專轉(zhuǎn)本數(shù)學(xué)模擬試題與解析三

1、高等數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.考生務(wù)必將密封線內(nèi)的各項(xiàng)填寫清楚。2.考生必須要鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上，寫在草稿紙上無效。3.本試卷五大題24小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、選擇題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1、設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，則為的( )A、極大值點(diǎn)B、極小值點(diǎn)C、極小值D、拐點(diǎn)橫坐標(biāo)2、設(shè)，則等于( )A、1B、1 C、0D、3、連續(xù)曲線和直線，與軸所圍成的圖形的面積是( )A、B、C、D、4、與三坐標(biāo)夾角均相等的一個(gè)單位向量為( )A、（1，1，1）B、（，）C、（，）D、

2、（，）5、設(shè)區(qū)域，則( )A、 B、C、D、6、下列級(jí)數(shù)收斂的是( )A、B、C、D、二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）7、極限8、函數(shù)若在處連續(xù)，則9、積分10、設(shè)向量，則11、微分方程的通解是12、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槿⒔獯痤}（本大題共8小題，每小題8分，滿分64分）13、求極限。14、已知由方程確定，求。15、求不定積分。16、設(shè)，求。17、設(shè)區(qū)域?yàn)閳A周與軸在第一象限所圍部分，求。18、已知函數(shù)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。 19、將函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間。20、求經(jīng)過點(diǎn)，且垂直于直線，又與平面平行的直線方程。四、綜合題（每小題10分，共20分）21、設(shè)曲線,

3、（1）求該曲線過原點(diǎn)的切線；（2）求由上述切線與曲線及軸所圍平面圖形的面積；（3）求（2）中平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。22、設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且滿足方程，求。五、證明題（每小題9分，共18分）23、設(shè)上連續(xù)，求證：，并利用上述結(jié)果計(jì)算積分。24、設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且，。證明：（1）任意，；（2）存在，使得。 江蘇省2012年普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試模擬試卷解析（三）高等數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1、設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，則為的( )A、極大值點(diǎn)B、極小值點(diǎn)C、極小值D、

4、拐點(diǎn)橫坐標(biāo)解析：該題考察函數(shù)極值點(diǎn)、拐點(diǎn)的充分條件，則為的極小值點(diǎn)，故本題答案選B（極值判別第二充分條件）2、設(shè)，則等于( )A、1B、1 C、0D、解析：該題考察常用函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式，階導(dǎo)數(shù)的求法主要有以下幾種：（1）歸納與遞推法（2）高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：萊布尼茲公式（3）利用函數(shù)在一點(diǎn)冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性，則，由此解出。因?yàn)?，所以，將代入即可，故本題答案選A3、連續(xù)曲線和直線，與軸所圍成的圖形的面積是( )A、B、C、D、解析：本題考察定積分的幾何意義：曲邊梯形面積的代數(shù)和。故本題答案選A4、與三坐標(biāo)夾角均相等的一個(gè)單位向量為( )A、（1，1，1）B、（，）C、（，）D、（，）解析：本題考

5、察單位向量與方向余弦的性質(zhì)。記夾角為，則單位向量，由得，故本題答案選C5、設(shè)區(qū)域，則( )A、 B、C、D、解析：本題考察二重積分的幾何意義：曲頂柱體的體積；當(dāng)被積函數(shù)為時(shí)即為區(qū)域的面積。本題區(qū)域是介于半徑分別為和的圓之間的圓環(huán)。其面積為大圓與小圓面積之差，故本題答案選C6、下列級(jí)數(shù)收斂的是( )A、B、C、D、解析：該題考察級(jí)數(shù)的收斂性質(zhì)、級(jí)數(shù)收斂的必要條件，級(jí)數(shù)等。故本題答案選C記住當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。交錯(cuò)當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂，時(shí)條件收斂，時(shí)發(fā)散。二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）7、極限解析：求極限時(shí)，先判斷極限類型，若是或型可以直接使用羅比達(dá)法則，其余類型可以轉(zhuǎn)化為或型。羅比達(dá)

6、法則求極限的好處主要有兩方面，一是通過求導(dǎo)降階，二是通過求導(dǎo)將難求極限的極限形式轉(zhuǎn)變?yōu)槿菀浊髽O限的形式。不過，在求極限時(shí)應(yīng)靈活使用多種方法，特別是無窮小量或是無窮大量階的比較，使用等價(jià)無窮小或是等價(jià)無窮大的目的是將函數(shù)轉(zhuǎn)換為冪的形式，方便判別階數(shù)。本題為“”型，利用第二重要極限。8、函數(shù)若在處連續(xù)，則解析：分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)性與可導(dǎo)性，若分段點(diǎn)的左右兩側(cè)的表達(dá)式互不相同，則必須使用定義左右分別討論。本題只需按照連續(xù)性定義討論即可。在連續(xù)，等價(jià)于，也即 ， 左右極限均等于函數(shù)值，即，解得。9、積分解析：本題考查不定積分的定義，湊微分法以及定積分的計(jì)算。10、設(shè)向量，則解析：該題考察向

