反饋線性化原理的應(yīng)用

1、在這一章中將介紹在局部坐標(biāo)變換和反饋線性化原理基礎(chǔ)上的一些推論及其在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。它們是零動(dòng)態(tài)；局部漸近鎮(zhèn)定；漸近輸出跟蹤；干擾解耦；高增益反饋；具有線性誤差動(dòng)態(tài)特性的觀測(cè)器問題等。在這一節(jié)中我們將介紹并討論一個(gè)重要的概念“零動(dòng)態(tài)”。在很多場(chǎng)合中它起著與線性系統(tǒng)中傳遞函數(shù)的“零點(diǎn)”極其類似的作用。在前述中我們已經(jīng)看到線性系統(tǒng)的相對(duì)階r能夠被解釋為其傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)目與零點(diǎn)數(shù)目之差。即若任何一個(gè)線性系統(tǒng)其相對(duì)階r嚴(yán)格小于其維數(shù)n，則其傳遞函數(shù)中必存在零點(diǎn)；反之若r=n，則傳遞函數(shù)中就沒有零點(diǎn)。所以前節(jié)中精確線性化所討論的系統(tǒng)，在某種意義上類似于線性系統(tǒng)中無零點(diǎn)的情況。在這一節(jié)中這種類比將

2、進(jìn)一步推廣?？紤]一個(gè)相對(duì)階嚴(yán)格小于的非線性系統(tǒng)則可通過坐標(biāo)變換，變成正則形：，其中，若能使, 則可將系統(tǒng)變成下列形式：或?qū)懗桑喝羰鞘沟狞c(diǎn)，則在一定有，雖然此時(shí)可以任意選擇，但是不失一般性，可以選，如果是系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，則在新坐標(biāo)下也應(yīng)是一個(gè)平衡點(diǎn)。因而有：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)這也就是說，在，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)下，若此時(shí)及以后又沒有輸入作用（即），則該系統(tǒng)就一直處于平衡狀態(tài)。1.輸出零化問題和零動(dòng)態(tài)現(xiàn)在提出一個(gè)這樣的問題：能否找到這樣成對(duì)的關(guān)系：即某個(gè)初始狀態(tài)，及對(duì)應(yīng)的，定義在的一個(gè)鄰域上，使得系統(tǒng)在的鄰域上輸出恒等于0。這個(gè)問題被叫作輸出零化問題。當(dāng)然我們感興趣的是所有這樣的對(duì)子，而不是前面提到過的簡單的

3、平凡對(duì)。對(duì)于正則形有：由于限制在所有t時(shí)刻，這就必須有：也就是說在所有時(shí)刻。所以，我們可知當(dāng)系統(tǒng)的輸出恒等于零時(shí)，其狀態(tài)也以這樣一種方式受到限制，這時(shí)也恒等于零。并且必須是下列方程的唯一解。其中，當(dāng)趨近于零時(shí)；應(yīng)服從下列微分方程，因?yàn)榈侥壳盀橹梗覀冎恢?。（）由于與輸出不直接有關(guān)，所以要使保持為零，只要可以任意來選擇，但是對(duì)于不同的，要解得，再取才能使保持為零。當(dāng)初始條件選擇為，及時(shí)，上述的解是唯一的。方程（）描寫了系統(tǒng)內(nèi)部的這樣一種動(dòng)態(tài)特性，即在限制輸出恒為零的條件下，對(duì)于所選擇的初始條件，并由此而解出的控制作用下，系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)態(tài)特性。這個(gè)動(dòng)態(tài)在我們今后的討論中頗為重要，被叫作系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)

4、。2.關(guān)于零動(dòng)態(tài)的幾個(gè)評(píng)注：（1）對(duì)于線性系統(tǒng)而言，零動(dòng)態(tài)是這樣一個(gè)特殊的線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)：這個(gè)系統(tǒng)的極點(diǎn)或特征值是原系統(tǒng)的零點(diǎn)；即以原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式為其特征多項(xiàng)式的線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)?，F(xiàn)在我們來說明這一點(diǎn)，假定線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：可知其相對(duì)階為r，若該系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子與分母是互質(zhì)的，則容易得出其一種最小實(shí)現(xiàn)為：其中：化為正則形后再?。核?，且是非奇異的。因?yàn)槿菀昨?yàn)證它是非奇異的。因而用該坐標(biāo)變換可以化成正則形，其形式為：根據(jù)零動(dòng)態(tài)的意義，所以有此時(shí)應(yīng)取因：由于故：由此零動(dòng)態(tài)的特征多項(xiàng)式為：此即為原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子，因而零動(dòng)態(tài)的極點(diǎn)就是原系統(tǒng)的零點(diǎn)。( 2 ) 非線性系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)在=

