平面向量教(學)案

1、教師閻偉清學生上課時間學科高中數(shù)學年級教材版本課題平面向量教學1、向量的綜合應用。重點 教學 難點,有二個要素：大小、方向2、用向量知識，實現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的等價轉(zhuǎn)化1、向量的綜合應用。2、用向量知識，實現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的等價轉(zhuǎn)化根本知識回憶：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量2. 向量的表示方法: 用有向線段表示AB (幾何表示法)； 用字母a、b等表示(字母表示法)； 平面向量的坐標表示坐標表示法：分別取與x軸、y軸方向一樣的兩個單位向量、j作為基底。任作一個向量 a，由平面向量根本定理知，有且只有一對實數(shù) x、y，使得a xf yj，(x, y)叫做向量a的直角坐標，記作 a

2、(x, y)， 其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，特別地，i (1,0)， j (0,1)，0 (0,0)。la Vx2尹；假設 A(X1,yJ，那么 ABx?y ab| J7芫k3. 零向量、單位向量：教學 、"過程 長度為0的向量叫零向量，記為 0 ;a長度為1個單位長度的向量，叫單位向量注：呂就是單位向量|a|4. 平行向量： 方向一樣或相反的非零向量叫平行向量； 我們規(guī)定0與任一向量平行.向量a、b、c平行，記作a / b / c.共線向量與平行向量關系：平行向 量就是共線向量.、宀0, b與a同向一 _ -方向-一 一性質(zhì)：a/b (b 0) a b (是

3、唯一0, b與a反向長度-|a| |暢a/b (b 0)x2 X2% 0 其中 a (%$), b (x?,y?)5. 相等向量和垂直向量：相等向量：長度相等且方向一樣的向量叫相等向量垂直向量兩向量的夾角為一2性質(zhì)：a b ab 0a bX1X2 y2 0 其中 a (為，), b (x2,y2)6. 向量的加法、減法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么。 平行四邊形法那么：AC aDB a三角形法那么b起點一樣的兩向量相加，常要構造平行四邊形b加法首尾相連減法終點相連,方向指向被減數(shù)加法法那么的推廣：ABn AB, B1B2 Bn 1 Bn即n個向量

4、a1, a2,an首尾相連成一個封閉圖形，那么有a1 a2 an 0向量的減法向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。即：a b = a +( b)；OA= a, OB=b ,那么 BA=a b差向量的意義: 平面向量的坐標運算：假設a (X| ,y1)， b (x2, y2)，那么a b(x1 x2, % y2)，1«"*-a b (xi X2, yi y2)， a ( x, y)。r!-d,aq. 向量加法的交換律:a + b = b +a ；向量加法的結(jié)合律：(a + b) +c = a+ (b + c) 常用結(jié)論： 1 1假設AD (AB AC)，那么D是AB的中點

5、22或6是厶ABC的重心，那么 GA GB GC 07. 向量的模：1、定義：向量的大小，記為 | a|或| AB |2、模的求法:假設 a (x, y)，那么 | a|：x2 y2假設 A% yj, B(X22),那么 | AB |(X2 xj2 (y? yj23、性質(zhì)：1|a|2 a ； |a | b (b 0)|a|2 b2 實數(shù)與向量的轉(zhuǎn)化關系2a b|5|2 |bf，反之不然3三角不等式：|5|b| |a b| |a|b|4|b| |a|b| 當且僅當a,b共線時取“=即當a,b同向時，a*b |a|b|； 即當a,b同反向時，ab |a|b|5平行四邊形四條邊的平方和等于其對角線的

6、平方和，即 2| a|2 2| b|2 |a b|2 G b|2&實數(shù)與向量的積：實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作：入a1| 入 a|=| 入 | a| ;運算定律»2入0時入a與a方向一樣；入0時入a與a方向相反；入=0時入a = 0 ；入交換律：a*bb*a;分配律：(aap b-c( a) b =(a b)= a ( b);不滿足結(jié)合律：即(a*b)*c a(bc)向量沒有除法運算。如:ab cb2ac , a'ba都是錯誤的b4兩個非零向量a,b，它們的夾角為，那么a 叱=| a |b | cos坐標運算：a (為，yj, b (x2, y2)，那么 a*b

