數(shù)列教材分析與教學建議

1、 房山區(qū)教師進修學校 張吉一、課標要求（1）數(shù)列的概念和簡單表示法通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列通過實例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和的公式。能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題。體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關系。二、高考說明要求（1）數(shù)列的概念和表示法（要求層次B）（2）等差數(shù)列的概念（要求層次B）（3）等比數(shù)列的概念（要求層次B）（4）等差數(shù)列的通項公式與前項和公式（要求層次C）（5

2、）等比數(shù)列的通項公式與前項和公式（要求層次C）三、基本特色1.  用函數(shù)的觀點和遞推的觀點理解數(shù)列，加強數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系。2.  應用代數(shù)的基本方法和技能解數(shù)列問題。  3.  數(shù)列的相關計算，貫徹算法思想。四、值得研討的問題1數(shù)列在高中數(shù)學中的教育價值是什么？（1）世界觀的形成客觀性數(shù)列雖然是人類思維的產(chǎn)物，屬于主觀范疇。人們可以發(fā)揮自由想象，去創(chuàng)造各種數(shù)列。但是數(shù)列又有“理性的內涵”，它又具備了客觀性。這種兩重性，是數(shù)學學科特有的，其它學科是不具有的，因此數(shù)列是人類思維與自然界之間的一座橋梁，通過數(shù)列的學習，學生會更加貼近自然。普遍聯(lián)系數(shù)列是最講究事

3、物間普遍聯(lián)系的。它是廣泛存在于眾多事物之間的結果，如天體距離的研究、放射性物質的衰變可用數(shù)列來討論、國內生產(chǎn)總值GDP數(shù)據(jù)可以用數(shù)列來排序、居民住房消費貸款的還款利息可以用數(shù)列來計算。數(shù)列本身與其它數(shù)學知識之間存在著廣泛的聯(lián)系。如函數(shù)、方程、不等式、幾何、三角等之間的聯(lián)系：數(shù)列是特殊的函數(shù)，它的解決與函數(shù)、方程、不等式有關；同時，幾何、三角中也存在著數(shù)列。同時數(shù)列內部各部分之間也存在著聯(lián)系：比如通項與前項和之間的關系，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的關系：若是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列。運動變化數(shù)列研究的是一列數(shù)的排列規(guī)律，即變化規(guī)律。它強有力地表現(xiàn)著變化。并且我們在研究數(shù)

4、列的排序時，正是研究數(shù)列在“變化中的不變性”，即數(shù)列的性質。以等差數(shù)列為例，當數(shù)列是等差數(shù)列時，無論序號如何變化，但總成立；當數(shù)列是等比數(shù)列時，無論序號如何變化，但總成立。指導實踐數(shù)列與小行星的發(fā)現(xiàn)中，就從科學史上的一個真實故事出發(fā)，引出了與本章內容相關的問題，使學生體會了科學家探索真理的精神（如：大膽的假設，小心的求證），感悟數(shù)學在人類社會發(fā)展中的重要作用；等差數(shù)列求和中的高斯思想，又可引出數(shù)學史上的一段佳話；北京天壇圓丘地面問題是中國傳統(tǒng)文化與數(shù)學的完美結合；等差數(shù)列中數(shù)與形的交融反映的是一種數(shù)學美；儲蓄問題則反映了數(shù)學的社會需求   。（2）思維的訓練“公理

5、化”體系數(shù)列的整章內容，以從數(shù)列的原始概念“按一定順序排成的一列數(shù)，叫數(shù)列”出發(fā)。以此為基礎，并由此作為出發(fā)點，再引出數(shù)列的項、首項、末項、項數(shù)、通項、前項和、有窮數(shù)列、無究數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、等推公式等一系列概念、公式、性質，由此形成了“數(shù)列”一章的“公理化”體系，成為解決數(shù)列問題的工具。歸納的完全性初學數(shù)列的同學經(jīng)常用不完全歸納法得到一個數(shù)學結論，當老師指出方法不正確時，學生很難理解和接受。從數(shù)學的角度來分析，不完全歸納法得到一個數(shù)學結論不具有普遍意義，因為這種做法可能有例外的情況發(fā)生。因引數(shù)學中要求的是完全歸納法。例如：利用等差列的定義：，求通項公式。解：，歸納得到：這種做法是不完

6、全歸納法，得到的結果是不可靠的，是需要證明的。當歸納是完全的，那就是明確的邏輯要求了。演繹思維對于上面同樣一個問題，如果學生作這樣處理：(1)(2)(3)()()將上述個式子相加得這種處理過程是演繹推理，以等差數(shù)列的定義為基礎，通過大家認可的嚴格的變換過程，得到等差數(shù)列的通項公式。但作為學生來說，不好區(qū)分這兩種方法，往往會把不完全歸納法當作完全歸納法，需要老師在平時訓練中形成學生對這兩種方法的認識。一門學科是否形成了演繹思維體系，是用來判斷這處學科是否成熟的標志，所以演繹思維體是邏輯思維的代表。（3）數(shù)學思想的滲透函數(shù)作為中學數(shù)學教學的一條主線貫穿于整體中學數(shù)學教學的始終。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)

7、，學習數(shù)列有助于學生進一步認識和理解函數(shù)思想。函數(shù)思想貫穿于高中數(shù)學的始終，在其他必修內容中出現(xiàn)的函數(shù)基本上是連續(xù)函數(shù)，但數(shù)列作為函數(shù)，它的定義域是離散的正整數(shù)。對數(shù)列內容的處理，突出了函數(shù)思想、數(shù)學模型思想以及離散與連續(xù)的關系。（4）體現(xiàn)數(shù)學中的美科學家對數(shù)學美的追求，往往體反映在簡潔性與統(tǒng)一性上?！昂啙嵭浴奔础昂啙嵜馈?，“統(tǒng)一性”主要體現(xiàn)在“對稱美”。數(shù)列教學中，簡潔美和對稱美都體現(xiàn)得比較充分。比如：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9是被公認的“絕妙”的符號，所有數(shù)列是由它們構成的；表示數(shù)列的第項；表示一個數(shù)列；表示數(shù)列的前項和；表示等差數(shù)列的定義；表示等比數(shù)列的定義；表示數(shù)列若干項的