5、0處的線性近似與整個(gè)非線性系統(tǒng)在x=0處的線性近似系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)是一致的。也就是說取零動(dòng)態(tài)與取線性近似的操作運(yùn)算本質(zhì)上是可以交換的。為了校驗(yàn)這一點(diǎn)，我們必須做的僅僅是要說明正則非線性方程的線性近似與原系統(tǒng)線性近似的正則形是一致的。并且非線性系統(tǒng)的相對(duì)階與其線性近似系統(tǒng)的相對(duì)階也是一致的。前面業(yè)已介紹同理由遞推關(guān)系，容易計(jì)算其中函數(shù)使得由此可以推出對(duì)所有k<r-1也就是說原系統(tǒng)在 x=0 處的線性近似系統(tǒng)，它的相對(duì)階就等于r。則非線性系統(tǒng)的正則形的相應(yīng)項(xiàng)可以寫成下列展開式：則其零動(dòng)態(tài)的線性近似式為所有描寫了當(dāng)0 時(shí)，原系統(tǒng)在=0 處的零動(dòng)態(tài)的線性近似，它與整個(gè)系統(tǒng)在 x=0 處的線性近似的零

6、動(dòng)態(tài)是一致的。例3.2 我們來分析下列系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)則有：因此其相對(duì)階 r=2，為了化為正則形，取于是在新坐標(biāo)下系統(tǒng)的方程為從零動(dòng)態(tài)的意義可知，y(t)=0 意味著，所以系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)為：(3)非正則形時(shí)的零動(dòng)態(tài)：雖然上述零動(dòng)態(tài)的分析是在正則形的條件下進(jìn)行的，但是由于坐標(biāo)變換中的狀態(tài)變量要滿足常常有難處。于是得到的是非正則形，系統(tǒng)的描述成為：我們可以看出方程的前面幾個(gè)變量與正則形是相同，所以從零動(dòng)態(tài)的概念出發(fā)，應(yīng)有y(t)0，所以：。由此可得，所以，則零動(dòng)態(tài)為：。(4)幾何觀點(diǎn)：若系統(tǒng)在某點(diǎn)處的相對(duì)階為r，則有 0 k r-1Page: 62對(duì)于輸出零化問題，則有，0 k r-1。故系統(tǒng)一定在下面

7、的子集上運(yùn)動(dòng)( 局部地圍繞)。也就是說在新坐標(biāo)下，恰恰正是均為零的點(diǎn)集上運(yùn)動(dòng)，且附加的限制條件：圖表示了在新坐標(biāo)下零動(dòng)態(tài)的幾何表示圖因?yàn)槲⒎郑? i r-1，在處是線性無關(guān)的。所以處在附近的一個(gè) n-r 維的光滑流形，其狀態(tài)反饋為因?yàn)樗韵蛄繄?chǎng)是與子集相切的。也就可以由此推得閉環(huán)系統(tǒng)的任何運(yùn)動(dòng)軌跡從上的某點(diǎn)開始一直在中運(yùn)動(dòng)(對(duì)于小的時(shí)間t 內(nèi))。約束條件是的一個(gè)確定的向量場(chǎng)。它精確的描寫了系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài),而與所取的坐標(biāo)無關(guān)。(5) 零動(dòng)態(tài)在精確線性化下的不變性若系統(tǒng)的相對(duì)階為 r, 又 r<n。則可以通過狀態(tài)反饋構(gòu)成閉環(huán)并使之局部精確線性化。如前所述取。于是系統(tǒng)成為,其中, , 當(dāng)線性子系

