平面向量知識歸納和題型總結(jié)

1、章節(jié)分析:向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一,具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”,能融數(shù)形于一體, 是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁，能與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的許多主干知識相結(jié)合,形成知識交匯點(diǎn).向量是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實(shí)際背景,在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中有重要應(yīng)用.向量有深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具,向量概念引入后,許多圖形的基本性質(zhì)都可以轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系,例如平行、垂直、夾角、距離等.對本章的學(xué)習(xí)要立足基礎(chǔ),強(qiáng)化運(yùn)算,重視運(yùn)用,能根據(jù)向量的概念、定理、法則、公式對向量進(jìn)行運(yùn)算,并能運(yùn)用向量知識解決平面幾何中的一些證明和計算問題.平面向量的概念、幾何運(yùn)算和基本定

2、理1.向量的相關(guān)概念2.向量的線性運(yùn)算3.向量的共線定理非零向量與向量共線,當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實(shí)數(shù),使。延伸結(jié)論:三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一,使4.平面向量的基本定理如果是一個平面內(nèi)兩個不共線向量,那么對這平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實(shí)數(shù)1,2使:,其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.練習(xí):（1）已知是平面向量的一組基底,若當(dāng)且僅當(dāng)且.若則.（2）如圖為單位向量，其中的夾角為，的夾角為。若，求的值。5.一個常用結(jié)論:中,為邊的中點(diǎn), 則有:.練習(xí):設(shè)的重心為點(diǎn),設(shè)試用表示.典型例題分析:知識點(diǎn)一:基本概念例1.1.如果是平面內(nèi)兩個不共線向量,那么下列各說法錯誤的有( )()可

3、以表示平面內(nèi)的所有向量;平面內(nèi)的所有向量都可以表示成()。對于平面中的任一向量使的,有無數(shù)多對;若向量與共線,則有且只有一個,若實(shí)數(shù),使,則.A.B.C.D.練習(xí):1)判斷下列命題的真假(1)向量與向量為共線向量,則四點(diǎn)共線.(2)若則四邊形為平行四邊形.(3)若向量,則.(4)是兩個向量,則當(dāng)且僅當(dāng)不共線時成立知識點(diǎn)二:向量的線性運(yùn)算例1. 化簡:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)例2.如圖,四邊形,分別為,的中點(diǎn),求證:.練習(xí):（1)已知三個頂點(diǎn),及平面內(nèi)一點(diǎn),若,則 ( )A.在內(nèi)部B.在外部C.在邊所在直線上D.在線段上(2)設(shè)是平行四邊形的對角線的交點(diǎn),為任意一點(diǎn),則=知識點(diǎn)

4、三:平面向量基本定理和共線定理例1.1）已知為不共線向量,用表示.2) 設(shè),是兩個不共線的向量,已知,若,三點(diǎn)共線,求的值.例2.證明:平面內(nèi)三點(diǎn)共線存在兩個均不為的實(shí)數(shù),使且練習(xí):證明:平面內(nèi)三點(diǎn)共線存在三個均不為的實(shí)數(shù),使且向量數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算一、基本知識回顧:1、已知向量其中:向量的坐標(biāo)表示,實(shí)際是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐標(biāo)表示后,即可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密地結(jié)合了起來向量幾何表示或運(yùn)算向量運(yùn)算與關(guān)系向量坐標(biāo)表示或運(yùn)算平行四邊形法則或三角形法則向量加減法實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量,記作實(shí)數(shù)與向量的積數(shù)量積存在唯一的實(shí)數(shù)使 （）向量向量 ()向量的模向量夾角<>

5、三點(diǎn)共線練習(xí):1、 判斷下列命題的真假1）若向量,則. 2）若則3） 4）5） 6）2、已知.若,則;若,則.3、已知則與同向的單位向量是,與平行的單位向量是.4、已知點(diǎn)和向量,若,則點(diǎn)的坐標(biāo)為5、已知,若,求實(shí)數(shù)6、已知,則7）下列各組向量中,可以作為平面基底的是（ ）A.B. C.D. 8）已知,則在方向上的投影為二、典型例題講解例1:1）已知與的夾角為,求:（1）在方向上的投影（2）（3）2）4、在直角中,是斜邊上的高,則下列等式不成立的是（ ）A.B.C. D.3）已知向量夾角為，的夾角為銳角，求的范圍。練習(xí):1）已知向量,滿足則2）在中，已知求邊的長度例2:1）已知,點(diǎn)在線段的延長線