8、和；表示數(shù)列若干項的積。這些符號，在數(shù)列學習中要廣泛應用，與其它符號一起構成了數(shù)學中的符號語言。不公具有簡潔美，而且還是普通文字語言無法取代的。（2）對稱美概念的對稱：數(shù)列的首項與數(shù)列的末項；等差與等比；有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；遞增數(shù)列與遞減數(shù)列；等差數(shù)列與等比數(shù)列；等差中項與等比中項。性質的對稱：在項數(shù)有限的等差數(shù)列中，到首末兩端等距離的項的和相等，即在項數(shù)有限的等比數(shù)列中，到首末兩端等距離的項的積相等，即；在項數(shù)有限的等差數(shù)列中，當項數(shù)為奇數(shù)時，首項與末項的和等于中間一項的二倍，即在項數(shù)有限的等比數(shù)列中，當項數(shù)為奇數(shù)時，首項與末項的積等于中間一項的平方，即命題的對稱性當數(shù)列是等差數(shù)列時，則數(shù)列

9、也是等差數(shù)列；當數(shù)列是比差數(shù)列時，則數(shù)列（）也是等比數(shù)列；當數(shù)列是等差數(shù)列時，則數(shù)列也是等差數(shù)列；第一、三個命題都與第二個命題對稱。2在數(shù)列的教學中如何培養(yǎng)學生的計算、推理能力？（1）運算能力的培養(yǎng)運算能力是解決數(shù)學問題的一種必備能力，它與記憶能力、理解能力、推理能力、表達能力以及思維能力等諸多因素相互滲透、協(xié)調發(fā)展。培養(yǎng)學生的運算能力，有助于學生的分析能力、推理能力的提高，同時能把復雜問題簡單化，可以減少計算的步驟，提高解題速度，使學生解題和運算過程更加科學化、合理化。數(shù)列教學內容是訓練和培養(yǎng)學生運算能力的良好素材。熟練基本運算方法，抓基本概念和公式對于等差數(shù)列與等比數(shù)列，抓基本概念和公式，

10、從首項和公差(比)人手，是解決等差(比)數(shù)列問題的基本途徑和方法。優(yōu)化運算思維過程，抓觀點與性質運算是一種綜合能力，它不可能孤立存在。而且與觀察力、注意力、記憶力、理解力、推理能力、表達能力等相互滲透、相互影響，優(yōu)化運算思維過程，培養(yǎng)學生正確、簡潔、富有創(chuàng)造性的運算能力和品質，從而逐步形成解決實際問題的能力。第一， 用函數(shù)的觀點審視數(shù)列問題數(shù)列是特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的觀點解決數(shù)列問題，有時顯得既簡潔，又方便。例1已知數(shù)列的通項公式為，則它的前30項中最大項是第_項，最小項是第_項.例2已知數(shù)列的通項公式為,則數(shù)列最大項是第_項.第二， 用等差（比）數(shù)列的性質在解決數(shù)列問題時，利用等差數(shù)列與等比

11、數(shù)列的性質，可以使運算得到簡化。等差數(shù)列前n項和為。已知+-=0，=38,則m=_.等比數(shù)列中,且=81,則=_.培養(yǎng)綜合運算能力，抓聯(lián)系與滲透運算能力是具有層次性的，這就要求老師在教學中按由單一運算到復習雜運算，再到綜合運算的步驟來培養(yǎng)學生的運算能力。第一， 等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式、前項公式的基本運算等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前項和公式是解決所有數(shù)列問題的基礎，絕大多數(shù)的數(shù)列問題經(jīng)過化歸、轉化之后，可以用等差、等比數(shù)列解決，所以，等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式、前項公式的運算對數(shù)列運算是非常重要的。例1等差數(shù)列、中,已知其前項和分別為和,且,則=_.例2等比數(shù)列的公比, 已知=1，則的前

12、4項和= .例3設是定義在上不為零的函數(shù)，對任意，都有，若，則數(shù)列的前項和的取值范圍是.第二，數(shù)列通項公式與前項和之間的關系運算例1已知數(shù)列數(shù)列滿足:。則通項公式是_.例2數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求（1）a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項公式；（2）的值.解：（1）由a1=1，n=1，2，3，得，由（n2），得（n2），又a2=，所以an=(n2),數(shù)列an的通項公式為；（2）由（1）可知是首項為，公比為項數(shù)為n的等比數(shù)列，=第三，等差（比）數(shù)列與其它知識之間的綜合運算例1數(shù)列的前項和為，第項滿足，則_.例2在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖

13、象上，且的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數(shù)列（I）求點的坐標；（II）設拋物線列,中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：；（III）設，等差數(shù)列的任一項，其中是中的最大數(shù)，求的通項公式解：（I）（II）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設的方程為：把代入上式，得，的方程為：.當時，=（III），T中最大數(shù).設公差為，則，由此得培養(yǎng)中學生的運算能力要加強運算練習。任何能力都是在一定的實踐活動中形成和發(fā)展起來的，為了有效的提高學生的運算能力就必須加強練習，其中練習要有目的性、系統(tǒng)性、典型性。通過一題多變、一題多改、一題多解、一法多用，培養(yǎng)運算的熟