7、 nx2 y)y25向量AB a在軸丨上的投影為:I a I cos為a與n的夾角，n為丨的方向向量其投影的長為|n|n一為n的單位向量|n|6a與b的夾角和ab的關系:1當 0時,a與 b同向；當時，a與b反向2 為銳角時,那么有a叱0a,b不共線; 為鈍角時，那么有ab 0a, 7不共線9. 向量共線定理：b =入 a。向量b與非零向量a共線也是平行的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)入，使10. 平面向量根本定理：如果u , e2是同一平面的兩個不共線向量，那么對于這一平面的任一向量a，有且只有一對實數(shù)入1,入 2 使 a = y + 入 2e?。(1) 不共線向量e、e2叫做表示這一平面

8、所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量 a在給出基底e1、e的條件下進展分解；(4) 基底給定時，分解形式惟一.入1,入2是被a , q , e2唯一確定的數(shù)量。向量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即假設A(x , y),那么OA =x,y丨；當向量起點不在原點時，向量AB坐標為終點坐標減去起點坐標，即假設 Ax1,y1，Bx2,y2，那么 AB =(x 2-x 1 ,y 2-y 1)11. 向量a和b的數(shù)量積： a b=| a| | b|cos ，其中 0 ,n 為a和b的夾角。 | b |cos 稱為b在a的方向上的

9、投影。 a b的幾何意義是：b的長度| b|在a的方向上的投影的乘積，是一個實數(shù)可正、 可負、也可是零，而不是向量。 假設a =x1,y1 , b =X2,y2，那么 a?bx1x2y1y2 運算律： a b=b a,( 入 a) b=a (入 b)=入a b， a+b c=a c+b c。 a和b的夾角公式：cos =竺工=嚴風一呼同冋jx?yr jxfyrC2f 2 2 2Tr22卜 2 a ?a a | a| =x +y，或 |a|=Jx y a |a b | | a | | b |。12. 兩個向量平行的充要條件：符號語言：假設a / b , a豐0，那么a =入bi2坐標語言為： 設

10、 a =xi,yi，b=(x2,y2)，那么 a / b(xi,yi)=入(x2,y 2)，即 12，或 xiy2-x2yi=0yiy2在這里，實數(shù)入是唯一存在的，當a與b同向時，入0;當a與b異向時，入0。I入1= 旦，入的大小由a與b的大小確定。因此，當 a , b確定時，入的符號與大小就確定了。這就是實|b|數(shù)乘向量中入的幾何意義。13. 兩個向量垂直的充要條件：符號語言：a丄b a b =0坐標語言：設 a =(x 1,y 1), b =(x2,y2)，那么 a 丄 bx1x2+y1y2=0例題講解例1、 ABC中，A2, -1丨，B 3, 2，C-3 , -1，BC邊上的高為 AD,

11、求點D和向量AD坐標。例2、求與向量a = ('3 , -1丨和b = 1, v'3丨夾角相等，且模為 U2的向量c的坐標。例3、在厶OAB的邊OA OB上分別取點 M N,使| OM | ： | OA |=1 : 3, | ON | : | OB |=1 : 4,設線段 AN與BM交于點P,記OA= a , OB = b，用a , b表示向量OP。例4、直角坐標系xOy中，i', j分別是與x, y軸正方向同向的單位向量在直角三角形ABC中，假設AB 2i j, AC 3i k j，那么k的可能值個數(shù)是A. 1E. 2C. 3D. 4例5、如圖，平面有三個向量 OA、

12、OB、OC ,其中與OA與OB的夾角為120°, OA與OC的夾角為30° ,且 | OA | = | OB | = 1, | OC | = 2,3，假設 OC =入 OA + 口 OB入，例6、設 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),那么(a+2b) c=A.(15,12)B.0 C.3D. 11例7、平面向量a(1,2),b(2,m)，且 a / b ,那么A .-2 , -4 B.-3 , -6C.-4 ,-82a 3b=D.例8、平面向量a= 1, 3，b=4, 2，a b與a垂直，那么是 -5 , -10A. - 1 B. 1C. 2D. 2那么入

