南昌大學概率論練習冊答案

1、一、1BCD 2. ABC 3. CD 4. BD 5. D二.1. 2. 41/90 0.6 4. 25/42三、已知：P(A)=0.45，P(B)=0.35，P(C)=0.3，P(AB)=0.1，P(AC)=0.08，P(BC)=0.05，P(ABC(1)(2)(3)得(4)(5)P(ABC(6)四、令x 、y為所取兩數(shù)，則W=(x,y)|0<x<1,0<y<1；令事件A：“兩數(shù)之積不大于2/9，之和不大于1”，則A=(x,y)| xy2/9, x+y1, 0<x<1, 0<y<1SW=SOAED=1×1=1； 得練習二一、1ABC

2、D 2. ABC 3. ABC 4. C二、W：“全廠的產(chǎn)品”；A、B、C分別為：“甲、乙、丙各車間的產(chǎn)品”，S：“次品”，則(1)由全概率公式，得 P(S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)+P(C)P(S|C)=25%×5%+35%×4%+40%×2%=3.45%(2)由貝葉斯公式，得三、W=(女,女,女),(女,女,男),(女,男,女),(男,女,女),(女,男,男),(男,女,男),(男,男,女)有：P至少有一男=6/7或四、有：五、又P(AB)1，則練習三一、1BD 2. ABCD 3. AD 4. B二、A1、A2、A3分別“甲、乙、丙擊中飛

3、機”，則A1、A2、A3相互獨立Bi：“有i個人擊中飛機”（i=1,2,3），有：；B：“飛機被擊落”由已知：P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3B3=A1A2A3ÞP(B3又P(B|B1)=0.2，P(B|B2)=0.6，P(B|B3)=1由全概率公式，得：三、Ai：“C發(fā)生時第i只開關閉合”，由已知有：P(Ai(1)P(A1A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2-(2)設需k只開關滿足所需可靠性，在情況C發(fā)生時，k只開關中至少有一只閉合的概率為：四、(1)(2)A：“5個樣品中至少有2個一級品”，有：練習四一、1. ABCD 2. D 3. A 4. AB二、(

4、1)任擲兩骰子所得點數(shù)和i有2®12共11種可能令wi表示和數(shù)為i的樣本點(i=2,3,12),則基本事件集W=w2, w3, w12 (2)由已知,得："wiÎW，有x(wi)=2i (i=2,3,12）,則x的可能值為2i (i=2,3,12）(3)x<4=f； x5.5=x=4=w2； 6x9=x=6x=8=w3w4；x>20=x=22x=24=w11w12(4)Px<4=0；Px5.5=Pw2=1/36；P6x9=Pw3+Pw4=2/36+3/36=5/36；Px>20= Pw11+Pw12=2/36+1/36=3/36=1/12三

5、、(1) x的所有可能值為0，1，2Px=0=； Px=1=； Px=2=x0 1 2P22/35 12/35 1/35故x的分布律為： (2)F(x)=Pxx當x<0時，xx為不可能事件，得F(x)=Pxx=0當0x<1時，xx=x=0，得F(x)=Pxx=Px=0=22/35當1x<2時，xx=x=0x=1，又x=0與x=1是兩互斥事件，得F(x)=Pxx=Px=0+Px=1=22/35+12/35=34/35當x2時，xx為必然事件，得F(x)=Pxx=1 綜合即得四、五、(1)(2)(3) 當x<1時，當1x1時，當x>1時, 綜合即得六、(1)P2<

6、;x5=()-()=(1)-(-0.5)=(1)-1-P-4<x<10=()-()=(3.5) -(-3.5)= 2(3.5) -P|x|>2=1-P-2x2=1-()+()=1-(-0.5)+(-Px>3=1-Px3=1-()=1-(0)=1-(2) Px>C=1-PxC=PxCÞPxÞ(ÞÞ練習五一、1AB 2. BC 3. AC 4. BD 5. B二、(1)y=ex在(0,1)嚴格單調(diào)增且可導，則x=lny在(1,e)上有：(lny)¢=Þ(2)y= -2lnx在(0,1)嚴格單調(diào)減且可導，則在(