14、練性、準確性、迅速性、靈活性、合理性。教師還應把握好數(shù)學課堂對學生運算能力培養(yǎng)的積極作用，課后并以題組訓練的形式培養(yǎng)學生運算過程中思維的深刻性，并注重題目難度系數(shù)的合理安排，使學生在提高運算能力的同時又不失學習數(shù)學的興趣。（2）推理能力的培養(yǎng)推理包括合情推理與演繹推理兩類。其中合情推理的實質是“發(fā)現(xiàn)-猜想”，牛頓早就說過：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”，合情推理能力往往與創(chuàng)新能力緊密相關。例如海王星的發(fā)現(xiàn)，就是利用類比推理，借助數(shù)學運算而發(fā)現(xiàn)的。中學階段是學生思維發(fā)展的關鍵期，培養(yǎng)該階段學生的合情推理能力具有重要意義。而演繹推理是數(shù)學中基本的推理方法。重視運算過程，培養(yǎng)學生的推理能力。高

15、中數(shù)學課程的目標之一是提高學生的運算能力，運算能力是高中生的基本數(shù)學能力，也是高考重點考查的能力之一，但是對于現(xiàn)在的學生，卻對運算有種恐懼的感覺，為什么？運算中有推理，對于代數(shù)運算不僅要求會計算，而且要求明白算理，能說出運算中每一步所涉及的運算律和法則。因此在運算過程中，要充分展現(xiàn)推理和推理過程，逐步培養(yǎng)學生合情推理能力。例1 等比數(shù)列的通項公式的推理：方法1：（合情推理：不完全歸納法）根據(jù)等比數(shù)列的定義： ，,由此歸納，方法2：（演繹推理）根據(jù)等比數(shù)列的定義： (1)(2)(3)(n-1)將以上n-1個式子相乘，得例2等比數(shù)列前項和公式的推導方法1：錯位相減法當時(1)(2)(1)-(2)得

16、當時，方法2：提取公比方法3：利用等比定理當時當時，方法4：遞推法當時當時，方法5：解方程組法當時（1）-（2）得當時，方法6：合情推理歸納推理當時當時，不同的推導方法，代表了不同思維方式，反映不同的數(shù)學思想，教學中抓住了這些方法，著力在這些地方做文章，對培養(yǎng)學生的運算能力、推理能力、辯證思維都有很大好處，同時，滲透著化歸轉化的數(shù)學思想，加深學生對等比數(shù)列的再認識。例3等差數(shù)列前項和公式方法1：倒序相加法（1）（2）（1）+（2）得方法2：對項數(shù)分類討論當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，方法3：合情推理歸納推理引導學生觀察，培養(yǎng)學生的合情推理能力合情推理并非盲目的、漫無邊際的胡亂猜想。它是以數(shù)學中某些已

17、知事實為基礎，通過選擇恰當?shù)膯栴}創(chuàng)設情境，引導學生觀察。觀察是人們認識客觀世界的門戶。觀察可以調動學生的各種感官，在已有知識的基礎上產(chǎn)生聯(lián)想，通過觀察還可以減少猜想的盲目性。同時觀察力也是人的一種重要能力。所以在教學中要給學生必要的時間和空間進行觀察，培養(yǎng)良好的觀察習慣，提高觀察力，發(fā)展合理推理能力。例1設等差數(shù)列的前項和為，則，成等差數(shù)列類比以上結論有：設等比數(shù)列的前項積為，則，_，_成等比數(shù)列（）例2已知數(shù)列數(shù)列滿足:則通項公式是_。利用數(shù)學歸納，培養(yǎng)學生的合情推理能力歸納推理是思維過程中從特殊到一般的推理，也是合情推理的主要形式之一。在解決一些數(shù)列問題時，往往讓學生們先大膽的歸納猜測，再

18、進行推理證明。而現(xiàn)實生活中一些數(shù)據(jù)統(tǒng)計、信息采集、產(chǎn)品檢驗等都是采用歸納推理。例1由數(shù)列的前四項：，1 ，歸納出通項公式an =_(nN)（）例2在各項為正的數(shù)列中，數(shù)列的前n項和滿足（1） 求；（2） 由（1）猜想數(shù)列的通項公式；（3） 求。（解：（1）；（2）；（3）.）借助類比探討，培養(yǎng)學生的合情推理能力類比推理是思維過程中由特殊到特殊的推理，是合情推理的主要形式之一，對于相互有聯(lián)系的命題進行類比分析，有利于學生對問題的更深層次的認識，更有利于學生對問題規(guī)律的探尋。如等比數(shù)列與等差數(shù)列的類比，有利于學生弄清楚二者的區(qū)別與聯(lián)系，事半功倍。例1若數(shù)列，(nN)是等差數(shù)列,則有數(shù)列b=(nN)

19、也是等差數(shù)列，類比上述性質，相應地：若數(shù)列c是等比數(shù)列,且c0(nN)，則有d=(nN)也是等比數(shù)列（）例2等差數(shù)列的定義：一個數(shù)列，從第二起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列叫等差數(shù)列。類比等差數(shù)列的定義，等和數(shù)列可以這樣定義：；首項為2 ，公和為3 的等和數(shù)的前項的和=。（一個數(shù)列，從第二起，每一項與它前一項的和等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列叫等和數(shù)列。）五、地位與作用數(shù)列是一個古老的數(shù)學問題，也是近代數(shù)學研究的重要對象。在整個中學數(shù)學教學內容中，數(shù)列處于一個知識匯合點的地位，很多知識都與數(shù)列有著密切聯(lián)系，數(shù)、式、方程、函數(shù)、不等式、簡易邏輯等知識在這些章均得到了較為充分的應用，數(shù)列

