多自由系統(tǒng)的振動(dòng)題解

1、4-1 在題3-10中，設(shè)m1=m2=m，l1=l2=l，k1=k2=0，求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。題4-1圖 解：由題3-10的結(jié)果，代入，可求出剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M；由頻率方程，得 ，為求系統(tǒng)主振型，先求出adjB的第一列分別將頻率值代入，得系統(tǒng)的主振型矩陣為題4-2圖4-2 題4-2圖所示的均勻剛性桿質(zhì)量為m1，求系統(tǒng)的頻率方程。解：設(shè)桿的轉(zhuǎn)角和物塊位移x為廣義坐標(biāo)。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設(shè)，畫出受力圖，并施加物體力偶與力，由平衡條件得到， 設(shè)，畫出受力圖，并施加物體力偶與力，由平衡條件得到， 得作用力方程為由頻率方程，得題4-3圖4-3 題4-3圖所示的系統(tǒng)中，兩根長(zhǎng)度為l的

2、均勻剛性桿的質(zhì)量為m1及m2，求系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣，并求出當(dāng)m1=m2=m和k1=k2=k時(shí)系統(tǒng)的固有頻率。解：如圖取為廣義坐標(biāo)，分別畫受力圖。由動(dòng)量矩定理得到，整理得到，則剛度矩陣和柔度矩陣分別得，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為由頻率方程，并代入已知條件得，整理得到,求得，。用剛度影響系數(shù)法求解剛度矩陣。令，分別由兩桿的受力圖，列平衡方程為；同理，令得到題4-4圖4-4 題4-4圖所示，滑輪半徑為R，繞中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2mR2，不計(jì)軸承處摩擦，并忽略繞滑輪的繩子的彈性及質(zhì)量，求系統(tǒng)的固有頻率及相應(yīng)的主振型。解：如圖選x1，x2，x3為廣義坐標(biāo)。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設(shè)，畫出受力圖，并施加物體

3、，由平衡條件得到， ， 設(shè)，畫出受力圖，并施加物體，由平衡條件得到，= 0， ，設(shè)，畫出受力圖，并施加物體，由平衡條件得到，則剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別得，由頻率方程，得展開為，解出頻率為，由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，并分別代入頻率值，得系統(tǒng)的主振型矩陣為題4-5圖4-5 三個(gè)單擺用兩個(gè)彈簧聯(lián)結(jié)，如題4-5圖所示。令m1=m2=m3=m及k1=k2=k。試用微小的角、和為坐標(biāo)，以作用力方程方法求系統(tǒng)的固有頻率及主振型。解：如圖選為廣義坐標(biāo)。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設(shè)，畫出受力圖，并施加物體于，由平衡條件得到， ， 設(shè)，畫出受力圖，并施加物體，由平衡條件得到， ，設(shè)，畫出受力圖，并施加物體，

4、由平衡條件得到，則剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別得，特征矩陣：由頻率方程，得0，展開為，解出頻率為，。由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，并分別代入頻率值，得系統(tǒng)的主振型矩陣為4-6 題4-6圖所示的簡(jiǎn)支梁的抗彎剛度為EJ，本身質(zhì)量不計(jì)，以微小的平動(dòng)x1、x2和x3為坐標(biāo)，用位移方程方法求出系統(tǒng)的固有頻率及主振型。假設(shè)m1=m2=m3=m。題4-6圖解：如圖取廣義坐標(biāo)，用柔度影響系數(shù)法求柔度矩陣。首先，僅在質(zhì)量處施加豎直單位力F=1，其余各質(zhì)量塊處不受力，則產(chǎn)生的靜撓度是；處產(chǎn)生的靜撓度是；處產(chǎn)生的靜撓度是。則由材料力學(xué)知識(shí)，得到，同理可得到其它柔度矩陣的各列，最后得到柔度矩陣為得到系統(tǒng)的位移方程為由系統(tǒng)的

