布爾代數(shù)入門

1、布爾代數(shù)入門 布爾代數(shù)是計算機(jī)的基礎(chǔ)。沒有它，就不會有計算機(jī)。布爾代數(shù)發(fā)展到今天，已經(jīng)非常抽象，但是它的核心思想很簡單。本文幫助你理解布爾代數(shù)，以及為什么它促成了計算機(jī)的誕生。 我依據(jù)的是編碼的奧妙的第十章。這是一本好書，強烈推薦。一、數(shù)理邏輯的起源19世紀(jì)早期，英國數(shù)學(xué)家喬治布爾（George Boole，18151864）突發(fā)奇想：人的思想能不能用數(shù)學(xué)表達(dá)？此前，數(shù)學(xué)只用于計算，沒有人意識到，數(shù)學(xué)還能表達(dá)人的邏輯思維。兩千年來，哲學(xué)書都是用文字寫的。比如，最著名的三段論：所有人都是要死的， 蘇格拉底是人， 所以，蘇格拉底是要死的。喬治布爾認(rèn)為，這種推理可以用數(shù)學(xué)表達(dá)，也就是說，哲學(xué)書完全可

2、以用數(shù)學(xué)寫。這就是數(shù)理邏輯的起源。二、集合論喬治布爾發(fā)明的工具，叫做集合論（Set theory）。他認(rèn)為，邏輯思維的基礎(chǔ)是一個個集合（Set），每一個命題表達(dá)的都是集合之間的關(guān)系。比如，所有人類組成一個集合R，所有會死的東西組成一個集合D。所有人都是要死的集合論的寫法就是：R X D = R集合之間最基本的關(guān)系是并集和交集。乘號（X）表示交集，加號（+）表示并集。上面這個式子的意思是，R與D的交集就是R。同樣的，蘇格拉底也是一個集合S，這個集合里面只有蘇格拉底一個成員。蘇格拉底是人 / 等同于 S X R = S上面式子的意思是，蘇格拉底與人類的交集，就是蘇格拉底。將第一個式子代入第二個式子

3、，就得到了結(jié)論。S X (R X D) = (S X R) X D = S X D = S這個式子的意思是，蘇格拉底與會死的東西的交集，就是蘇格拉底，即蘇格拉底也屬于會死的東西。三、集合的運算法則前面的三段論比較容易，一眼就能看出結(jié)論。但是，有些三段輪比較復(fù)雜，不容易立即反應(yīng)過來。請看下面這兩句話。鴨嘴獸是卵生的哺乳動物。鴨嘴獸是澳洲的動物。你能一眼得到結(jié)論嗎？鴨嘴獸 X 卵生 = 鴨嘴獸 鴨嘴獸 x 澳洲 = 鴨嘴獸將第一個式子代入第二個，就會得到：鴨嘴獸 X 卵生 x 澳洲 = 鴨嘴獸 / 相當(dāng)于 卵生 x 澳洲 = 鴨嘴獸 + 其他因此，結(jié)論就是有的卵生動物是澳洲的動物，或者有的澳洲的動

4、物是卵生動物。還有更不直觀的三段論。哲學(xué)家都是有邏輯頭腦的，一個沒有邏輯頭腦的人總是很頑固。請問結(jié)論是什么？這道題會用到新的概念：全集和空集。集合A和所有不屬于它的元素（記作-A）構(gòu)成全集（I），這時A和-A的交集就是一個空集（0）。A + (-A) = I A X (-A) = 0因此，有下面的公式。B = B X I = B X (A + -A) = B X A + B X (-A) 回到上面那道題。哲學(xué)家 X 邏輯 = 哲學(xué)家 無邏輯 X 頑固 = 無邏輯根據(jù)第一個命題，可以得到下面的結(jié)論。哲學(xué)家 X 無邏輯 = (哲學(xué)家 X 邏輯) X 無邏輯 = 哲學(xué)家 X (邏輯 X 無邏輯) =

5、 哲學(xué)家 X 0 = 0即哲學(xué)家與沒有邏輯的人的交集，是一個空集。根據(jù)第二個命題，可以得到下面的結(jié)論。無邏輯 X 頑固 = 無邏輯 X 頑固 X (哲學(xué)家 + 非哲學(xué)家) = 無邏輯 X 頑固 X 哲學(xué)家 + 無邏輯 X 頑固 X 非哲學(xué)家 = 0 X 頑固 + 無邏輯 X 頑固 X 非哲學(xué)家 = 無邏輯 X 頑固 X 非哲學(xué)家 = 無邏輯也就是說，最終的結(jié)論如下。無邏輯 X 頑固 X 非哲學(xué)家 = 無邏輯 / 相當(dāng)于 頑固 X 非哲學(xué)家 = 無邏輯 + 其他結(jié)論就是頑固的人與非哲學(xué)家之間有交集。通俗的表達(dá)就是：一些頑固的人，不是哲學(xué)家，或者一些不是哲學(xué)家的人，很頑固。由此可見，集合論可以幫助

6、我們得到直覺無法得到的結(jié)論，保證推理過程正確，比文字推導(dǎo)更可靠。四、 集合論到布爾代數(shù)既然命題可以用集合論表達(dá)，那么邏輯推導(dǎo)無非就是一系列集合運算。由于集合運算的結(jié)果還是集合，那么通過判斷個體是否屬于指定集合，就可以計算命題的真?zhèn)?。一名顧客走進(jìn)寵物店，對店員說：我想要一只公貓，白色或黃色均可；或者一只母貓，除了白色，其他顏色均可；或者只要是黑貓，我也要。這名顧客的要求用集合論表達(dá)，就是下面的式子。公貓 X (白色 + 黃色) + 母貓 X 非白色 + 黑貓店員拿出一只灰色的公貓，請問是否滿足要求？布爾代數(shù)規(guī)定，個體屬于某個集合用1表示，不屬于就用0表示。 灰色的公貓屬于公貓集合，就是1，不屬于

7、白色集合，就是0。上面的表達(dá)式變成下面這樣。1 X (0 + 0) + 0 X 1 + 0 = 0因此，就得到結(jié)論，灰色的公貓不滿足要求。這就是布爾代數(shù)：計算命題真?zhèn)蔚臄?shù)學(xué)方法。五、布爾代數(shù)的運算法則布爾代數(shù)的運算法則與集合論很像。交集的運算法則如下。1 X 1 = 1 1 X 0 = 0 0 X 0 = 0并集的運算法則如下。1 + 1 = 1 1 + 0 = 1 0 + 0 = 0集合論可以描述邏輯推理過程，布爾代數(shù)可以判斷某個命題是否符合這個過程。人類的推理和判斷，因此就變成了數(shù)學(xué)運算。20世紀(jì)初，英國科學(xué)家香農(nóng)指出，布爾代數(shù)可以用來描述電路，或者說，電路可以模擬布爾代數(shù)。于是，人類的推理和判斷，就可以用電路實現(xiàn)了。這就是計算機(jī)的實現(xiàn)基礎(chǔ)。六、布爾代數(shù)的局限雖然布爾代數(shù)可以判斷命題真?zhèn)危菬o法取代人類的理性思維。原因是它有一個局限。它必須依據(jù)一個或幾個已經(jīng)明確知道真?zhèn)蔚拿}，才能做出判斷。比如，只