20、正是在將各知識溝通方面發(fā)揮了重要作用，由于不少關于恒等變形、解方程(組)以及一些帶有綜合性的數(shù)學問題都與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關，學習這一章便于對學生進行綜合訓練，從而有助于培養(yǎng)學生綜合運用知識解決問題的能力，學習數(shù)列有助于培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、猜想以及分析和解決問題的綜合能力，數(shù)列與函數(shù)、三角、不等式、數(shù)學歸納法、解析幾何、應用問題等有著廣泛的聯(lián)系，有很強的綜合性，是高中代數(shù)中培養(yǎng)學生綜合能力的良好素材。六、本章重點、難點1重點：（1）數(shù)列的概念；（2）等差數(shù)列的通項公式與前項和公式；（3）等比數(shù)列的通項公式與前項和公式。2難點：（1）等差數(shù)列的通項公式與前項和公式的推導及應用；（2）等比

21、數(shù)列的通項公式與前項和公式的推導及應用。七、教學內容安排 本章共有三大節(jié)，教學約需12課時，具體分配如下：節(jié)次內容課時2.1數(shù)列2課時2.11等差數(shù)列1課時2.12數(shù)列的遞推公式1課時2.2等差數(shù)列4課時2.21等差數(shù)列2課時222等差數(shù)列的前項和2課時23等比數(shù)列4課時231等比數(shù)列2課時232等比數(shù)列的前項和2課時小結與復習2課時八、教學建議    (一)把握好本章的教學要求由于本章聯(lián)系的知識面廣，具有知識交匯點的特點，在應試教育的“一步到位”的教育思想的影響下，本章的教學要求很容易拔高，過早地進行針對“高考” 的綜合性訓練，從而影響了基本

22、內容的學習和加重了學生負擔事實上，學習是一個不斷深化的過程。作為在高一(上)學習的這一章，應致力于打好基礎并進行初步的綜合訓練，在后續(xù)的學習中通過對本章內容的不斷應用來獲得鞏固和提高。最后在高三數(shù)學總復習時，通過知識的系統(tǒng)梳理和進一步的綜合訓練使對本章內容的掌握上升到一個新的檔次。為此，本章教學中應特別注意一些容易膨脹的地方。例如在學習數(shù)列的遞推公式時，不要去搞涉及遞推公式變形的論證、計算問題，只要會根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項就行了；在研究數(shù)列求和問題時，不要涉及過多的技巧.(二)有意識地復習和深化初中所學內容    對于初中學過的多數(shù)知識在高中沒有系

23、統(tǒng)深入學習的機會。而初中內容是學習高中數(shù)學的必要基礎，因而在學習高中內容時有意識地復習、深化初中內容顯得特別重要。本章是高中數(shù)學的第三章，距離初中數(shù)學較近，與初中數(shù)學的聯(lián)系最廣，因而教學中應在溝通初、高中數(shù)學方面盡可能多地作一些努力。   (三)適當加強本章內容與函數(shù)的聯(lián)系    適當加強這種聯(lián)系，不僅有利于知識的融匯貫通，加深對數(shù)列的理解，運用函數(shù)的觀點和方法解決有關數(shù)列的問題，而且反過來可使學生對函數(shù)的認識深化一步比如，學生在此之前接觸的函數(shù)一般是自變量連續(xù)變化的函數(shù)，而到本章接觸到數(shù)列這種自變量離散變化的函數(shù)之后，就能

24、進一步理解函數(shù)的一般定義，防止了前面內容安排可能產(chǎn)生的學生認識上的負遷移；    本章內容與函數(shù)的聯(lián)系涉及以下幾個方面：    1數(shù)列概念與函數(shù)概念的聯(lián)系。    相應于數(shù)列是一種定義域為正整數(shù)集(或它的前n個數(shù)組成的有限子集)的函數(shù)，它是一種自變量“等距離”地離散取值的函數(shù)，從這個意義上看，它豐富了學生所接觸的函數(shù)概念的范圍。但數(shù)列與函數(shù)并不能劃等號，數(shù)列是相應函數(shù)的一系列函數(shù)值?；谝陨下?lián)系，數(shù)列也可用圖象表示，從而可利用圖象的直觀性來研究數(shù)列的性質。數(shù)列的通項公式實際上

25、是相應因數(shù)的解析表達式。而數(shù)列的遞推公式也是表示相應函數(shù)的一種方式，因為只要給定一個自變量的值n，就可以通過遞推公式確定相應的f(n)。這也反過來說明作為一個函數(shù)并不一定存在直接表示因變量與自變量關系的解析式。     2等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的聯(lián)系。    從等差數(shù)列的通項公式可以知道，公差不為零的等差數(shù)列的每一項a是關于項數(shù)n的一次函數(shù)式于是可以利用一次函數(shù)的性質來認識等差數(shù)列。例如，根據(jù)一次函數(shù)的圖象是一條直線和直線由兩個點唯一確定的性質，就容易理解為什么兩項可以確定一個等差數(shù)列。  

26、; 此外，首項為、公差為d的等差數(shù)列前n項和的公式可以寫為：=An2+Bn(A=,B=)    即當時，是n的二次函數(shù)式，于是可以運用二次函數(shù)的觀點和方法來認識求等差數(shù)列前n項和的問題如可以根據(jù)二次函數(shù)的圖象了解的增減變化、極值等情況。    3等比數(shù)列與指數(shù)型函數(shù)的聯(lián)系。    由于首項為、公比為q的等比數(shù)列的通項公式可以寫成=kqn-k,(k=),它與指數(shù)函數(shù)y=有著密切聯(lián)系，從而可利用指數(shù)函數(shù)的性質來研究等比數(shù)列。    

