中考數(shù)學(xué)——數(shù)形結(jié)合專(zhuān)題

1、【中考熱點(diǎn)分析】 數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，它根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙的結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種結(jié)合，探求解決問(wèn)題的思路，使問(wèn)題得以解決的思考方法。幾何圖形的形象直觀，便于理解；代數(shù)方法的一般性，解題過(guò)程的操作性強(qiáng)，便于把握?！窘?jīng)典考題講練】例1.（2015衢州）如圖，已知直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，P是拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為a，過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線交直線于點(diǎn)Q，則當(dāng)PQ=BQ時(shí)，a的值是例2.（2014廣州）已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），拋物線（）過(guò)點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為

2、C點(diǎn)P（m，n）（n<0）為拋物線上一點(diǎn)（1）求拋物線的解析式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（2）當(dāng)APB為鈍角時(shí)，求m的取值范圍（3）若，當(dāng)APB為直角時(shí)，將該拋物線向左或向右平移t（）個(gè)單位，點(diǎn)P、C移動(dòng)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別記為、，是否存在t，使得首尾依次連接A、B、所構(gòu)成的多邊形的周長(zhǎng)最短？若存在，求t值并說(shuō)明拋物線平移的方向；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（1）待定系數(shù)法求解析式即可，求得解析式后轉(zhuǎn)換成頂點(diǎn)式即可（2）因?yàn)锳B為直徑，所以當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在C的內(nèi)部時(shí)，滿足APB為鈍角，所以-1m0，或3m4（3）左右平移時(shí)，使AD+DB最短即可，那么作出點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為C，得到直線PC的解析式，

3、然后把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可答案：(1)解:依題意把的坐標(biāo)代入得: ;解得: 拋物線解析式為頂點(diǎn)橫坐標(biāo),將代入拋物線得(2)如圖,當(dāng)時(shí),設(shè),則過(guò)作直線軸, (注意用整體代入法)解得,當(dāng)在之間時(shí)，或時(shí)，為鈍角.(3)依題意，且設(shè)移動(dòng)（向右，向左）連接則又的長(zhǎng)度不變四邊形周長(zhǎng)最小，只需最小即可將沿軸向右平移5各單位到處沿軸對(duì)稱(chēng)為當(dāng)且僅當(dāng)、B、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小為，此時(shí)，設(shè)過(guò)的直線為，代入即將代入，得：，解得：當(dāng)，P、C向左移動(dòng)單位時(shí)，此時(shí)四邊形ABPC周長(zhǎng)最小。例3.（2012杭州）如圖，AE切O于點(diǎn)E，AT交O于點(diǎn)M，N，線段OE交AT于點(diǎn)C，OBAT于點(diǎn)B，已知EAT30°，（1）

4、求COB的度數(shù)；（2）求O的半徑R；（3）點(diǎn)F在O上（是劣弧），且EF5，把OBC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E，F(xiàn)重合在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在O上的三角形嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形與OBC的周長(zhǎng)之比解：(1)AE切O于點(diǎn)E，OEAE，OBAT，在CAE和COB中，AECCBO90°，而B(niǎo)COACE，COBA30°.(3分)圖(1)(2)在RtACE中，AE3，A30°，ECAE·tan30°3.如圖(1)，連接OM，在RtMOB中，OMR，MB，OB.在RtCO

5、B中，COB30°，OC.OCECR，·3R整理得R218R1150，即(R23)(R5)0，R23(不符合題意，舍去)，或R5，R5.(8分)(3)在EF的同一側(cè)，滿足題意的三角形共有6個(gè)，如圖(2)(3)(4)，每個(gè)圖有2個(gè)滿足題意的三角形能找出另一個(gè)頂點(diǎn)也在O上的三角形，如圖(1)，延長(zhǎng)EO交O于D，連接DF，則DFE為符合條件 的三角形圖(2) 圖(3)圖(4)由題意得，DFEOBC.由(2)得，DE2R10，OC2，5.(14分)【解答策略提煉】解題策略，數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助教”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面，即用數(shù)形結(jié)合思想解題可分兩類(lèi)：一是依形判教，用形解決數(shù)的問(wèn)

6、題，常見(jiàn)于借助數(shù)軸、函數(shù)圖像、幾何圖形來(lái)求解代數(shù)問(wèn)題；二十就數(shù)論形，用數(shù)解決形的問(wèn)題，常見(jiàn)于運(yùn)用恒等變形、建立方程（組）、面積轉(zhuǎn)換等求解幾何問(wèn)題?！緦?zhuān)項(xiàng)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】1、 填空題1. 如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，點(diǎn)M是線段BC上一定點(diǎn)，且MC=8，動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿CDAB的路線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使PMC為等腰三角形的點(diǎn)P有（    ）個(gè)。2. 已知拋物線y=ax2-2ax-1+a(a>0)與直線x=2,x=3,y=1圍成的正方形有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是。3. 如圖，拋物線