8、統(tǒng)初始時(shí)是靜止的, 即 y(0)=0, 而且在此后又沒有輸入作用（指V=0）, 因而可保持 y(t)=0。也就是說。這時(shí)整個(gè)系統(tǒng)即閉環(huán)系統(tǒng)的內(nèi)部動(dòng)態(tài)就是,也即是開環(huán)系統(tǒng)( 原系統(tǒng) )的零動(dòng)態(tài)。( 6 )參考輸出的再產(chǎn)生問題。輸出零化問題實(shí)質(zhì)上是強(qiáng)迫輸出去精確的跟蹤零。我們很容易推廣到這樣的情況,即是否可強(qiáng)迫輸出去跟蹤一個(gè)任意的函數(shù)。這一個(gè)問題被稱為參考輸出的再產(chǎn)生問題。說得具體一點(diǎn)就是若有可能, 尋找成對(duì)的是初始狀態(tài)。是定義在t=0的鄰域上的輸出函數(shù), 使系統(tǒng)的輸出 y(t)在 t=0的所有鄰域 t上與給的精確地相一致。則與前面的分析相類似, 因?yàn)橐? 這就意味著: ,對(duì)所有的 t和所有的

9、i。因而至少,對(duì)所有的 t和。令,因而輸入 u(t)必須滿足,其中是下列微分方程的解 (3.3)為使, 首先應(yīng)保證在初始時(shí)刻,而是可以任選的。于是按照所選的,則 (3.4)所以為了使系統(tǒng)的輸出能精確地跟蹤給定的,首先在初始時(shí)刻, 必須“對(duì)準(zhǔn)”,即,然后由給定的和,解方程(3.3)得出,再由(3.4)式解出 u(t) 。這個(gè)輸入 u(t)是能保持的唯一解。從上述過程可以看出,(3.3)和(3.4)式好像構(gòu)造了一個(gè)以為輸入, 為狀態(tài), u(t)為輸出的“系統(tǒng)”,它被解釋為原系統(tǒng)的“逆實(shí)現(xiàn)”。4.2 局部漸近穩(wěn)定化(鎮(zhèn)定)1.問題的提出:考慮系統(tǒng),平衡點(diǎn),不失一般性可取 (移動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)) 。能否找到

10、一個(gè)控制 (狀態(tài)反饋),使系統(tǒng)在處是漸近穩(wěn)定的,稱為局部漸近穩(wěn)定問題。后面的討論將說明零動(dòng)態(tài)的概念對(duì)處理這個(gè)問題是很有用的。2. 線性系統(tǒng)能否穩(wěn)定化的回顧:對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng), 通過合適的分解總可以分解成能控和不能控兩個(gè)子系統(tǒng)。對(duì)于能控的子系統(tǒng)總可以通過狀態(tài)反饋, 使其特征值處在復(fù)平面上任意給定的位置,對(duì)于不能控的子系統(tǒng)則狀態(tài)反饋就不能使特其特征值配置在任意位置。所以一個(gè)線性系統(tǒng)能穩(wěn)定化的充要條件是: 當(dāng)不能控子系統(tǒng)的特征值均在復(fù)平面的左半平面,則整個(gè)系統(tǒng)是能穩(wěn)的。否則系統(tǒng)是不能穩(wěn)的。3.命題：假若非線性系統(tǒng)的一階線性近似系統(tǒng)是漸近能穩(wěn)的，則原非線性系統(tǒng)也是漸近能穩(wěn)的，反之亦然。因?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)

11、,其中。若取 u=Fx, 則。所以當(dāng)線性近似系統(tǒng)是能穩(wěn)的，則（ABF）的特征值均具有負(fù)實(shí)部。而在鄰域上，后兩項(xiàng)是 x的2階小量。此時(shí)該非線性閉環(huán)系統(tǒng)在處也是局部漸近穩(wěn)定的。反之若線性近似系統(tǒng)是不能穩(wěn)的，則不管取什么規(guī)律，其線性近似系統(tǒng)是總有右半平面的特征值，因而原非線性系統(tǒng)也是不可穩(wěn)的。由一階線性近似系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定來判別原非線性系統(tǒng)是否漸近穩(wěn)定，稱為“一階線性近似穩(wěn)定性判別原則”，它早由李亞普諾夫和龐加萊所證明。注意：以上命題沒有說明當(dāng)線性近似系統(tǒng)的不能控子系統(tǒng)中僅僅包括有虛軸上的特征值時(shí)，非線性系統(tǒng)是否能穩(wěn)的情況，這種情況稱為局部能穩(wěn)的臨界問題。4.命題4.2( 臨界問題 )，若系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)