27、;(四)注意等差數(shù)列與等比數(shù)列的對比，突出兩類數(shù)列的基本特征    等差數(shù)列與等比數(shù)列在內容上是完全平行的，包括：定義、性質(等差還是等比)、通項公式、前n項和的公式、兩個數(shù)的等差(等比)中項。具體問題里成等差(等比)數(shù)列的三個數(shù)的設法等。因此在教學與復習時可采用對比方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。順便指出，一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的充要條件是它是非零的常數(shù)列。    教學中應強調，等差數(shù)列的基本性質是“等差”，等比數(shù)列的基本性質是“等比”，這是我們研究有關兩類數(shù)列的主要出發(fā)點，是判斷、證明一個數(shù)列是

28、否為等差 (等比)數(shù)列和解決其他問題的一種基本方法。要讓學生注意，這里的“等差”(“等比”)，是對任意相鄰兩項來說的。    上述基本性質，引申出兩類數(shù)列的一種對稱性：即與數(shù)列中的任一項“等距離”的兩項之和(之積)等于該項的2倍(平方).    利用上述性質，常使一些問題變得簡便。對于學有余力的學生，還可指出等差數(shù)列與等比數(shù)列描述了兩種最簡單、最重要的變化：等差數(shù)列描述的是一種絕對均勻變化，等比數(shù)列描述的是一種相對均勻變化，非均勻變化通常要轉化或近似成均勻變化來進行研究，這就成為教材之所以重點研究等差數(shù)列與等比數(shù)列

29、的主要原因所在。    (五)注意培養(yǎng)學生初步綜合運用觀察、分析、歸納、猜想、證明、數(shù)學建模等方法及應用能力，突出學生的數(shù)據(jù)處理、轉化化歸、代數(shù)推理和數(shù)學思想方法的提煉和運用能力    綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數(shù)學，是一種非常重要的學習能力事實上，在問題探索求解中，常常是先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點，形成解決問題的初步思路；然后用歸納方法進行試探，提出猜想；最后采用證明方法(或舉反例)來檢驗所提出的猜想應該指出，能夠充分進行上述研究方法訓練的素材在高中數(shù)學里并非很多，而在本章里卻多次提供了這種訓練機

30、會，因而在教學中應該充分利用，不要輕易放過。  (六)注意在啟發(fā)學生思維上下功夫    本章內容，是培養(yǎng)學生觀察問題、啟發(fā)學生思考問題的好素材，使學生在獲得知識的基礎上，觀察和思維能力得到提高。比如，等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式的推導方法比公式本身重要。推導這些公式，能突出數(shù)學方法，提高學生思維能力。        （七)加強推理論證和計算能力的培養(yǎng)    考慮到新課標更加重視對學生邏輯思維能力和計算能力的培養(yǎng)，在前面

31、兩個模塊中已經(jīng)滲透了一部分，因此本章在推理論證方面有所加強。  (八)注意滲透一些重要的數(shù)學思想方法    由于本章處在知識交匯點的地位，所蘊含的數(shù)學思想方法較為豐富，教材在這方面也力求充分挖掘。教材注意從函數(shù)的觀點去看數(shù)列，在這種整體的、動態(tài)的觀點之下使數(shù)列的一些性質顯現(xiàn)得更加清楚，某些問題也能得到更好的解決，不少的例、習題均屬這種模式：已知數(shù)列滿足某某條件，求這個數(shù)列。這類問題一般都要通過列出方程或方程組，然后求解，利用的是函數(shù)與方程的思想；關于遞推的思想方法，不僅在數(shù)列的遞推公式里有所體現(xiàn)觀察、歸納、猜想、證明等思想方法的組合運

32、用在本章里得到了充分展示為學生了解它們各自的作用、相互間的關系并進行初步運用提供了條件。推導等差、等比數(shù)列通項公式的方法也很重要，要高度重視。九、分節(jié)分析（一）21數(shù)列（2課時） 教材對一般數(shù)列的概念，要求較高。建議安排兩節(jié)課。這一節(jié)學好了，下面兩節(jié)，就可引導學生自主探索學習。211數(shù)列（概念）1教學要求 （1）理解數(shù)列、數(shù)列通項及其相關概念； （2）理解通項公式是函數(shù)關系，能用函數(shù)和映射的觀點認識數(shù)列，了解遞增和遞減數(shù)列的概念。2內容分析（1）數(shù)列的概念：按昭一定次序排成的一列數(shù)。每一個數(shù)叫數(shù)列的項。（2）數(shù)列的表示：，,;通項公式表示；遞推公式表示。（3）通項

33、公式：數(shù)列的第項與序號之間的一個函數(shù)關系式。（4）數(shù)列的分類：按項數(shù)：有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；類比函數(shù)的單調性：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列；擺動數(shù)列。3本節(jié)重點、難點（1）重點：（1）數(shù)列的概念；（2）數(shù)列的通項公式。（2）難點：求數(shù)列的通項公式。4教學建議（1）引導學生從集合與映射的角度認識數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，特殊在定義域不連續(xù)，故圖象是一引起孤立的點。（2）舉例引出數(shù)列的概念。書中7個例子，數(shù)的排列都是有規(guī)律的，其實數(shù)列的各項也可能是隨機的，沒有什么規(guī)律。（3）可先寫出幾個通項公式的例子，再給出一般通項公式的函數(shù)表示：an=f(n)。對應法則f可用公式、列表或圖象給出，定義域為非零自然數(shù)或其

34、子集。教學時，要注意函數(shù)定義域的表述。符號N+與N*表示正整數(shù)或非0自然數(shù)。（4）例1可由學生自己完成。例2中的3個小題，都要通過觀察，并分析數(shù)的性質，有一定的難度。教學時可由教師引導，由學生完成。設計例3和思考與討論是為了加強數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系。用研究函數(shù)性質的方法研究數(shù)列的性質。對例3的教學要給予重視。（5）引導學生明白已知幾項，如何歸納數(shù)列的通項公式。5例題分析212 數(shù)列的遞推公式 課標對遞推公式?jīng)]有明確要求，考慮到它在認識數(shù)列中的作用，課本把它單列一節(jié)作為選學。建議大家還是把它作為必學內容。 1教學要求： （1）理解用遞推公式定義數(shù)列的方法； （