7、y=x2+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1,0），點(diǎn)M（m,0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，m的值是 24/41 。4. 拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，若ABC是直角三角形，則ac= .5.如圖，半徑為r1的圓內(nèi)切于半徑為r2的圓，切點(diǎn)為P，過(guò)圓心O1的直線與O2交于A、B，與O1交于C、D，已知AC：CD：DB=3：4：2，則=2、 解答題6. （1）如圖，四邊形ABCD中，BAD=120°，B=D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,使AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，求AMN+ANM的度數(shù)。（2）

8、如圖，直線y=+b與雙曲線y=交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為1和5，求不等式<+b的解集。7.如圖，AC為O的直徑，B是O外一點(diǎn)，AB交O于E點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作O的切線，交BC于D點(diǎn)，DE=DC,作EFAC于F點(diǎn)，交AD于M點(diǎn)。（1）求證：BC是O的切線。（2）EM=FM.8.（2015鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是x=且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；求拋物線解析式（2）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA，PC求PAC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）拋

9、物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【基礎(chǔ)重點(diǎn)輪動(dòng)】選擇題1. （-）-1+（-）0+（-2）2的值為 （ ）A.2. 要使分式有意義，則x的取值范圍是 （ ）A. x<1 >-13. 對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 （ ）A.它的圖象分布在一、三象限B.它的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形C.當(dāng)x0時(shí)，y的值隨x的增大而增大D.當(dāng)x0時(shí)，y的值隨x的增大而減小4. 如圖，PA、PB是O的切線，切點(diǎn)是A、B，已知P=60°，OA=3，那么AOB所對(duì)弧的長(zhǎng)度為（ ）。5. 拋

10、物線y=x2+bx+c（a0）圖像向右平移2個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位，所得的圖像解析式為=x2-2x-3，則b，c的值為（ ）。A. b=2，c=2 B.b=2，c=0 C.b=-2，c=-1 D.b=-3，c=26. 如圖，ABC中，CDAB，垂足為D。下列條件中，不能證明ABC是直角三角形的是（）A.A+B=90°B.AB2=AC2+BC2C.D.CD2=ADBD7.下列命題是真命題的是（ ）B有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形D兩邊相等的平行四邊形是菱形8.如圖所示，正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)。已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)

11、，且使得ABC為等腰三角形，則C點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ C ）A6B7C8D9填空題9. 如圖，直線l1l2l3,點(diǎn)A、B、C分別在在直線l1、l2、l3上，若1=70°,2=50°，則ABC= 度。第9題圖 第10題圖 10.如圖某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，則迎水坡面AB的長(zhǎng)度是。11.某課外小組的同學(xué)們?cè)谏鐣?huì)實(shí)踐活動(dòng)中調(diào)查了20戶家庭某月的用電量，如下表所示： 用電量（度） 120140160180200戶數(shù)23672則這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是。12. 已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E在直線AD上，若DE=3，連接BE與對(duì)角線AC

12、相交于點(diǎn)M，則SABM：SCBM的值為。第10講綜合性解答問(wèn)題【中考熱點(diǎn)分析】代數(shù)型綜合題是指以代數(shù)知識(shí)為主的或以代數(shù)變形技巧為主的一類(lèi)綜合題，涉及知識(shí)：主要包括方程、函數(shù)、不等式等內(nèi)容。解題策略：用到的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想以及代入法、待定系數(shù)法、配方法等。幾何型綜合題是指以幾何知識(shí)為主或者以幾何變換為主的一類(lèi)綜合題。涉及知識(shí)：主要包括幾何的定義、公理、定理、幾何變換等內(nèi)容。解題策略：解決幾何型綜合題的關(guān)鍵是把代數(shù)知識(shí)與幾何圖形的性質(zhì)以及計(jì)算與證明有機(jī)融合起來(lái)，進(jìn)行分析、推理，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。代數(shù)和幾何型綜合題是指以代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)綜合運(yùn)用的一類(lèi)綜合題。涉及

13、知識(shí)：代數(shù)與幾何的重要知識(shí)點(diǎn)和多種數(shù)學(xué)思想方法。【經(jīng)典考題講練】例1.如圖，已知矩形OABC中，OA2，AB4，雙曲線（k0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F。（1）若E是AB的中點(diǎn)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)；例1題圖（2）若將BEF沿直線EF對(duì)折，B點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn)，作EGOC，垂足為G，證明EGDDCF，并求k的值。例2.（2014十堰）已知拋物線C1：y=a（x+1）22的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，1）（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線C1的解析式.（2）如圖1，將拋物線C1向下平移2個(gè)單位后得到拋物線C2，且拋物線C2與直線AB相交于C，D兩點(diǎn)，求SOAC：SOAD的值.（3）如圖2，若過(guò)P（4，0）