12、在處是漸近穩(wěn)定的，那么通過狀態(tài)反饋可以使原系統(tǒng)在處漸近穩(wěn)定。證明：(1):若系統(tǒng)的相對(duì)階為 r,則可將系統(tǒng)化成正則形。其中。(2):取可將該子系統(tǒng)化成線性能控的。則只要取得適當(dāng)，總能使表示的線性子系統(tǒng)的特征值處在左半復(fù)平面內(nèi)，使該子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。(3):而另一方面零動(dòng)態(tài)所表示的子系統(tǒng)在處是漸近穩(wěn)定的。因而綜上所述整個(gè)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，也即原非線性系統(tǒng)在處是能漸近穩(wěn)定化的。又若在上述情況中取則系統(tǒng)為。由于有參考輸入 v的作用，則當(dāng)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，v 又是有限的，則運(yùn)動(dòng)的軌跡也是有界的。5.臨界問題舉例：考慮系統(tǒng)( 若)當(dāng)時(shí)其相對(duì)階為 2。坐標(biāo)變換：取檢查:(1)雅可比陣其行列式非奇異。(2

13、)故不滿足正則形，但可進(jìn)行變換。反變換：故因取。當(dāng)考慮平衡點(diǎn)時(shí)，即有：原系統(tǒng):原系統(tǒng)中含有不能控的運(yùn)動(dòng)模態(tài)且其特征值,即臨界狀態(tài)。其零動(dòng)態(tài)：可由李亞普諾夫定理證明零動(dòng)態(tài)是漸近穩(wěn)定的，但是其一階近似是臨界的。這就適合于命題的情況，因而系統(tǒng)是可以漸近穩(wěn)定的,只要取4.3 漸近輸出跟蹤1. 何謂漸近輸出跟蹤:前面業(yè)已提出欲使系統(tǒng)的輸出能精確地復(fù)現(xiàn)給定的參考輸出必須滿足這樣兩個(gè)條件:(1):初始時(shí)刻要對(duì)準(zhǔn),即(2):其中是在初始條件下的解。這實(shí)際上是種開環(huán)處理的方法，很難達(dá)到目的。(1)初始時(shí)刻很難對(duì)準(zhǔn)。(2)何況可能存在干擾，使y(t)偏離期望的值。所以比較現(xiàn)實(shí)的是不論初始狀態(tài)是否有偏差，也不論是否

14、受到擾動(dòng)，要研究實(shí)際的輸出能否漸近收斂到所給定的參考函數(shù)，這個(gè)課題就叫做漸近輸出跟蹤。2.如何實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)輸出跟蹤：自動(dòng)控制原理中的一個(gè)最重要的概念：反饋！我們來研究一下如何利用反饋來實(shí)現(xiàn)。從正則形出發(fā)：我們來定義一個(gè)新的變量“誤差”：。因,用選擇控制u的目的：(1)一方面使系統(tǒng)精確線性化。(2)構(gòu)成負(fù)反饋，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)向著消除誤差的方向運(yùn)動(dòng)。故選擇：我們將該控制規(guī)律代入式，得：即：。這是誤差e的r階線性常微分方程。只要系數(shù)取得好，讓其特征方程的根均在左復(fù)平面內(nèi)，不論初始誤差多大，最后均能使 e 及其各階導(dǎo)數(shù)收斂到零，而且收斂的快慢在理論上也可以由系數(shù)的配置來決定。由于故因此應(yīng)滿足下列微分方程：由于是