35、2）能用數(shù)列的遞推公式和首項，寫出數(shù)列的后續(xù)各項。2內容分析（1）數(shù)列的遞推公式：已知數(shù)列的第一項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）之間的關系可以用一個公式表示，則這個公式叫這個數(shù)列的遞推公式。（2）數(shù)列的遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。3本節(jié)重點、難點（1）重點：理解數(shù)列遞推公式的意義。（2）難點：數(shù)列遞推公式的應用。4教學建議： （1）通過實例引入數(shù)列的遞推公式。數(shù)列的遞推公式應包括數(shù)列的首項值和公式本身。讓學生體會，給出首項和遞推公式，就可唯一確定一個數(shù)列。 （2）通過例1及其邊注中的提問，讓學生進一步體會，數(shù)列兩種表示方法的特色

36、。用遞推公式寫出數(shù)列的前幾項后，引導學生觀察、歸納并猜想該數(shù)列的通項公式，雖有一定的難度，但學生應有這個能力。 （3）也可以不代入a1的值，由依次計算的結果，可能更容易看到an與n的函數(shù)關系：  （4）例2的難度更大些，要求學生有較堅實的數(shù)形結合基礎和解題能力。這種解題的綜合能力，要努力去訓練，學生才能掌握。其實，學生只須掌握點的坐標概念、會求兩個已知函數(shù)的函數(shù)值，就能夠理解此題的解法。具體講解時，可把P1、P2、P3的坐標都寫出來讓學生觀察，發(fā)現(xiàn)an與an+1間的關系。  （5）練習A、B全做。習題2-1B選做。探索與研究留給學有余力的學生做。（6）引

37、導學生重視本節(jié)課的教學。（二）22 等差數(shù)列（4課時）221等差數(shù)列（2課時）1教學要求： （1）掌握等差數(shù)列的遞推定義：an-an-1=d或an=an-1+d，掌握等差數(shù)列的通項公式；（2）掌握等差中項的概念，用等差中項的概念，進一步理解等差數(shù)列的特征性質：從第二項起，每一項都是前后項的等差中項； （3）理解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系：等差數(shù)列是一次函數(shù)在非零自然數(shù)集（或其子集）上的限定。（4）要求學生能按算法的思路，解與等差數(shù)列的有關問題。2內容分析（1）定義：；（2）通項公式：，；（3）等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫，的等差中項，且A=；（4）證明數(shù)列為等差數(shù)列的方法：

38、定義法：；中項法：；（5）等差數(shù)列的性質若，則；若，則；=奇數(shù)項也是等差數(shù)列，其首項為，公差為；偶數(shù)項也是等差數(shù)列，其首項為，公差為；，也是等差數(shù)列；,也是等差數(shù)列。3本節(jié)重點、難點（1）重點：等差數(shù)列的概念；等差數(shù)列的通項公式。（2）難點：對等差數(shù)列的概念和通項公式的理解。4教學建議（1）引導學理解等差數(shù)列的概念：，讓學生體會兩點：第一，從第二項起，每一項與其前一項的差均可以寫成；第二，差等于同一個常數(shù)。（2）先用歸納的方法猜想等差數(shù)列的通項公式，再用迭加法加以證明，歸納猜想和迭加都很重要，引導學生認真領會和應用。（3）等差數(shù)列的通項公式可改寫成：，再聯(lián)想一次函數(shù)（是常數(shù)），可以得到：數(shù)列是

39、等差數(shù)列的充要條件是：（是常數(shù)）兩個獨立的條件可以確定等差數(shù)列的通項公式；表示等差數(shù)列圖象的點均在一條直線上，這條直線的斜率為。（4）用實例給出等差數(shù)列的遞推公式，先用語言敘述，再用公式an-an-1=d或an=an-1+d，表達。（5）講解例1，鞏固定義。（6）引導學生用歸納法，推導通項公式。（7）例2到例5，都是等差數(shù)列通項公式的靈活運用。在數(shù)列問題中，最好明確解方程的思路。如例1，依題意可列方程組 然后解方程組求d。這樣，可培養(yǎng)學生按算法步驟解問題的良好習慣。（8）練習A、B全做。練習B第2題，引導學生進一步深入思考等差數(shù)列的一些常用性質。學生完成作業(yè)后，最好課上討論一下，擴展

40、學生對等差數(shù)列的理解。（9）關于等差中項常見的有：，還有。（10）本節(jié)教材突出數(shù)學建模、類比、歸納猜想、迭加法等數(shù)學方法，注意滲透和強化。5例題分析222 等差數(shù)列的前n項和（2課時）1教學要求：（1）熟練掌握求等差數(shù)列的前n項和的公式；（2）掌握求和公式的推導的方法。2內容分析（1）等差數(shù)列的前項和公式：前n項和公式：；（從第項到第項的和）（2）公式的變形，= =，是關于的二次函數(shù)，沒有常數(shù)項。（3）已知，利用關系式求通項。3本節(jié)重點、難點（1）重點：等差數(shù)列前項和公式。（2）難點：等差數(shù)列前項和公式的推導和應用。4教學建議（1）教材引入等差數(shù)列的前項和公式是通過一個實例引入的，通過實例，使