14、，Q（0，2）的直線為l，點(diǎn)E在（2）中拋物線C2對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)部分（含頂點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，直線m過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)E問(wèn)：是否存在直線m，使直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式；若不存在，說(shuō)明理由分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)式易得頂點(diǎn)A坐標(biāo)，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可解決問(wèn)題（2）根據(jù)平移法則求出拋物線C2的解析式，用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再通過(guò)解方程組求出拋物線C2與直線AB的交點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，就可以求出SOAC：SOAD的值（3）設(shè)直線m與y軸交于點(diǎn)G，直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形形狀、位置隨著點(diǎn)G的變化而變化

15、，故需對(duì)點(diǎn)G的位置進(jìn)行討論，借助于相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的增減性等知識(shí)求出符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而求出相應(yīng)的直線m的解析式例3.（10分）（2015桂林）如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形，AB=4，PC、PD是O的兩條切線，C、D為切點(diǎn)（1）如圖1，求O的半徑；（2）如圖1，若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接PE，求PE的長(zhǎng)度；（3）如圖2，若點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)（不含B、C），以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，在BC的上方作AMN=90°，交直線CP于點(diǎn)N，求證：AM=MN分析：（1）利用切線的性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)得出O的半徑即可；（2）利用垂徑定理得出OEBC，OCE=45

16、6;，進(jìn)而利用勾股定理得出即可；（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出ECP=135°，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可【解答策略提煉】1、 代數(shù)綜合題是以代數(shù)知識(shí)及代數(shù)變形為主的綜合題。主要包括方程、函數(shù)、不等式等內(nèi)容。解題策略：用到的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想以及代入法、待定系數(shù)法、配方法等。解代數(shù)綜合題要注意方程、不等式和函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)點(diǎn)之間的橫向聯(lián)系和數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧的靈活運(yùn)用，要抓住題意，化整為零，層層深入，各個(gè)擊破，從而解決問(wèn)題。2、 幾何綜合題考查的圖形種類(lèi)多、條件隱晦，在觀察方法上要注意從三角形、四邊形、圓的定義、性質(zhì)、判

17、定來(lái)觀察分析圖形，通過(guò)尋找、分解、構(gòu)造基本圖形以發(fā)現(xiàn)圖形特征；在思考方法上分析挖掘題目的隱含條件，注意結(jié)合代數(shù)知識(shí)與幾何圖形的性質(zhì)思考，不斷的由已知想未知，為解決問(wèn)題創(chuàng)造條件?！緦?zhuān)項(xiàng)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】一、填空題1. 如圖，在四邊形ABCD中，AB=4,BC=7，CD=2，AD=x,則x的取值范圍是 。2. 如圖，在ABC中，AB=AC，D在AB上，BD=AB，則A的取值范圍是。ADBCAxDBC742 第1題圖 第2題圖3. 在RtABC中，C=90°，AC=3，BC=4.若以C點(diǎn)為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，則r的取值范圍是。4. 如圖，矩形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，

18、AD：AB=：2，CP：BP=1：2，連接EP并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AP、BE相交于點(diǎn)O下列結(jié)論：EP平分CEB；EBPEFB；ABPECP；AOAP=OB2其中正確的序號(hào)是 （把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）5. （2015南通）關(guān)于X的一元二次方程ax2-3x-1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都在-1和0之間（不包括-1和0），則a的取值范圍是。二、解答題6.（2014牡丹江）(2014年黑龍江牡丹江)如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=8，BC=6，CDAB于點(diǎn)D點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)

19、度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）求線段CD的長(zhǎng)；（2）設(shè)CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使得SCPQ：SABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由（3）當(dāng)t為何值時(shí)，CPQ為等腰三角形？備用圖1 備用圖27. （2013連云港）如圖，已知一次函數(shù)y=2x+2的圖像與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=k1/x的圖像的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，m），過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線BD，與反比例函數(shù)y=k2/x交于點(diǎn)D（n,-2）.（1）求k1和k2的值；（2）若直線AB、BD分別交x軸于點(diǎn)C、E，試問(wèn)在y軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)F，使得BD

20、FACE？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由8.(2015溫州)如圖，AB是半圓O的直徑，CDAB于點(diǎn)C，交半圓于點(diǎn)E，DF切半圓于點(diǎn)F.已知AEF=135°.（1）求證：DFAB；（2）若OC=CE，BF=，求DE的長(zhǎng).9.（2015海南）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（3，0）、B（1，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)G是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，直線GC交x軸于點(diǎn)H（3，0），AD平行GC交y軸于點(diǎn)D（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求證：四邊形ACHD是正方形；（3）如圖2，點(diǎn)M（t，p）是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M的直線y=kx交二次函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)N若四邊形ADCM的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出t的取值范圍；若CMN的面積等于，請(qǐng)求出此時(shí)中S的值【基礎(chǔ)重點(diǎn)輪動(dòng)】一選擇題1.（2013.山西）解分式方程時(shí)，去分母后變形為（ ）A2+（x+2）=3（x-1）B2-x+2=3（x-1）C2-（x+2）=3（1- x）D 2-（x+2）=3（x-1）2.A.2 B.C.D.3. 下列交通標(biāo)志是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）A BCD4. 如圖，將ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°后