7、0,+¥)上有：Þ三、y=cosx在-p/2,0上嚴格單調(diào)增且可導，則x1=h1(y)= -arccosy在0,1上有：x1¢=y=cosx在0,p/2上嚴格單調(diào)減且可導，則x2=h2(y)=arccosy在0,1上有：x2¢=Y X0 1 2 3130 3/8 3/8 01/8 0 0 1/8四、 五、(1)(2)(3)P(0<X1,0<Y2)=F(1,2)-F(1,0)-F(0,2)+F(0,0)= (1-e-3)(1-e-8)六、(1)X與Y獨立，則(2)練習六1(1)(2) (3)，同理YX-2 -1 0 1/2-1/2131/8 1

8、/6 1/24 1/61/16 1/12 1/48 1/121/16 1/12 1/48 1/12有f(x,y)=fX(x)fY(y)，故X與Y獨立2X與Y獨立，則PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj有：3(1)(2)(3)則有；同理得：，X+Y-3 -2 -3/2 -1 -1/2 1/2 1 2 3P1/12 1/12 2/12 3/12 1/12 0 2/12 0 2/1245設第i周需要量為Xi（i=1,2,3） (i=1,2,3)(1)令X=X1+X2，則(2)令Y=X1+X2+X3=X+X3，則6(1)z0ÞFZ(z)=0；(2)故練習七一、1. D 2. B 3.

9、AD 4. D 5. BC二、令Z表示整數(shù)，則PZ=i=1/10=0.1 (i=1,2,.,10)除的盡1的整數(shù)有且只有整數(shù)1這一個；除的盡2，3，5，7的有二個；除的盡4，9的有三個；除的盡6，8，10的有四個，則PX=1=PZ； PX=2=PZ=2+PZ=3+PZ=5+PZPX=3=PZ=4+PZ； PX=4=PZ=6+PZ=8+PZX1 2 3 4P得X的分布律為：E(X三、E(X)=E(X2)=D(X)=E(X2)-E2(X)=四、E(X)=D(X)=五、令搜索時間為T，則T的分布函數(shù)為，得：，則有E(T)=六、E(X-x)2=E(X2)-2xE(X)+x2=E(X2)+x-E(X)2

10、-E2(X)=x-E(X)2+D(X)可見，當x=E(X)時，E(X-x)2取最小值D(X)則當時，有：D(X)=EX-E(X)2練習八一、1. AD 2. AD 3. B 4. D 5. ABD二、(1)(2)同理可得：(3)三、(1)設Xi為第i個加數(shù)取整后的誤差，則XiU-0.5,0.5 (i=1,.,1500)總誤差，且由獨立同分布的中心極限定理：P|X|>15=1-P|X|15(2)在(1)的假設下，設，有E(X)=0，則求最小自然數(shù)n，使P|X|100.90，即ÞnÞn=440為所求四、E(X)=E(Y)=m, D(X)=D(Y)=s2E(Z1)=aE(X

11、)+bE(Y)=m(a+b), E(Z2)=aE(X)-bE(Y)=m(a-b)E(Z1Z2)=E(a2X2-b2Y2)=a2E(X2)-b2E(Y2)=a2D(X)+E2(X)-b2D(Y)+E2(Y)=a2(s2+m2)-b2(s2+m2) =(s2+m2)(a2-b2)D(Z1)=a2D(X)+b2D(Y)=s2(a2+b2), D(Z2)=a2D(X)+b2D(Y)=s2(a2+b2)階段自測一一、1. D 2. A 3. B 4. A 5. B二、1. 0 3/4 5/8 1/8 2. 1/2 1/p(1+x2) 3. 20 16 4. 41 41 5. 1三、X的可能值為：2，3，

12、4，5PX=2=PX=3=PX=4=PX=5=X2 3 4 5P得X的分布律：E(XE(X2)=22×0.1+32×0.4+42×0.3+52D(X)=E(X2)-E2(X四、令Ai：第i臺車床加工的零件；B：廢品，則A1與A2不相容由已知：P(B|A1)=0.03, P(B|A2)=0.02, P(A1)=2/3, P(A2)=1/3由貝葉斯公式：五、(1)，則得：A=1/2, B=1/p(2)(3)六、同理：f(x,y)¹fX(x)fY(y)，則X和Y不獨立，同理：E(Y)=0, 則X和Y不相關七、設Ai：第i次誤差的絕對值不超過30米 , xN(2

