定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

1、四、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充補充)二、體積二、體積第二節(jié)第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積三、三、 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(121.直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形xxxdx xdx 一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積例例 1 1 計計算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點)1 , 1()0

2、 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 解解兩曲線的交點兩曲線的交點).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式問題：問題：積分

3、變量只能選積分變量只能選 嗎？嗎？x解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)(ty 連續(xù)連續(xù).abxoyx例例3. 3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: : 利用對稱性 ,

4、 xyAdd所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時得圓面積公式xxd例例4.4. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解解: :ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Ax

5、yoa22. 極坐標(biāo)情形( ),( )0 ,C 設(shè)求由曲線( ) 及, 射線圍成的曲邊扇形的面積 .( ) x d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A 對應(yīng)對應(yīng) 從從 0 變變例例5 5. 計算阿基米德螺線計算阿基米德螺線解解: :(0)aaxa 2o dd)(212a20A22a331022334a點擊圖片任意處點擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停到到2 所圍圖形面積所圍圖形面積 . 解解由對稱性知總面積由對稱性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA daA2cos214402 .2a xy

6、2cos22a 1A解解 dadA22)cos1(21 利用對稱性知利用對稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0oxya心形線(外擺線的一種外擺線的一種)2222yxaxayx即)cos1 ( ar點擊圖中任意點動畫開始或暫停 尖點:)0,0( 面積:223a 弧長:a8參數(shù)的幾何意義2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例. 計算心形線計算心形線與圓所圍圖形的面積 . 解解: 利用對稱性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(

7、所求面積)243(2122aa22245aa ar 2 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺二、體積二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊

8、梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy yr解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為dxxhrdV2 圓圓錐錐體體的的體體積積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoayxb例. 計算由橢圓計算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的

9、橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2x方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積.343aa aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積dxxaVaa33232 .105323a 星形線taytax33sin,cosa星形線是內(nèi)擺線的一種.t點擊圖片任意處點擊圖片任

10、意處播放開始或暫停播放開始或暫停大圓半徑 Ra小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動時, 小圓上的定點的軌跡為是內(nèi)擺線)xyo)(yx cddyy2)( dcV解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy繞繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可可看看作作平平面面圖圖OABC與與OBC分分別別繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積之之差差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2

11、)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 分部積分對稱關(guān)于2注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226補充補充 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(xfy 、直線直線ax 、bx 及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立

12、體，體積為dxxfxVbay| )(|2 利用這個公式，可知上例中利用這個公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a ox1 2yBC3A例 求曲線求曲線132xy與 x 軸圍成的封閉圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94 考研)解解: 利用對稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122軸所圍圖及表示xtx

13、xfytV)0(, )()(例 設(shè)設(shè))(xfy 在 x0 時為連續(xù)的非負函數(shù), 且 ,0)0(f形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 , 證明:. )(2)(tftV 證證:x)(xfxoytxxd利用柱殼法xxfxtVd)()(2d則xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM2、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)

14、設(shè)定軸為定軸為x軸，軸，所給立體垂直于所給立體垂直于x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對應(yīng)于小區(qū)間則對應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù)上連續(xù), , 如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算體積也可用定積分來計算.RR xyo解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂直于垂直于x軸的截面為

15、直角三角形軸的截面為直角三角形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x軸的截面為等腰三角形軸的截面為等腰三角形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個個端端點點，在在弧弧上上插插入入分分點點BMMMMMAnni ,110并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點的數(shù)目并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，

16、當(dāng)分點的數(shù)目無限增加且每個小弧段都縮向一點時，無限增加且每個小弧段都縮向一點時，此折線的長此折線的長|11 niiiMM的極限存在，則稱此極限為的極限存在，則稱此極限為曲線弧曲線弧AB的弧長的弧長.三、平面曲線弧長三、平面曲線弧長定理定理: : 任意光滑曲線弧都是可求長的任意光滑曲線弧都是可求長的. .并稱此曲線弧為可求長的并稱此曲線弧為可求長的. 設(shè)設(shè)曲曲線線弧弧為為)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xoyabxdxx 取取積積分分變變量量為為x，在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ，以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長以對應(yīng)小切線段的