5、特征矩陣，得頻率方程，即其中，展開頻率方程為解出。由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，分別代入特征值，得到主振型為。題4-7圖4-7 如題4-7圖所示，用三個(gè)彈簧連接的四個(gè)質(zhì)量塊可以沿水平方向平動(dòng)，假設(shè)m1=m2=m3=m4=m和k1=k2=k3=k，試用作用力方程計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率及主振型。解：如圖選擇廣義坐標(biāo)。求質(zhì)量矩陣及利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為，由頻率方程，得因此可得到頻率方程解出,， ， 解出頻率為，。由特征矩陣,特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，將 代入，即得 歸一化 得將 代入，得 歸一化 得將代入，得 歸一化 得將代入，得 歸一化 得得系統(tǒng)的主振型矩陣為各階主振型如下圖所示：題4-8圖

6、4-8 題4-8圖表示一座帶有剛性梁和彈性立柱的三層樓建筑。假設(shè)m1=m2=m3=m，h1=h2=h3=h，EJ1=3EJ，EJ2=2EJ，EJ3=EJ。用微小的水平平動(dòng)x1、x2和x3為坐標(biāo)，用位移方程方法求出系統(tǒng)的固有頻率和正則振型矩陣。解：由材料力學(xué)知，當(dāng)懸臂梁自由端無(wú)轉(zhuǎn)角時(shí)，其梁的等效剛度為，由此可將題4-11圖等效為(a)圖，其中，廣義坐標(biāo)如圖（a）示。利用柔度影響系數(shù)法求柔度矩陣。即，對(duì)圖（a）中的施加單位力，其余不受力，此時(shí)第一個(gè)彈簧變形為，第二和第三個(gè)彈簧變形為零。由此可得個(gè)坐標(biāo)位移為， ，同理求出其余各列。最后得到柔度矩陣為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為得到系統(tǒng)的位移方程為由系統(tǒng)的特征矩陣

7、，得頻率方程，即其中，展開頻率方程為解出。解出固有頻率為由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，分別代入特征值，得到主振型為。主質(zhì)量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為柔度矩陣還可以這樣解出：時(shí)：，：，時(shí)：，題4-9圖4-9 在題4-9圖所示的系統(tǒng)中，各個(gè)質(zhì)量只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，假設(shè)m1=m2=m3=m，k1=k2=k3=k4=k5=k6=k，試求系統(tǒng)的固有頻率及振型矩陣。解：如圖選擇廣義坐標(biāo)。求質(zhì)量矩陣及利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為，由頻率方程，得解出頻率為，由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，將代入得系統(tǒng)的第一階主振型為滿足如下關(guān)系：，展開以上二式得，。取， ，可得到。即有滿足如下關(guān)系：，展

8、開以上二式得，聯(lián)立得。取，可得到。即得主振型矩陣為4-10 試計(jì)算題4-5的系統(tǒng)對(duì)初始條件和的響應(yīng)。解：在習(xí)題4-5中已求得系統(tǒng)的主振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為題4-5圖，主質(zhì)量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為初始條件為，= 0正則坐標(biāo)的響應(yīng)為，由，展開得到其中，。題4-7圖4-11 試計(jì)算題4-7的系統(tǒng)對(duì)初始條件和的響應(yīng)。解：在習(xí)題4-7中已求得系統(tǒng)的主振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為，主質(zhì)量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為正則坐標(biāo)初始條件為= 0，= 正則坐標(biāo)的響應(yīng)為，其中頻率為。最終得到響應(yīng),由，展開得到題4-8圖4-12 試確定題4-8中三層樓建筑框架由于作用于第三