15、時(shí)間的確定函數(shù)，因而由上述 u 所驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)本質(zhì)上是時(shí)變非線性系統(tǒng)。3.推廣：漸近模型匹配(1)何謂漸進(jìn)模型匹配：若期望的輸出不以某時(shí)間確定函數(shù)的形式給出，而以某參考模型的輸出的形式給出，特別是參考模型是一個(gè)簡單的線性系統(tǒng)，例如：則提出問題：找一個(gè)反饋控制規(guī)律，不論系統(tǒng)和模型的初始狀態(tài)如何，使系統(tǒng)的輸出y(t)漸近地收斂到在w(t)作用下參考模型產(chǎn)生的相應(yīng)輸出。(2)如何實(shí)現(xiàn)：我們可以考慮采用前述相似的控制u。因?yàn)橐虼丝梢钥闯鲈诳刂?u(t)中包含還有 w(t)的各階導(dǎo)數(shù)。如果用一個(gè)專門的裝置來得到 u(t)，那么對(duì) w(t)的微分將不可避免的提升附加噪聲的影響，這在實(shí)際中是很難處理的。然而若

16、模型的相對(duì)階等于或大于系統(tǒng)的相對(duì)階 r,則由于:則 u(t)得到簡化,不包含 w(t)的導(dǎo)數(shù)。此時(shí)當(dāng)選得恰當(dāng)時(shí)，誤差及其各階導(dǎo)數(shù)將收斂到零，即意味著輸出漸進(jìn)的接近模型的輸出。因是線性系統(tǒng)，故：以圖表示：wwy4.4 干擾解耦1. 何謂干擾解耦：考慮系統(tǒng)為干擾不希望的輸入。我們希望通過反饋控制，使系統(tǒng)的輸出y與w無關(guān)，就是說y與w解耦。研究這個(gè)問題就叫做干擾解耦問題。2. 命題6.1：若系統(tǒng)在處的相對(duì)階為r，則當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)所有和所有附近的x成立，則干擾解耦問題有解，且解為：證明：（1） 充分性：因相對(duì)階為r，為使其成為正則形，取坐標(biāo)變換。則：（其中因相對(duì)階為r，。由于條件成立。）（同理。）直到（

17、其中）當(dāng)取時(shí)，。故方程變成：從此式可見w影響不了y。(2)必要性：若系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)了干擾解耦，無論v是否為零，對(duì)于干擾解耦沒有影響。所以：是干擾解耦的。（其中因相對(duì)階為r，。）因?yàn)榕cw無關(guān)，只有使。（其中。）因?yàn)榕cw無關(guān)，只有使。如此一直求下去，應(yīng)有。此時(shí)（其中）。而。所以條件：，x在領(lǐng)域中是必要的。3. 幾點(diǎn)評(píng)注：（1） 前面已經(jīng)提過，可以選擇：通過選擇使系統(tǒng)滿足一些附加的特性具有一定收斂速度的漸進(jìn)穩(wěn)定性。（2） 條件的幾何選擇：因?yàn)椋??；騽t令協(xié)分布，那么條件就是的鄰域。（3）當(dāng)干擾w可“量測(cè)”時(shí)，則可以通過測(cè)量得到的w來構(gòu)造一個(gè)前饋補(bǔ)償，使系統(tǒng)達(dá)到干擾解耦。即取。與命題的情況相比較

18、其干擾解耦的條件為：，即。因結(jié)合系統(tǒng)的相對(duì)階為r，故得出下列條件：（i） 當(dāng)時(shí)，。（ii） 當(dāng)時(shí)，。即：解得：綜上所述：此條件弱于命題的條件。4.5 高增益反饋1. 問題的提出：前面我們已經(jīng)討論了局部鎮(zhèn)定問題。說的是若零動(dòng)態(tài)的一階近似是臨界的，但是零動(dòng)態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則可以通過狀態(tài)反饋使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。這一節(jié)我們將討論如果零動(dòng)態(tài)的一階線性近似是漸近穩(wěn)定的，則用輸出反饋就可以局部鎮(zhèn)定系統(tǒng)。2. 命題7.1：考慮系統(tǒng)：且設(shè)。并假設(shè)系統(tǒng)的相對(duì)階r=1，而且其零動(dòng)態(tài)在x=0處的一階線性近似是漸近穩(wěn)定的，即下列矩陣的特征值都具有負(fù)實(shí)部。則考慮用輸出反饋來構(gòu)成閉環(huán)控制。此時(shí)其中為保證系統(tǒng)為負(fù)反饋，取若，??；

