件：（可積函數(shù)類）（1）若在上連續(xù)，則存在；（2）若在上有界，且只有有限個第一類間斷點，則必存在；（3）若在上單調(diào)、有界，則必存在。2. 性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）（5）（6）若， 則推論1：若， 則推論2： （7）若， 則（8）若在上連續(xù)，在上不變號，存在一點特別地，若，則通常稱為在上平均值（9）若在上連續(xù)，則其原函數(shù)可導，且（10）若在上連續(xù)，且，則§6. 2 定積分的計算1. 換元法2. 分部法，或3. 常用公式

2、（1）（2），其中，為連續(xù)偶函數(shù)（3），其中（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）§6. 3 廣義積分1. 無限區(qū)間的積分（無窮積分），若極限存在，則原積分收斂；，若極限存在，則原積分收斂；，必須右邊兩積分都收斂，原積分才收斂；，具有相同斂散性；，即收斂積分和仍收斂2. 無界函數(shù)的積分（瑕積分）（），若極限存在，則原積分收斂；（），若極限存在，則原積分收斂；（），兩積分都收斂，原積分才收斂；，具有相同斂散性；，即收斂積分和仍收斂3函數(shù)性質(zhì)：；（為自然數(shù)）；§6. 4 定積分的應用1直角坐標下平面圖形的面積（1）由，及軸所圍的平面圖形的面積（2）由，及軸所圍的平面圖形的

3、面積（3）由，及軸所圍的平面圖形的面積（4）由參數(shù)方程表示的曲線所圍面積可作換元處理2極坐標下平面圖形的面積一般若平面圖形的邊界是圓或圓弧，可考慮用極坐標求解。（1）由，所圍的平面圖形的面積（2）由閉合曲線所圍的平面圖形，若極點在圖形內(nèi)部，則面積3平行截面面積已知的立體體積已知平行截面面積為，或，則其體積，或 （1）一曲線繞坐標軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積，（2）兩曲線繞坐標軸的一周的旋轉(zhuǎn)體體積，（3）曲邊梯形面積繞軸和一周的體積分別為，曲邊梯形面積繞軸和一周的體積分別為，4定積分在經(jīng)濟分析中的應用（1）由邊際函數(shù)求原函數(shù)原經(jīng)濟函數(shù)為其邊際函數(shù)的不定積分；原經(jīng)濟函數(shù)的增量為其邊際函數(shù)的定積分，即，（2）

4、由邊際函數(shù)求最優(yōu)問題最低成本：，最大收益：，最大利潤：，（3）資本現(xiàn)值和投資問題資本現(xiàn)值：純收入貼現(xiàn)值：其中，收入率，按連續(xù)復利的折算因子，投資時間，投資額§6. 5 典型例題解析1變限積分的求導與應用解題思路（1）利用公式（2）若被積函數(shù)含積分限變量，需用變量代換化為變限積分的一般形式求解；（3）變限積分的變量也可以是函數(shù)，必須用隱函數(shù)求導法求解；（4）變限積分是由積分限位置變量決定的函數(shù)，它與積分變量無關(guān)。利用變限積分的求導同樣可以分析函數(shù)的特性。例1 求下列函數(shù)的導數(shù)（1）解法1令，當時，；當時，.解法2 解法3其中，為的原函數(shù)，在積分運算中作為參變量。注意：一般被積函數(shù)是抽象

5、函數(shù)，可經(jīng)變量代換后求導，具體函數(shù)可直接求導，例如（3）解令 ，當時，；當時，（5），求解（6）設(shè)，其中具有二階導數(shù)，且，求解，例2 設(shè)，求（1）將的極大值用表示出來；（2）將（1）的看作的函數(shù)，求為極小值時的值。解（1），令，得當時，極大值為當時，極大值為（2）當時，令，得，故時，為極小值；當時，單調(diào)下降，無極值。2利用定積分定義求和式的極限解題思路若將積分區(qū)間等分，取，則令，則 例3求下列極限（1）解其中，將等分，（2）解法1，又 ；故 解法2 由于，則（3）解法1 由于 且 ； 故由夾逼定理知 原式解法2 由于，則（4），其中連續(xù)，并求解 原式3. 利用定積分的性質(zhì)求極限解題思路（1）若