41、學生理解等差數(shù)列前項和的意義，并了解倒序相加法求和，在此基礎上推導等差數(shù)列的求和公式，體現(xiàn)了由具體到抽象的認知規(guī)律，體現(xiàn)了知識的形成過程，要高度重視。（2）在講求和公式推導時，應指出其運算的依據(jù)是等式性質和數(shù)運算的通性(交換律與結合律)。養(yǎng)成學生邏輯思維的習慣。（3）通過思考與討論，分析通項公式與求和公式之間的關系。一個為n的一次函數(shù)，一個為n的二次函數(shù)，并且這個二次函數(shù)沒有常數(shù)項。（4）引導學生思考，如何由求和公式求通項公式。（5）例1直接應用求和公式求和，屬于等差數(shù)列中，由五個量知三求二的問題。（6）例2，介紹由求和公式求通項公式的方法，分析求和公式與二次函數(shù)的聯(lián)系。從具體到抽象，討論的是

42、同一個問題，研究的是以下一組問題：已知數(shù)列的前項和公式，利用公式；等差數(shù)列的前項和是關于的二次函數(shù)，且沒有常數(shù)項，（是常數(shù)），同樣，當一個數(shù)列的前項和是（是常數(shù)）形式時，這個數(shù)列一定是等差數(shù)列。類比二次函數(shù)，等差數(shù)列前項和存在最值問題：方法1：類似于二次函數(shù)，利用配方法求項點的坐標，要注意；方法2：先求通項公式，若數(shù)列的前項和最大，若，則數(shù)列的前項和最小。研究以上一組問題，重在思維的訓練、技能的提高，最終落實到“等差數(shù)列的前項和公式是（是常數(shù)）”的認識上。（7）例3，是一道有關“教育儲蓄”、“零存整取”的問題，是等差數(shù)列的簡單應用，是重點問題，分析題中的數(shù)量關系，得出算式求解。（8）習題2-2

43、B的3、4、5、6都有一定的難度，建議選做。（9）探索與研究留給學有余力的學生選做。（三）22 等比數(shù)列（4課時）221等比數(shù)列1教學要求：（1）掌握等比數(shù)列的遞推定義：an+1=anq，掌握等比數(shù)列的通項公式；（2）掌握等比中項的的概念，用等比中項的概念，進一步理解等比數(shù)列的特征性質：從第二項起（除去末項），每一項都是前后項的等比中項；（3）理解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系，等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)在非零自然數(shù)集（或其子集）上的限定；（4）要求學生能按算法的思路，解與等比數(shù)列的有關問題。2內容分析（1）等比數(shù)列的定義：；（2）通項公式：；（3）等比中項：若成等比數(shù)列，則G叫，的等比中項，且；（4）證明

44、數(shù)列為等比數(shù)列的方法：定義法：；中項法：；（5）等比數(shù)列的性質若，則；若，則；=奇數(shù)項也是等比數(shù)列，其首項為，公比為；偶數(shù)項也是等比數(shù)列，其首項為，公比為；，也是等比數(shù)列；,也是等比數(shù)列。3本節(jié)重點、難點（1）重點：等差數(shù)列的概念；等差數(shù)列的通項公式。（2）難點：對等差數(shù)列的概念和通項公式的理解。4教學建議（1）用實例給出等比數(shù)列的遞推定義，先用語言敘述，再用公式表達；（2）引導學生等比數(shù)列的通項公式是，是指數(shù)型函數(shù)；（3）引導學生理解等比數(shù)列的首項，公比均不等于0；（4）引導學生了理解等比數(shù)列也有遞增、遞減、擺動等性質；（5）引導學生用歸納的方法，推導等比數(shù)列的通項公式。（6）講解例1，鞏固

45、等比數(shù)列的定義。（7）分析通項公式與指數(shù)函數(shù)間的關系，并引導學生思考，由求和公式如何求通項公式?（8）通過例2給出了等比數(shù)列的另一個公式：，引導學生理解；（9）用等比中項的概念，進一步分析等比數(shù)列的性質。（10）例3，都是等比數(shù)列通項公式的靈活運用。在解數(shù)列問題中，最好明確已知及已知與未知的關系，根據(jù)列方程和解方程的思路來解。（11）例4，已知a1，a5，未知的是公比q，a2，a3，a4，依題意可列方程組 然后解方程組求q和插入的三項，這樣，可培養(yǎng)學生按算法步驟解問題的良好習慣。本題是應用下列知識解題：；等比數(shù)列的定義；等比中項 （11）講解等比數(shù)時，最好與等差數(shù)列類比進行

46、，幫助學生理解所學知識；（12）練習A、B全做。練習B第2題，引導學生進一步深入思考等差數(shù)列的一些常用性質，學生完成作業(yè)后，最好課上討論一下，擴展學生對等差數(shù)據(jù)列的理解。5例題分析222 等比數(shù)列的前n項和1教學要求：（1）熟練掌握求比數(shù)列的前n項和的公式，掌握求和公式的推導的方法；（2）掌握由初始值、增長率求總和的計算方法。2內容分析（1）n項和公式：，（20推導等比數(shù)列前項和的方法：迭加法。3本節(jié)重點、難點（1）重點：等比數(shù)列前項和公式。（2）難點：等比數(shù)列前項和公式的推導和應用。4教學建議（1）推導等比數(shù)列前項和的方法有兩種：課本使用方法：迭加法；，兩邊同乘以得兩式相減得，故兩種方法，都