7、量的基本運(yùn)算數(shù)量積運(yùn)算。兩向量數(shù)量積為對(duì)應(yīng)分量乘積之和，結(jié)果是一個(gè)數(shù)量。因?yàn)椋霐?shù)據(jù)得。11、微分方程的通解是解析：特征方程為，解得 原方程的通解為。12、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榻馕觯簩?duì)于冪級(jí)數(shù)，如果，則收斂半徑，收斂區(qū)間為。再將代入級(jí)數(shù)具體考查。若冪級(jí)數(shù)缺少的奇次項(xiàng)（偶次項(xiàng)）或上述極限不存在（不是無窮），則此時(shí)將當(dāng)作常量轉(zhuǎn)化為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)處理。本題，所以，時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，故收斂域?yàn)?。?duì)于冪級(jí)數(shù)只需作變量代換即可。三、解答題（本大題共8小題，每小題8分，滿分64分）13、求極限。解析：求極限時(shí)，先判斷極限類型，“”型可以通分轉(zhuǎn)化為型，對(duì)無理式問題的處理，一般先將其有理化。原式= =。14

8、、已知由方程確定，求。解析：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是?？嫉囊粋€(gè)內(nèi)容，它的本質(zhì)實(shí)際上是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題。一般隱函數(shù)很難甚至不可能顯化。其求導(dǎo)方法是方程（等式）兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，將看成的函數(shù)（中間變量）。將代入，得到。方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得，。15、求不定積分。解析：該題使用第二類換元法，作三角代換令，原式=16、設(shè)，求。解析：該題考查定積分的換元法與分段函數(shù)的積分。原式17、設(shè)區(qū)域?yàn)閳A周與軸在第一象限所圍部分，求。解析：二重積分問題是很多“專轉(zhuǎn)本”同學(xué)的難點(diǎn)。首先要理解二重積分的幾何意義，特別是對(duì)稱型簡化積分計(jì)算。首先要畫出積分區(qū)域，然后根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)與區(qū)域的形狀選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)以及適當(dāng)?shù)姆e分順序。一般當(dāng)被積

9、函數(shù)形如，區(qū)域形狀為圓形、圓環(huán)、扇形（環(huán)）等，往往使用極坐標(biāo)計(jì)算。將圓周化為極坐標(biāo)方程原式。18、已知函數(shù)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。解析：該題型是幾乎每年必考。需要認(rèn)真掌握，理清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。解析：該題型是幾乎每年必考。需要認(rèn)真掌握。第一步：變量的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)圖其中1，2分別表示第二步：尋找與對(duì)應(yīng)的路徑，計(jì)算的過程可以總結(jié)為“路中用乘，路間用加”19、將函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間。解析：具體方法前面已經(jīng)詳細(xì)論述，這里不再贅述。20、求經(jīng)過點(diǎn)，且垂直于直線，又與平面平行的直線方程。解析：求直線方程，基本方法是使用對(duì)稱式。求出直線上的一個(gè)定點(diǎn)和方向向量。解：設(shè)所求直線的方向向量為，則，所

10、以取。故所求直線方程為。四、綜合題（每小題10分，共20分）21、設(shè)曲線,（1）求該曲線過原點(diǎn)的切線；（2）求由上述切線與曲線及軸所圍平面圖形的面積；（3）求（2）中平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，定積分的幾何應(yīng)用，應(yīng)重點(diǎn)掌握。(1)設(shè)切點(diǎn)為，由題意及導(dǎo)數(shù)幾何意義，應(yīng)有，即，于是切點(diǎn)為，切線的方程為； （2）于是所求面積為； （3）所求旋轉(zhuǎn)體體積為。22、設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且滿足方程，求。解析：積分變上限函數(shù)的求導(dǎo)問題經(jīng)?？疾椋⒁馀鍖?duì)那個(gè)變量求導(dǎo)，特別是被積函數(shù)中既含有又含有的情形。這種問題一般總是先求導(dǎo)再說。，.又，即，故。五、證明題（每小題9分，共18分）23、設(shè)上連續(xù)，求證：，并利用上述結(jié)果計(jì)算積分。解析：有關(guān)定積分的抽象恒等式的證明，一般采用換元