17、長代替小弧段的長 dy小小切切線線段段的的長長22)()(dydx dxy21 弧長元素弧長元素dxyds21 弧長弧長.12dxysba 1、直角坐標(biāo)情形、直角坐標(biāo)情形曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長弧長.)()(22dttts 2、參數(shù)方程情形、參數(shù)方程情形曲線弧為曲線弧為)( ( ) ( )cos( )sinxy )( 22)()(dydxds 22( )( ),d 弧長弧長22( )( ).sd 3.、極坐標(biāo)情形、極坐標(biāo)情形解解,21x

18、y dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對稱性根據(jù)對稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 例例1515. 擺線擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱一拱)20(t的弧長的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2解解,ar 22( )(

19、 )sd .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 證證設(shè)正弦線的弧長等于設(shè)正弦線的弧長等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1設(shè)橢圓的周長為設(shè)橢圓的周長為2s,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根據(jù)橢圓的對稱性知根據(jù)橢圓的對稱性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.dtta 022cos12)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3

20、例例. 求連續(xù)曲線段求連續(xù)曲線段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長的弧長.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n )ch(cxccxccsh1例. 兩根電線桿之間的電線兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成懸鏈線 .求這一段弧長 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0d

21、ch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂懸鏈線方程為xyoab四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充)設(shè)平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求上的圓臺的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abxxyo)(xfy abxsySd2d側(cè)面積元素 xyd2sdxdxyd2因為的線性主部 .若光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出, 則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周

22、所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積S 的 )(2ttttd)()(22S注意:側(cè)面積為xRyo例. 計算圓計算圓上繞在,21222RRxxxRyxx 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積 S .解解: 對曲線弧,2122xxxxRy應(yīng)用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR當(dāng)球臺高 h2R 時, 得球的表面積公式24RS1x2xozyx例. 求由星形線求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解解: 利用對稱性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞 x 軸旋轉(zhuǎn)

23、 taytax33sin,cos1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程上下限按順時針方向確定直角坐標(biāo)方程注意注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小21d)()(tttttAd)(212A五、小結(jié)五、小結(jié)3. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積sySd2d側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達式)yxxA2)(繞 y 軸 :(柱殼法)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xx

24、yy 思考題思考題1 設(shè)曲線設(shè)曲線)(xfy 過原點及點過原點及點)3 , 2(，且，且)(xf為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線取一點作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與與x軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積是另一條平圍成的面積是另一條平行線與行線與y軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積的兩圍成的面積的兩倍，求曲線方程倍，求曲線方程.思考題思考題1解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2

25、)(30 xydxxfx 兩邊同時對兩邊同時對 求導(dǎo)求導(dǎo)xyxyxf 22)(3yyx 2積分得積分得,2cxy 因因為為曲曲線線)(xfy 過過點點)3 , 2(29 c,292xy 因因為為)(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)所以所求曲線為所以所求曲線為.223xy 思考題思考題2 求求曲曲線線4 xy，1 y，0 x所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.解答解答xyo 14yxy交點交點),1 , 4(立體體積立體體積dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y思考題思考題3 閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上的連續(xù)曲線上的連續(xù)曲線)(xfy 是否一定可求長？

26、是否一定可求長？不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長曲線光滑才可求長解答解答思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長 s .提示提示: 交點為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312xy 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 2. 試用定積分求圓試用定積分求圓)()(222bRRbyx繞 x 軸oxyRbR上上半圓為22xRby y22xRx下下22

27、2)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求體積 :提示提示:方法方法1 利用對稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .方法2 用柱殼法用柱殼法RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222說明說明: 上式可變形為2RVb2d2bR 20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示). dd2bRV求側(cè)面積 :oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用對稱性RS2b2S上式也可寫成d2bR20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx它也反映了