47、是從整體入手，構造出關于的方程，解方程得的表達式。（2）在講求和公式推導時，應指出其運算的依據(jù)是等式性質和數(shù)運算的通性(交換律、結合律、分配律)。培養(yǎng)學生邏輯思維的習慣，培養(yǎng)學生的代數(shù)運算技能。（3）課本開頭的引例是一個很好的實際問題，要重視它人作用。（4）例1、例2、例3為求和公式的直接應用，引導學生在分析題意的基礎上，正確運用公式計算，并注意一題多解，培養(yǎng)學生解題能力。（5）例4為等比數(shù)列應用的一個典型例子。通過數(shù)量分析，理解任一月份的計算表達式和求總和的計算方法。（6）習題2-2B的3、4、5、6都有一定的難度，選做。（7）練習A、B全做。習題2-3A全做，B選做。B中的第4題可選為復習

48、課的例題。  （8）建議增加一課時作全章小結。如課時允許，可增加一節(jié)習題課。要注意總結數(shù)列問題的代數(shù)方法。小結中的題目，缺少代數(shù)、三角和幾何的綜合的基本練習題?？蛇m當增加。如： 三角形的三內角成等差數(shù)列，試判斷三角形的形狀。已知一個邊長為a的正三角形，以此正三角形的高線為邊作第二個正三角形，依此類推，求前10個正三角形的面積之和。（9）建議通過習題課，總結歸納求數(shù)列通項公式的方法和數(shù)列的求和方法。5例題分析23數(shù)列的通項公式與數(shù)列的和1求數(shù)列通項公式的方法（1）已知前幾項，歸納出通項公式；（2）已知前項和，利用公式。（3）已知遞推公式求通項已知遞推公式，求出幾項，歸納通項，

49、再證明；遞推公式為：，數(shù)列是等差數(shù)列；遞推公式為：，數(shù)列是等比數(shù)列；遞推公式為：，是關于n的代數(shù)式，用疊加法求通項公式；例1（1）已知數(shù)列滿足:求通項。（2）已知數(shù)列滿足:求通項。遞推公式為：，是關于n的代數(shù)式；用疊乘法求通項公式；例2(1)已知數(shù)列滿足:，求通項公式。 (2)已知數(shù)列=1, 求通項公式。遞推公式為：，兩邊加減常數(shù)構造數(shù)列；例3（1）已知數(shù)列滿足:，求通項公式。（2）已知數(shù)列滿足:，求通項公式。，利用倒數(shù)關系構造新數(shù)列。例4已知數(shù)列數(shù)列滿足:求通項公式。2數(shù)列的求和等差與等比數(shù)列，有專門的求和公式。分項求和：從通項公式入手，把數(shù)列分成幾個基本數(shù)列分別求和，再把所得的和相加。例1

50、已知數(shù)列的通項公式為,求前n項和。裂項求和：從通項公式入手，把數(shù)列的通項公式寫成兩項的差，再求和。例2已知,求其前前n項和.錯位相減求和：一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積構成的新數(shù)列的求和。例3已知數(shù)列的通項公式為，求前前n項和。說明：以上求和方法，一定要講，它是數(shù)列中很重要的內容。（四）小結與復習（2課時）通項公式1知識結構等差數(shù)列前項和公式數(shù)列數(shù)列的應用通項公式等比數(shù)列前項和公式數(shù)列的通項公式與求和2復習等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質，完成下表等差數(shù)列等比數(shù)列定義（遞推公式）通項公式前項和公式等差（比）中項證明數(shù)列等差（比）的方法通項公式的推導方法前項和公式的推導方法性質123456十、練習題重難

51、點：理解數(shù)列的概念，認識數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型，探索并掌握數(shù)列的幾種間單的表示法（列表、圖象、通項公式）；了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律找出可能的通項公式考綱要求：了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)經(jīng)典例題：假設你正在某公司打工，根據(jù)表現(xiàn)，老板給你兩個加薪的方案：（）每年年末加1000元；（）每半年結束時加300元。請你選擇:（1）如果在該公司干10年，問兩種方案各加薪多少元？ （2）對于你而言，你會選擇其中的哪一種？ 課堂練習：1. 下列說法中，正確的是 ( )A數(shù)列1，2，3與數(shù)列3，2，1是同一個數(shù)列B數(shù)列l(wèi),

52、2，3與數(shù)列1，2，3，4是同一個數(shù)列.C數(shù)列1，2，3，4，的一個通項公式是an=n.D以上說法均不正確2巳知數(shù)列的首項a1=1，且,(n2)，則為 ( ) A7 B15 C30 D313.數(shù)列的前n項和為=2n21，則,的值依次為 ( ) A2，14 B2，18 C3，4 D3，184.已知數(shù)列的前n項和為=4n2n2，則該數(shù)列的通項公式為( )A =8n5(nN*) B=8n5(nN*) C=8n5(n2) D的前n項和公式=n22n5，則=( ) A40 B45 C50 D556.若數(shù)列前8項的值各異，且對任意的都成立，則下列數(shù)列中可取遍前8項值的數(shù)列為（ ）A. B.C. D.中，已

53、知=2，則的值為_8.已知數(shù)列滿足=1 ，, 且=3,=15,則常數(shù)c,b 的值為_9.已知數(shù)列的前n項和公式=n22n5，則=_10.設是首項為1的正項數(shù)列，且（=1，2，3，），則它的通項公式是=_11. 下面分別是數(shù)列的前n項和的公式，求數(shù)列的通項公式： (1)Sn=2n2-3n； (2)Sn=3n-212. 已知數(shù)列中a1=1，. (1)寫出數(shù)列的前5項；(2)猜想數(shù)列的通項公式13. 已知數(shù)列滿足a1=0，an1Sn=n22n(nN*)，其中為 an的前n項和，求此數(shù)列的通項公式14. 已知數(shù)列的通項公式與前n項和公式之間滿足關系=23an(1)求a1;(2)求an與an-1(n2，nN*)的遞推關系；(3)求與Sn-1(n2，nN*)的遞推關系.§2.2等差數(shù)列、等比數(shù)列重難點：理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式，能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題考綱要求：理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式能在具體的問