13、0,402)所求為：八、練習九一、1. C 2. A 3. C 4. C 5. A二、(1)(2)p(1-p)在p=1/2處取得最大值1/4,要使，只需1/4n0.01，即n25三、X1,X2,X3,X4N(m,s2)，且相互獨立ÞX1-X2N(0,2s2), X3-X4N(0,2s2)，且X1-X2與X3-X4相互獨立則Þa=F四、由題意知： (i=1,2,3)又 (i=1,2,3)是相互獨立的，得Yc2(3)，即自由度為3五、X1,X2,.,X16相互獨立，且-六、X1,X2,.,Xn相互獨立，且E(Xi)=D(Xi)=lE(Xi2)=D(Xi)+E2(Xi)=l+l2

14、, 練習十一、1. A 2. D 3. A 4. B 5. B二、矩估計量:令ÞÞ極大似然估計量:設x1, x2,., xn是相應于樣本X1, X2,., Xn的一個樣本值似然函數(shù)L(x1, x2,., xn, m, q)=(xim, i=1,2,., n)ÞlnL= -nlnq-,令Þm和q無解xim,取,有 L=令g(q)=令Þ,得三、似然函數(shù)L(x1, x2,., xn, s)=ÞlnL= -nln(2s)-= -nln(2s)-令ÞÞ由大數(shù)定律,有: E|Xi|=E|X|=sÞ=s, 即Þ

15、;為s的一致估計量四、E(X)=,D(X)=Þ,似然函數(shù)L(x1, x2,., xn, b)=(0x1,., xnb)ÞlnL= -nlnb令ÞÞb無解L= (xn*=max(x1,., xn)取時,有L(x1, x2,., xn, b)L(x1, x2,., xn,)max(x1,., xn),max(x1,., xn)2=1.1, 五、(1)證明連續(xù)型的情形: 設f(x)為X的概率密度,則P|X-m|e=E(X-m)2(2)"e>0, P|tn-q|<e=1-P|tn-q|e1-=, 即tn是q的一致估計量練習十一一、n=16,

16、 1-aÞa =0.05, s2未知=tm的置信度為0.95的置信區(qū)間為(2.69, 2.72)二、n=9, 1-aÞa=17.535, =55.20, s2的置信度為0.95的置信區(qū)間為(55.20, 444.04)三、m1, m2分別為一號方案和二號方案的平均產(chǎn)量n1= n2=8, a =0.05, =81.63, =145.70, =75.88, =t(14)=2.14, = -m1-m2的置信度為0.95的置信區(qū)間為(-6.16, 17.66)四、n1= n2=10, a =0.05, =F的置信度為0.95的置信區(qū)間為(, )五、t(n1+n2-2)P< t

17、a(n1+n2-2)=1-aPta(n1+n2-2)<m1-m2=1-am1-m2的置信度為1-a的置信下限為ta(n1+n2-2)=0.14125, s12=0.0000083, =0.1392, s22=0.0000052,ta(n1+n2-t(7) = -»-m1-m2的置信度為的置信下限為-六、t(n-1), 且P=1-aP=1-am的置信度為1-a的置信區(qū)間為(,)此時Þ階段自測二一、1. 1 2. 3. F(1, n-1) 4. 5.二、1. AD 2. AC 3. CD 4.三、(1)c2(n-1)P1.5=P(n-1)ÞP(n-1)Þ(n-1)查c2分布表得滿足上式的最小的n為27(2)N(0,1), , 令Y=E|Y|=Þn255四、(1)矩估計量: m1=E(X)=1+q, A1=令m1=A1Þq+1=ÞÞ極大似然估計量: L(x1,., xn,q)= (xiq)ÞlnL= -, 令Þq無解xiq時L非零 當q=時, L有最大值Þ(2)-1=E(X)-1=q+1-1=qÞ是q的無偏估計量的分布函數(shù)G(y)=Py=1-P>y=1-PX1>y, X2>y,., Xn>y=1-1-F(y)n