6、上,且,求點(diǎn)的坐標(biāo)（若點(diǎn)在直線上）2）在中,點(diǎn)在上,且,點(diǎn)是的中點(diǎn),若,則例3:已知向量,.（）當(dāng),且時,求的值;（）當(dāng),且時,求的值.解:（）當(dāng)時,由, 得,3分上式兩邊平方得,因此,.6分（）當(dāng)時,由得.即.9分,或.12分例4、已知向量. 且1)當(dāng)時,求的集合;2)求; 3）求函數(shù)的最小值4）求函數(shù)的最小值5）若的最小值是,求實(shí)數(shù)的值.練習(xí):1）設(shè)是不共線的兩非零向量,若,且夾角為,求為何值時,的值最小.2）已知向量=且.（1）求·及|+|;(2)若 =·-|+|,求的最大值和最小值.向量與三角形平面向量的應(yīng)用十分廣泛.由于三角形中的有關(guān)線段可以視為向量,線線之間的位

7、置關(guān)系、大小關(guān)系以及邊角關(guān)系均可以用向量表示,這就為向量與三角形的溝通、聯(lián)系、交匯提供了條件,在這類問題中,往往要涉及到向量的和差運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算以及向量的共線、垂直、向量的模等性質(zhì), 因此解題思路較寬、方法靈活、綜合性強(qiáng).三角形之心一、 外心.三角形外接圓的圓心,簡稱外心. 是三角形三邊中垂線的交點(diǎn).（下左圖）二、 重心三角形三條中線的交點(diǎn),叫做三角形的重心.掌握重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍.（上右圖）三、垂心 三角形三條高的交點(diǎn),稱為三角形的垂心.（下左圖）四、內(nèi)心 三角形內(nèi)切圓的圓心,簡稱為內(nèi)心. 是三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn).三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理:三角形內(nèi)角平分

8、線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例.（上右圖）知識點(diǎn)一、三角形形狀與向量1、已知向量滿足條件,且,求證是正三角形.2、是所在平面上的一點(diǎn),若,則是三角形.3、已知非零向量和滿足且,則為.4、若為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足則的形狀為 （ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等邊三角形5、已知非零向量與滿足且,則ABC為（）A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形思路分析:1.根據(jù)四個選擇支的特點(diǎn):本題可采用驗(yàn)證法來處理,不妨先驗(yàn)證等邊三角形,剛好適合題意,則可同時排除其他三個選擇支,故選D.2.由于所在直線穿過ABC的內(nèi)心,則由知

9、,（等腰三角形的三線合一定理）;又,所以,即ABC為等邊三角形,故選D.知識點(diǎn)二、三角形的“心”與向量重心在ABC中,AD為BC邊上的中線,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,可得.這說明所在的直線過的中點(diǎn),從而一定通過的重心.另外,為的重心的充要條件是或,（其中為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)）,這也是兩個常用的結(jié)論.例1.已知是平面上不共線的三點(diǎn),是的外心,動點(diǎn)滿足,則的軌跡一定通過的（）A.內(nèi)心B.垂心C.外心D.重心思路分析:取AB邊的中點(diǎn)M,則,由可得,所以,即點(diǎn)P的軌跡為三角形中AB邊上的中線,故選D.垂心在中,由向量的數(shù)量積公式,可得,這說明所在直線是BC邊上的高所在直線,從而它一定通過ABC的垂心.例:若動點(diǎn)滿足,則點(diǎn)P軌跡一定通過的（ ）A、外心 B、內(nèi)心 C、垂心 D、重心例2.點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿足,則點(diǎn)是的（）A.三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn) D.三條高的交點(diǎn)思路分析:由,得,所以,即.同理.因此是三條高的交點(diǎn),故選D.練習(xí):點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿足,則點(diǎn)是的（）A.三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn) D.三條高的交點(diǎn)內(nèi)心在中,由兩單位向量相加,可得所在直線是A的平分線所在的直線,從而一定經(jīng)過的內(nèi)心.例3是平面上定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn),動點(diǎn)P滿足,則P的軌跡一