9、層樓水平方向的靜載荷P忽然去除所引起的響應(yīng)。解：在習(xí)題4-8中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為，當(dāng)作用于第三層樓水平方向的靜載荷P忽然去除時(shí)，相當(dāng)于受到了初始條件的激勵(lì)，即，正則坐標(biāo)初始條件為= ，= 正則坐標(biāo)的響應(yīng)為由，展開得到其中。4-13假定一個(gè)水平向右作用的斜坡力施加與題4-5中中間擺的質(zhì)量上，試確定系統(tǒng)的響應(yīng)。解：在習(xí)題4-10中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為題4-5圖，由題意，施加的作用力為將作用力變換到正則坐標(biāo)：由方程（2-28）得到對(duì)于斜坡力的卷積積分，第i個(gè)正則坐標(biāo)的響應(yīng)：用正則坐標(biāo)表示的位移矢量由，展開得到其中，。4-14 試確定題4-7的系統(tǒng)對(duì)作用于質(zhì)量

10、m1和質(zhì)量m4上的階躍力F1=F4=F的響應(yīng)。題4-7圖解：在習(xí)題4-11中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為，由題意，施加的作用力為將作用力變換到正則坐標(biāo)：用正則坐標(biāo)表示的位移矢量由，展開得到其中。題4-8圖4-15 在題4-8的三層樓建筑中，假定地面的水平運(yùn)動(dòng)加速度，試求各層樓板相對(duì)于地面的穩(wěn)態(tài)水平強(qiáng)迫振動(dòng)。解：在習(xí)題4-12中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為，由題意，施加的作用力為將作用力變換到正則坐標(biāo)：用正則坐標(biāo)表示的位移矢量由，展開得到其中,（i =1,2,3）;,。題4-16圖4-16 質(zhì)量為m1的滑塊用兩個(gè)剛度分別為k1及k2的彈簧連接在基礎(chǔ)上，滑塊上有質(zhì)量為m1、

11、擺長(zhǎng)為l的單擺，假設(shè)m1=m2=m及k1=k2=k，基礎(chǔ)作水平方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其中，試求(1) 單擺的最大擺角；（2）系統(tǒng)的共振頻率。解：如圖所示選擇廣義坐標(biāo)。利用質(zhì)量影響系數(shù)法求質(zhì)量矩陣，設(shè)，畫慣性力及，由平衡條件得到，。設(shè)，畫慣性力及，由平衡條件得到，。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設(shè)，畫出受力圖，并施加物塊力，列平衡方程，得到，設(shè)，畫出受力圖，并施加物塊力，列平衡方程，得到，得作用力方程為令為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，代入上式得，展開為將代入可得到。穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)有，則有由頻率方程，得展開為，解出頻率為，即為共振頻率。題4-17圖4-17 題4-17圖示的系統(tǒng)中，各個(gè)質(zhì)量只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，假設(shè)在質(zhì)量4m上

12、作用有鉛垂力，試求各個(gè)質(zhì)量的強(qiáng)迫振動(dòng)振幅；系統(tǒng)的共振頻率。解：如圖選擇廣義坐標(biāo)。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為，由頻率方程，得解得，由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，并分別代入頻率值，得系統(tǒng)的主振型矩陣為主質(zhì)量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為正則坐標(biāo)表示的微分方程由題意，施加的作用力為將作用力變換到正則坐標(biāo)：用正則坐標(biāo)表示的位移矢量其中，（i = 1,2,3）。由，展開得到可用直接方法求解：列出運(yùn)動(dòng)方程設(shè)其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：所以原方程化為： 即：所以：令則：題4-18圖4-18 在題4-18圖的有阻尼系統(tǒng)中，左端的質(zhì)量塊受階躍力P的作用，初始條件為零，求系統(tǒng)響應(yīng)。解：（1）寫出無(wú)阻尼受迫振動(dòng)方程（2）求固有頻率和正則振型由頻率方程，得解得，。 由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，并分別代入頻率值，得系統(tǒng)的主振型矩陣為主質(zhì)量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為（3）正則坐標(biāo)表示的微分方程（4）引入振型阻尼比建立阻尼矩陣，求主阻