6、極限含定積分，可利用定積分的中值定理求解；或利用定積分的估值性質(zhì)建立不等式，用夾逼定理求解；（2）若極限含變限積分，可利用羅必達法、夾逼定理和周期函數(shù)的定積分性質(zhì)求解。例4求下列極限（1）解法1，解法2由定積分的第一中值定理有，（2）解 由于，則例5設(shè)在上連續(xù)，且，求解法1 由于在上連續(xù)，必有，則解法2 由定積分的第一中值定理有，例6確定常數(shù)的值，使 解 由于，例7設(shè)，求解4利用定積分定義求定積分解題思路（1）若將區(qū)間等分，取，則；（2）若取，則定積分的值與小區(qū)間端點的函數(shù)值無關(guān)；（3）利用定積分的幾何意義求定積分。例9用定義求解 將區(qū)間等分，分點坐標為()，取，則例10設(shè)在上連續(xù)，用定義證明

7、： 改變連續(xù)函數(shù)在有限個點處的函數(shù)值，既不影響其可積性，也不影響其積分值；證設(shè)，取分點坐標為則，有，于是5利用換元法求定積分解題思路（1）計算定積分時，必須考慮積分變元的變化范圍和應用牛萊公式的條件。（2）應用第一類換元法（湊微分法）直接求解；（3）若被積函數(shù)含，分別令，；（4）作變量代換時須相應改變積分限。一般地，積分區(qū)間為，令；積分區(qū)間為，令。（5）被積函數(shù)為，或型積分變量代換條件：積分上下限不變或換位，變換前后形式為；或例11下列積分計算是否正確，為什么？（1）解不正確，必須考慮積分變元的變化范圍 （2）解不正確，時，分子、分母同為零，不是恒等變形（3）解不正確，時，在上無界（4）解不正

8、確，時，在上不連續(xù)，不可導例12求下列定積分（1）解（2）解令，；，（5）解法1 令，；，解法2 利用公式求解（6）解令，；，例13 求下列定積分（1）解法1 令，；，解法2 利用公式 （2）解（3）解令，；，（4）解由公式6利用分部法求定積分解題思路一般計算方法與不定積分分部法類似。（1）若被積函數(shù)含，將，取作，其余部分取作；（2）若被積函數(shù)含變限積分，將變限積分取作，其余部分取作；或?qū)⒃e分化為二重積分，再改變積分次序求解。例14求下列定積分（1）設(shè)在上二階連續(xù)可微，求解 （2）設(shè)，求解法1 解法2 （3）設(shè)在上連續(xù)，且，求解法1 由于，則解法2 7利用公式求定積分解題思路 利用恒等變形和

9、變量替換法將積分或部分積分化為已知公式標準型求解例16求下列定積分（1）解 原式其中，（2）解 令，則其中，（3）解法1解法2 由于，即，則8利用積分區(qū)間的對稱性計算定積分解題思路 （1）若被積函數(shù)是奇、偶函數(shù)，用奇偶函數(shù)的定積分性質(zhì)求解（2）若被積函數(shù)不是是奇、偶函數(shù)作負代換求解；（3）若，為連續(xù)偶函數(shù)，則，注意，可直接驗證，則，例17 已知，試求值。解 令，則由于為奇函數(shù)，故取，可使積分為，即例18 設(shè)在上連續(xù)，為偶函數(shù)，且，為常數(shù)，證明：（1）；（2）求解證（1） 令，又，故有解（2） 因為，所以，當時，即。由（1）的結(jié)論有例19 求下列定積分（3）解 由于為奇函數(shù)，故（4）解，即，于是