19、若，取。那么就存在一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)于所有，系統(tǒng)在x=0處是漸近穩(wěn)定的。證明：（嚴(yán)格的證明可參閱奇異攝動(dòng)理論）我們來證明的情況（的情況完全類似）。令，當(dāng)時(shí)，。故則。令，則。記為。故：對(duì)于平衡點(diǎn)：，則。當(dāng)時(shí)，就有。由于，所以表示的是慢變狀態(tài)，。取其一階線性近似，可得雅可比陣：因在平衡點(diǎn)處，而，故：這就說明是的特征向量，特征值是，因而是漸近穩(wěn)定的。由于已知系統(tǒng)的相對(duì)階r=1，所以其正則形為：故則有，且。所以有：因此從前面的討論可知當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)時(shí)漸近穩(wěn)定的。由于在平衡點(diǎn)處。所以正是系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)。由于已假設(shè)的零動(dòng)態(tài)有一階線性近似是漸近穩(wěn)定的，所以總可以存在一個(gè)足夠小的，只要，系統(tǒng)在x=0處是一個(gè)孤立的平

20、衡點(diǎn)，并且是漸近穩(wěn)定的。附注：用線性系統(tǒng)為例理解： G（s） Ky對(duì)線性系統(tǒng)來說，如果相對(duì)階為1，則意味著的分子與分母的階數(shù)相差為1。說明開環(huán)有n個(gè)極點(diǎn)和n-1個(gè)零點(diǎn)，零動(dòng)態(tài)是漸近穩(wěn)定的，說明所有零點(diǎn)均在左半平面，則從根軌跡的觀點(diǎn)來看，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的所有極點(diǎn)或者趨向零點(diǎn)，或者趨向，所以可使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。因此對(duì)于相對(duì)階為1的線性系統(tǒng)來說，當(dāng)所有的零點(diǎn)處在左半復(fù)平面時(shí)，對(duì)于充分大的開環(huán)增益，則所有根軌跡的分支也都處在左半復(fù)平面中。3. 推廣：相對(duì)階時(shí)的情況。對(duì)于這種情況，我們可以假設(shè)一個(gè)“虛擬”的輸出函數(shù)w，在這個(gè)虛擬的輸出下，使系統(tǒng)的相對(duì)階等于1，然后再利用上述結(jié)果來處理?，F(xiàn)在令：其中是要選取的實(shí)

21、數(shù)。則系統(tǒng)成為：若原系統(tǒng)在處的相對(duì)階為r，則現(xiàn)在系統(tǒng)在處的相對(duì)階為1。因?yàn)椋核跃瓦m用命題?，F(xiàn)在就要檢查以下系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)的漸近特性。以前已經(jīng)指出，零動(dòng)態(tài)是強(qiáng)使系統(tǒng)的輸出為零時(shí)系統(tǒng)內(nèi)部存在的一種動(dòng)態(tài)，這個(gè)動(dòng)態(tài)特性的本質(zhì)與取什么樣的坐標(biāo)表示無關(guān)，現(xiàn)在虛擬的輸出為w，所以當(dāng)w=0時(shí)意味著：如果我們?nèi)圆捎迷瓉淼淖鴺?biāo)Z，并且選擇，使，就有：即：。并且：可解的相應(yīng)的,則此時(shí)的零動(dòng)態(tài)用z及表示為：這些方程具有一種“塊三角形”的形式，（f陣形如）。因此當(dāng)原系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)的一階線性近似是漸近穩(wěn)定的，且下列多項(xiàng)式的所有根都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，則該系統(tǒng)的一階近似也是漸近穩(wěn)定的。于是由命題可得出，當(dāng)?shù)母季哂胸?fù)實(shí)部，而且原系

22、統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)的一階線性近似是漸近穩(wěn)定的，再取k的符號(hào)與相同，即與符號(hào)相同，則反饋控制：（）能使系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x=0處漸近穩(wěn)定。從式(7.3)可見，反饋w實(shí)際上是一種狀態(tài)反饋（部分狀態(tài)），因?yàn)榕c函數(shù)y對(duì)時(shí)間取i階導(dǎo)數(shù)是一致的。所以當(dāng)w用y來表示時(shí)：因而：。所以所假設(shè)的虛擬輸出w可以看成是原系統(tǒng)的輸出y通過一個(gè)傳遞函數(shù)為的線性濾波器來得到的。然而由于是包含高階微分的濾波器，因而是物理不能實(shí)現(xiàn)的。但是在不危及相應(yīng)閉環(huán)穩(wěn)定性的條件下可以用一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的近似濾波器來代替。命題（實(shí)際應(yīng)有的考慮）如果系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是一階近似漸近穩(wěn)定的，那么當(dāng)T是一個(gè)充分小的正數(shù)時(shí)，系統(tǒng)：在處也是一階近似穩(wěn)定的。其后一個(gè)方程可