28、環(huán)面微元的另一種取法. 一、一、 填空題：填空題：1 1、 由曲線由曲線eyeyx ,及及y軸所圍成平面區(qū)域的面積軸所圍成平面區(qū)域的面積是是_ . .2 2、 由曲線由曲線23xy 及直線及直線xy2 所圍成平面區(qū)域的所圍成平面區(qū)域的面積是面積是_ ._ .3 3、 由曲線由曲線 1,1,1,12 xxyxxy所圍成所圍成平面區(qū)域的面積是平面區(qū)域的面積是_ ._ .4 4、 計算計算xy22 與與4 xy所圍的區(qū)域面積時，選用所圍的區(qū)域面積時，選用_作變量較為簡捷作變量較為簡捷 . .5 5、 由曲線由曲線xxeyey ,與直線與直線1 x所圍成平面區(qū)所圍成平面區(qū)域的面積是域的面積是_ _ .

29、 .練練 習(xí)習(xí) 題題1二、二、 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：1 1、xy1 與直線與直線xy 及及2 x；2 2、 y2x與直線與直線xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、擺線、擺線)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x軸；軸；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡爾葉形線、笛卡爾葉形線axyyx333 . .三、三、 求拋物線求拋物線342 xxy及其在點及其在點)3,0( 和和)0,3(處的切線所圍成的圖形的面積處的切線所圍成的圖形的面積 . .四、四、 求位于曲線求位于

30、曲線xey 下方，該曲線過原點的切線的下方，該曲線過原點的切線的左方以左方以軸軸及及 x上方之間的圖形的面積上方之間的圖形的面積 . .五、五、 求由拋物線求由拋物線axy42 與過焦點的弦所圍成的圖形與過焦點的弦所圍成的圖形面積的最小值面積的最小值 . .一、一、1 1、1 1； 2 2、332； 3 3、2 2； 4 4、y； 5 5、21 ee； 6 6、21. .二、二、1 1、2ln23 ； 2 2、67； 3 3、2a ； 4 4、23 a ； 5 5、 45； 6 6、223a. .三、三、49. . 四、四、2e. . 五、五、238a. .練習(xí)題練習(xí)題1答案答案一、一、 填空

31、題：填空題：1 1、 連續(xù)曲線連續(xù)曲線,)(xfy 直線直線ax ，bx 軸軸及及 x所所圍圖形圍圖形軸軸繞繞 x旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的體 積旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的體 積 v_，軸軸繞繞 y旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體體 v積積_；2 2、 badxxfv)(常用來表示常用來表示_立立體的體積；體的體積；3 3、 拋物線拋物線axy42 及直線及直線)0(00 xxx所圍成的圖所圍成的圖形形軸軸繞繞 x旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積_；4 4、 0, 0,cosh yaxxaxay所圍成的圖所圍成的圖x形繞形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的 v體積體積

32、_；練練 習(xí)習(xí) 題題2二、二、 有一鐵鑄件，它是由拋物線有一鐵鑄件，它是由拋物線、2101xy 11012 xy與直線與直線10 y圍成的圖形，圍成的圖形，軸軸繞繞 y旋旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體，算出它的質(zhì)量轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體，算出它的質(zhì)量（長度單位是厘（長度單位是厘米，鐵的密度是米，鐵的密度是38 . 7厘厘米米克克）. .三、三、 把星形線把星形線323232ayx 軸軸繞繞 x旋轉(zhuǎn)，計算所得旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)，計算所得旋轉(zhuǎn)體的體積體的體積 . .四、四、 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱，0 y，繞直線，繞直線ay2 旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積. .一、一、1 1、 badxxf)(2, , badxxxf)(2；2 2、已知平行截面面積的；、已知平行截面面積的； 3 3、202 ax ；4 4、2243sha . .二、二、 ( (克克) . ) . 三、三、310532a . . 四、四、327a . .五、五、ba222 . . 六、六、)(261bAaBABabh . .七、七、Aba ,0. .練習(xí)題練習(xí)題2答案答案一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲線曲線xyln 上相應(yīng)于上相應(yīng)于83 x的一段弧長為的一段弧長為_；2 2、 漸伸線漸伸線)sin(costttax ，)cos(sintttay 上相應(yīng)于上相應(yīng)于變到變