10、9分段函數(shù)及含絕對值號函數(shù)的定積分解題思路：（1）以函數(shù)分段點將積分區(qū)間分為相應子區(qū)間，利用定積分的對區(qū)域可加性求解；（2）當被積函數(shù)是給定函數(shù)的復合函數(shù)時，用變量代換化為給定函數(shù)的形式求解；（3）令絕對值表達式為零，去掉絕對值符號，再用分段函數(shù)積分法求解。例20求下列定積分（1），其中解 設(shè) ，當時，；當時，（3）解 令，則當時，；當時，；當時，故10含定積分、變限積分方程的求解解題思路（1）若方程含定積分，令定積分為，方程兩邊再取相同積分限的定積分求解；（2）若方程含變限積分，方程兩邊求導化為微分方程求解。例21 求解下列各題（1）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，求解 設(shè)，則，兩邊取到 的定積分（2）設(shè)

11、，求，解 兩邊求導 當時，得（3）已知是連續(xù)函數(shù)，且滿足，求使達到極大與極小值時的取值。解 令，則， （4）設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導，其反函數(shù)為，且滿足方程，求解當時，對等式求導得，又，則當時，由可知，得，故（5）設(shè)函數(shù)，滿足，且，求解，得微分方程11利用定積分定義，性質(zhì)和幾何意義有關(guān)命題的證明技巧解題思路（1）利用已知不等式將函數(shù)改寫為和式的極限，再由定積分的定義求證；（2）當函數(shù)單減時，曲邊梯形的面積個窄條矩形面積之和；例22設(shè)為正值連續(xù)函數(shù)，求證證 利用已知不等式 ；例24證明下列各題（1）設(shè)在連續(xù)，且對任意有，（常數(shù)）證明：為周期函數(shù)。證（2）設(shè)在連續(xù)，且對任意正數(shù)積分與無關(guān)，求證：，為常數(shù)。證

12、 因為與無關(guān)，所以取，（3）設(shè)，其中在上連續(xù)，單調(diào)遞增，且，證明：在上連續(xù)且單調(diào)遞增。證 當時，顯然連續(xù)，又故在處連續(xù)，從而在上連續(xù)，由于單調(diào)遞增，則，故單調(diào)遞增12應用介質(zhì)定理、微分和積分中值定理的命題解題思路（1）若結(jié)論不含，則將結(jié)論改寫為的形式，左邊設(shè)為輔助函數(shù)，用介質(zhì)定理、微分和積分中值定理求解；（2）若結(jié)論含，將結(jié)論左邊改寫為某微分中值定理的標準形式（右邊含），再由此作輔助函數(shù)（有時需將所含定積分化為積分上限的函數(shù)），用微分和積分中值定理求解；（3）若結(jié)論為含的微分方程，可由觀察法或解方程求出輔助函數(shù)，用微分和積分中值定理求解。例27設(shè)在上連續(xù)，且，證明方程，在內(nèi)有且僅有一個實根。證

13、存在性：設(shè)，由題設(shè)知在上連續(xù)，且；由零點定理必有 ，唯一性：，故在內(nèi)單調(diào)增加，零點唯一例28設(shè)，在上連續(xù)，證明至少，使得（1）； （2），證（1）由于設(shè)，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，由羅爾定理至少，使得，即（2） 設(shè)，顯然，在上滿足柯西條件，則，例29 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且滿足，（），證明：至少存在一點，使得證由于，設(shè)又在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且由羅爾定理有，使得例30 設(shè)在上連續(xù)，求證：在內(nèi)至少存在兩點，使得證法1 令，則，且，又由積分中值定理有，于是，對在，上分別應用羅爾定理得，；，證法2 令，則，且若在內(nèi)無零點，則在內(nèi)不變號，矛盾，故必有，由羅爾定理有，使得13定積分不等式的證明常用定理

14、：定積分的比較定理，估值定理，函數(shù)單調(diào)性判別法，微分與積分中值定理，泰勒公式；常用不等式：，柯西不等式：常用等式：， 解題思路（1）利用換元法、分部法或周期函數(shù)的定積分性質(zhì)直接求證；（2）若僅知被積函數(shù)連續(xù)：作輔助函數(shù)，將結(jié)論所含定積分化為變限積分，移項使右邊為零，左邊即為輔助函數(shù)，再用函數(shù)單調(diào)性或求證。（3）若已知被積函數(shù)可導，且至少有一端點：將函數(shù)化為變限積分，即，或求證；（4）若已知被積函數(shù)二階可導：將被積函數(shù)按泰勒公式展開并縮放，利用定積分比較定理求證。例32設(shè)，（1）當為正整數(shù)，且時，證明：；（2）求證（1），；，（2），由夾逼準則 例33 設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明：當時，證法1