23、以用方框圖表示。K(x)k或證明：該命題仍可以用奇異攝動(dòng)理論來加以證明若設(shè)一個(gè)新的變量z，并令：則：故：若令，當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)慢變過程。將代入上式，得：。故當(dāng)足夠小時(shí)，第2項(xiàng)0，該方程表示一個(gè)僅僅有一個(gè)為-1的非平凡特征值的子系統(tǒng)。除了這個(gè)子系統(tǒng)之外系統(tǒng)降階為：綜上所述，由假設(shè)的一階近似是漸近穩(wěn)定的，對(duì)于足夠小的T，附加子系統(tǒng)的特征值又趨于-1，其一階線性近似也是漸近穩(wěn)定的，因此該系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的一階近似的確是漸近穩(wěn)定的。這說明這樣一個(gè)事實(shí)，即在閉環(huán)控制中引入“小時(shí)間常數(shù)”的非周期環(huán)節(jié)不會(huì)危害它的漸近穩(wěn)定性（至少對(duì)局部來說）。將該性質(zhì)應(yīng)用r-1次，我們立即可以得出下列結(jié)論。5.命題假設(shè)系統(tǒng)在處的

24、相對(duì)階為r，并且其零動(dòng)態(tài)的一階近似是漸近穩(wěn)定的。再假設(shè)下列多項(xiàng)式的根全都具有負(fù)實(shí)部，則具有下列參考函數(shù)的線性輸出反饋控制能穩(wěn)定系統(tǒng)。只要K取適當(dāng)大，且其符號(hào)與相同；而T是充分小的正數(shù)。4.6 關(guān)于精確化問題的補(bǔ)充1.問題的提出：回顧一下精確線性化問題的主要命題：說的是系統(tǒng)其狀態(tài)空間精確線性化問題在處能解的充分必要的條件是：( i)矩陣的秩是n。( ii)分布在處是對(duì)合的。也就是說上述條件滿足時(shí)一定存在一個(gè)實(shí)值函數(shù),當(dāng)取y 時(shí)，使系統(tǒng)的相對(duì)階為n?，F(xiàn)在的問題是，若上述條件不成立，則通過坐標(biāo)變換和狀態(tài)反饋是不能使系統(tǒng)變成線性能控的系統(tǒng)的。但是否總能使系統(tǒng)分解為兩個(gè)子系統(tǒng)，其中有一個(gè)子系統(tǒng)是線性的。

25、我們希望至少能找到一種坐標(biāo)變換及狀態(tài)反饋使線性子系統(tǒng)的維數(shù)最大。換句話說找到一個(gè)適當(dāng)?shù)妮敵鲇成?，此時(shí)系統(tǒng)在該點(diǎn)的相對(duì)階最高。這個(gè)問題就是我們?cè)诒竟?jié)中所要討論的。2.預(yù)備知識(shí)分布的對(duì)合閉包( 記為 )分布的對(duì)合性：考慮向量場(chǎng)：。分布。充要條件：若李括號(hào)運(yùn)算,對(duì)所有均成立，則是對(duì)合分布。判別方法：若相等則是對(duì)合的。否則不是對(duì)合的。從對(duì)合的性質(zhì)可知：若分布是對(duì)合的，也是對(duì)合的。則不一定是對(duì)合的。但是對(duì)合的。因此如果不是對(duì)合的，但包含，而是對(duì)合的。又包含，也是對(duì)合的。則也包含，且是對(duì)合的。則由所有包含的對(duì)合分布族的交，可以得到一個(gè)包含的最小的對(duì)合分布，稱為的對(duì)合閉包。記為。對(duì)合閉包的求法，大致可以這樣