13、+ 口的值為例9、在平行四邊形ABCD中AC與BD交于點O, E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.假設AC a,BDb ,那么AF A1 1 21 1 1 1 2 -A.-abB. -a-bC. -a -bD. - a b42332433例10、向量a(y3sin x,cosx),b (cosx,cosx):,函數(shù) f (x) 2a b 1求f(x)的最小正周期；當X【6, 2時，假設f(x) 1,求X的值COS：，噸)，且"0,3 3例 11、向量 a = (cos x, sin x) , b =(221求 lab2設函數(shù)f(x) a b +a b，求函數(shù)f (x)的最

14、值與相應的 x的值。提高練習(1, 2)的夾角是180°，且|b| 3 5，那么b ()、選擇題1 以下命題中正確的選項是A OA OBABBABBA0C 0 AB 0DABbCCDAD2 設點 A(2,0)，B(4,2),假設點P在直線AB上，且ABA (3,1)B(1,1)C (3,1)或(1,1) D無數(shù)多個2AP，那么點P的坐標為3 假設平面向量b與向量a向量 a (2,3)，b (1,2)，假設ma b與a 2b平行，那么m等于A 2 B2 C1 D122設 a (3,sin2)，b(cos,3)，且a / b，那么銳角為A 300 B600 C750D450A ( 3,6

15、) B(3, 6) C (6, 3) D ( 6,3)45二、填空題1 假設|a | 1,|b| 2,c a b，且c a，那么向量a與b的夾角為2向量a (1,2)，b ( 2,3)，c (4,1)，假設用a和b表示c ,那么c=3假設|a 1, |b 2，a與b的夾角為600，假設(3a 5b) (ma b)，那么m的值為4 假設菱形ABCD的邊長為2，那么AB CB CD 5 假設a = (2,3)，b=( 4,7)，那么a在b上的投影為 三、解答題a (cos ,sin )， b (cos ,sin )， 其中0(1) 求證：a b與a b互相垂直；1 .設點P3, -6，Q-5 ,

16、2，R的縱坐標為-9，且P、Q R三點共線，那么R點的橫坐標為A 、-9B、-6C、9D、62. =(2,3),b=(-4,7)，那么在b上的投影為。A 、B、CD、3 .設點A1, 2，B3, 5，將向量按向量=-1 , -1平移后得向量為丨。A、2,3B、1, 2C、 3, 4D、4, 7假設ka b與a kb的長度相等，求的值k為非零的常數(shù)4 .假設a+b+cb+c-a=3bc ，且 sinA=sinBcosC，那么 ABC。A 、直角三角形B、等邊三角形 C等腰三角形D、等腰直角三角形5. |=4, | b|=3,與b的夾角為60°,那么|+ b|等于。 A 、 B C D6

17、. 向量=,求向量b,使|b|=2| ，并且與b的夾角為。課后作業(yè)一、選擇題1. 在厶ABC中，一定成立的是A. asin A=bsin BB.acosA=bcosBC. asin B=bsinA D.acos B=bcosA2. A ABC中, sin 2A=sin 2B+sin 2C，那么 ABC為A .直角三角形B.等腰直角三角形C .等邊三角形D.等腰三角形3. 在 ABC中，較短的兩邊為 a 2 2,b2 3,且A=45°,那么角C的大小是A. 15°B.75C.120 °D.60°4. 在 ABC中, |AB| 4,| AC | 1,S AB

18、C 3,那么 AB AC 等于A.- 2B.2C.土 2D.± 4a 15 .設A是厶ABC中的最小角，且cos A ，那么實數(shù)a的取值圍是a 1A. a?3B. a> 1C. 1v aw 3D. a> 06.在 ABC中 ,三邊長 AB= 7, BO5, AG6，那么 AB BC 等于A. 19B. 14C. 18D. 197 .在 ABC中, A> B是sin A> sin B成立的什么條件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要&假設 ABC的3條邊的長分別為3, 4, 6，那么它的較大的銳角的平分線分三角形所成的兩個三角形的 面積比是A. 1: 1B. 1 : 2C.1: 4D.3 : 49. 向量a (1,1) , b (2,3)，假設ka 2b與a垂直