15、由定積分對區(qū)域的可加性和中值定理有證法2 令，則，故例35設(shè),在上連續(xù)，且滿足關(guān)系式，證明：.證設(shè)，則，又， 故或，有例36 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，證明：證法1證法2 由拉格朗日定理有，同上（略）例37 設(shè)在上有連續(xù)二階導數(shù)，且，證明：證在內(nèi)必有最大值。設(shè)，由拉氏定理有從而 其中最后一步運用了公式，例38 證明下列不等式（1）設(shè)在上有連續(xù)導數(shù)，且，證明：證，（2）證明：，證 令，由柯西不等式（3）設(shè)在上連續(xù)，且，證明證同理有 例39證明下列各題（1）設(shè)在上連續(xù)且，證明：證將在展開為一階泰勒公式，在與之間其中，（2）若，證明：證法1 將在展開為一階泰勒公式，并注意到 左邊得證其中，將，分別在

16、處展開為一階泰勒公式，并注意到，有 右邊得證證法2 由左邊不等式，設(shè)故單調(diào)不減， 左邊得證由右邊不等式，設(shè)故單調(diào)不減， 右邊得證綜上所述 14廣義積分的計算解題思路分清積分的類型。一般將無窮積分，瑕積分化為常義積分，再取極限求解；混合型廣義積分則須拆分積分區(qū)間，按無窮積分和瑕積分分別求解。例40計算下列廣義積分（1）解 （2）解 當時， 當時，（3）解 ，由定積分周期函數(shù)的性質(zhì)有例41計算下列廣義積分（已知）（1）解 令，則其中，（2）解例43 設(shè)，求值解，例46 求函數(shù)的最大值與最小值。解 由，只需求在的最大值與最小值，令（唯一極值）且；，故為極大值即最大值又，所以；例47 證明積分與無關(guān)，

17、并求該積分的值令，例48 設(shè)函數(shù)在有界且導數(shù)連續(xù)，證明證要證，即證，設(shè)，則16利用函數(shù)和函數(shù)計算廣義積分解題思路利用換元法或分部法將積分化為函數(shù)或函數(shù)，用函數(shù)或函數(shù)的性質(zhì)求解例49已知，計算，解 例50利用函數(shù)和函數(shù)計算下列積分（）（1）解 令，（2）解 令，17定積分在幾何方面的應用解題思路（1）將無限分割，小曲邊梯形寬為，高為，則面積微元，再將這無窮多個小曲邊梯形面積微元“加”起來得曲邊梯形的面積；（2）將無限分割，小區(qū)間寬為，截面積為，則體積微元，再將這無窮多個圓形薄片體積微元“加”起來得曲邊梯形的面積繞軸一周的體積；（3）將無限分割，小曲邊扇形圓心角為，半徑為，則面積微元，再將這無窮多

18、個小曲邊扇形面積微元“加”起來，得曲邊扇形的面積。例51設(shè)曲線，圍成圖形的面積等于由，圍成圖形的面積，記，求及解例 51 例 52 例52 求由，所圍平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積。解 由，及軸所圍圖形繞軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積公式為，則所求體積為例55 已知拋物線，（，）在第一象限內(nèi)與直線相切，且拋物線與軸所圍圖形面積為，問，為何值時，達到最大值，并求最大值。解 令，得，例 55兩曲線相切 （有唯一解），則令，得（唯一駐點），當時，；當時，故例58已知，求與其漸近線及軸所圍區(qū)域的面積。解例 59例59設(shè)在上滿足條件：，與平行于軸的線段（為軸交點，為曲線交點）及軸所圍圖形面積，求解下凹,，任取點，則；由，