26、來做。若分布，則若不是閉合的，就是說不在中，因而看看是否是對(duì)合的。若是對(duì)合的，則就是的對(duì)合閉包。否則繼續(xù)做下去，便能找出來。2.定理：考慮分布，并假設(shè)是實(shí)值函數(shù)，且及，那么在的鄰域上，。證明：考慮分布，則這個(gè)分布在的鄰域上是( n - 1 )維的，并由Frobenius定理可知是對(duì)合的。再由構(gòu)造可知。由定義可知是包含的最小對(duì)合分布。所以：即是：。3.定理8.2( 最大相對(duì)階定理 )考慮一對(duì)向量場(chǎng)f( x )，g( x )。假設(shè)對(duì)某個(gè)整數(shù)，在某處有： ( 1 )。而 ( 2 )則就存在一個(gè)函數(shù)使系統(tǒng)在處的相對(duì)階為。而對(duì)于任何其他的輸出映射，系統(tǒng)的相對(duì)階低于或等于。證明：( 1 )因?yàn)槭莐維( k

27、 < n )的，且是對(duì)合的，由Frobenius定理，就一定存在n - k個(gè)函數(shù)，它們的微分張成上述分布的零化子( 局部地 )。如果我們令，則對(duì)所有附近的x有而且可以證明。這可以用反證法，因?yàn)榧偃羯鲜鼋Y(jié)論是錯(cuò)的，那么非零向量將屬于分布的零化子。即，則由定理,但這是矛盾的，不可能的。因?yàn)橐延杉僭O(shè)條件是n維的，所以它的零化子是0維的。所以一維非零的不可能屬于它的零化子。因而由相對(duì)階的定義可知系統(tǒng)的相對(duì)階為。( 2 )再來考慮任何其他的為其輸出函數(shù)，并假設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的相對(duì)階為。所以：。由定理8.1 。因?yàn)椋?。?duì)于假設(shè)( 1 )及( 2 )，便可推知。( )4.7 具有線性誤差動(dòng)態(tài)的觀測(cè)器1.問

28、題的提出：在線性系統(tǒng)理論中，用狀態(tài)反饋進(jìn)行系統(tǒng)極點(diǎn)配置與觀測(cè)器用前向增益陣使其具有給定的特征值的觀測(cè)器設(shè)計(jì)是一個(gè)對(duì)偶問題。那么在非線性系統(tǒng)中從某種意義上講，本節(jié)所要討論的問題也就是第2節(jié)中狀態(tài)空間精確線性化問題的對(duì)偶問題。眾所周知，觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)與觀測(cè)誤差的動(dòng)態(tài)是相同的。觀測(cè)誤差定義為未知的狀態(tài)與估計(jì)狀態(tài)之差。由此看來，如果我們希望將前面已經(jīng)研究過的一定結(jié)果來作對(duì)偶處理，就引出誤差動(dòng)態(tài)的非線性觀測(cè)器的綜合問題，有可能在作了適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換之后這個(gè)動(dòng)態(tài)變成線性的且在頻譜上（或其特征值）可以進(jìn)行配置的。為簡單起見，在考慮觀測(cè)器綜合時(shí)，先考慮無外加輸入及標(biāo)量輸出的情況。系統(tǒng)方程：并假定存在一種坐標(biāo)變換，在此變換下，若上述方程變成： ( A ,C )是能觀測(cè)對(duì)，是n維時(shí)變函數(shù)的向量，則可構(gòu)成這樣的觀測(cè)器：則誤差動(dòng)態(tài)：這是線性的。又因( A ,C )是能觀對(duì)，故可通過n維實(shí)數(shù)向量G，使其特征值配置在希望的位置。關(guān)鍵的問題是要找這樣的坐標(biāo)變換，及與此有關(guān)的映射，這個(gè)問題就稱為觀測(cè)器線性化問題，其正式敘述如下：已知一個(gè)無外加輸入的系統(tǒng)( 9.1 )，及初始狀態(tài)，是否能找到一個(gè)的鄰域，以及定義在上的坐標(biāo)變換，和輸出映射k：，使得對(duì)所有，有：其中矩陣A和行向量C是能觀對(duì)，即滿足：2.定理：觀測(cè)器線性化問題能解的必要條件是：。證