實數(shù)知識點和練習

1、知識網(wǎng)絡(luò)：考點一、實數(shù)的概念及分類1、實數(shù)的分類2、無理數(shù)在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一點，歸納起來有四類（1）開方開不盡的數(shù)，如等；（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率，或化簡后含有的數(shù)，如+8等；（3）等；（4）某些三角函數(shù)，如sin60o等（這類在初三會出現(xiàn)）判斷一個數(shù)是否是無理數(shù)，不能只看形式，要看運算結(jié)果，如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)。3、有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別（1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù)；（2）所有的有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分數(shù)），而無理數(shù)則不能寫成分數(shù)形式。考點二、平方根、算術(shù)平方根、立方根1、概念、定義（1）如果一

2、個正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。（2）如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a的平方根。（3）如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。2、運算名稱（1）求一個正數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。平方與開平方互為逆運算。（2）求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方。開立方和立方互為逆運算。3、運算符號（1）正數(shù)a的算術(shù)平方根，記作“”。（2）a(a0)的平方根的符號表達為。（3）一個數(shù)a的立方根，用表示，其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)。4、運算公式4、開方規(guī)律小結(jié)（1）若

3、a0，則a的平方根是，a的算術(shù)平方根；正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的那個叫它的算術(shù)平方根；0的平方根和算術(shù)平方根都是0；負數(shù)沒有平方根。實數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與被開方數(shù)的符號相同。正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0。（2）若a<0，則a沒有平方根和算術(shù)平方根；若a為任意實數(shù)，則a的立方根是。（3）正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，兩個互為相反數(shù)的實數(shù)的立方根也互為相反數(shù)?？键c三、實數(shù)的性質(zhì)有理數(shù)的一些概念，如倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值等，在實數(shù)范圍內(nèi)仍然不變。1、相反數(shù)（1）實數(shù)a的相反數(shù)是-a；實數(shù)與它的相反數(shù)是一對數(shù)（只有符號不

4、同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零）（2）從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=-b，反之亦成立。2、絕對值（1）要正確的理解絕對值的幾何意義，它表示的是數(shù)軸上的點到數(shù)軸原點的距離，數(shù)軸分為正負兩半，那么不管怎樣總有兩個數(shù)字相等的正負兩個數(shù)到原點的距離相等。|a|0。（2）若|a|=a，則a0；若|a|=-a，則a0，零的絕對值是它本身。（3）3、倒數(shù)（1）如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。實數(shù)a的倒數(shù)是1/a（a0）（2）倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)?？键c四、實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)1、在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零

5、統(tǒng)稱為非負數(shù)。2、非負數(shù)有三種形式（1）任何一個實數(shù)a的絕對值是非負數(shù)，即|a|0；（2）任何一個實數(shù)a的平方是非負數(shù)，即0；（3）任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即 ()。3、非負數(shù)具有以下性質(zhì)（1）非負數(shù)有最小值零；（2）非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.考點五、實數(shù)大小的比較實數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：（1）正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小；（2）實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；（3）兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法。

6、（4）對于一些帶根號的無理數(shù)，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。常用有理數(shù)來估計無理數(shù)的大致范圍，要想正確估算需記熟020之間整數(shù)的平方和010之間整數(shù)的立方考點六、實數(shù)的運算（1）在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進行加、減、乘、除、乘方及開方運算（2）有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立（3）實數(shù)混合運算的運算順序與有理數(shù)的運算順序基本相同，先乘方、開方、再乘除，最后算加減。同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里。（4）在實數(shù)的運算中，當遇到無理數(shù)時，并且需要求結(jié)果的近似值時，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似有限小數(shù)去代替無理數(shù)，再進行計算。6.1平方根同步練習（1）知識點：1.算

7、術(shù)平方根：一般地，如果一個正數(shù)的平方等于a，那么這個正數(shù)叫做a的算術(shù)平方根。A叫做被開方數(shù)。1 平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根2 平方根的性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，互為相反數(shù) 0的平方根是0 負數(shù)沒有平方根同步練習： 一、基礎(chǔ)訓練 19的算術(shù)平方根是（ ） A-3 B3 C±3 D81 2下列計算不正確的是（ ）A=±2 B=9C=0.4 D=-6 3下列說法中不正確的是（ ） A9的算術(shù)平方根是3 B的平方根是±2 C27的立方根是±3 D立方根等于-1的實數(shù)是-1 4的平方根是（ ） A±8 B±4 C&#

8、177;2 D± 5-的平方的立方根是（ ）A4 B C- D 6的平方根是_；9的立方根是_ 7用計算器計算：_（保留4個有效數(shù)字） 8求下列各數(shù)的平方根 （1）100；（2）0；（3）；（4）1；（5）1；（6）009 9計算：（1）-；（2）；（3）；（4）± 二、能力訓練 10一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，則它后面一個數(shù)的算術(shù)平方根是（ ） Ax+1 Bx2+1 C+1 D 11若2m-4與3m-1是同一個數(shù)的平方根，則m的值是（ ） A-3 B1 C-3或1 D-1 12已知x，y是實數(shù)，且+（y-3）2=0，則xy的值是（ ） A4 B-4 C D- 13若一個偶

9、數(shù)的立方根比2大，算術(shù)平方根比4小，則這個數(shù)是_14將半徑為12cm的鐵球熔化，重新鑄造出8個半徑相同的小鐵球，不計損耗，小鐵球的半徑是多少厘米？（球的體積公式為V=R3） 三、綜合訓練15利用平方根、立方根來解下列方程（1）（2x-1）2-169=0； （2）4（3x+1）2-1=0；（3）x3-2=0； （4）（x+3）3=4平方根第2課時要點感知1 一般地,如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的_或_,這就是說,如果x2=a,那么x叫做a的_.預習練習1-1 (2014·梅州)4的平方根是_.1-2 36的平方根是_，-4是_的一個平方根.要點感知2 求一個數(shù)a的平方根的運

10、算，叫做開平方，平方與開平方互為逆運算.正數(shù)有_個平方根,它們_；0的平方根是_；負數(shù)_.預習練習2-1 下列各數(shù)：0，(-2)2，-22，-(-5)中,沒有平方根的是_.2-2 下列各數(shù)是否有平方根？若有，求出它的平方根；若沒有，請說明為什么？ (1)(-3)2； (2)-42； (3)-（a2+1）.要點感知3 正數(shù)a的算術(shù)平方根可以用表示；正數(shù)a的負的平方根可以用表示_,正數(shù)a的平方根可以用表示_,讀作“_”.預習練習3-1 計算：±=_，-=_，=_.知識點1 平方根1.6的平方根是( ) A.4 B.±4 C.8 D.±82.下面說法中不正確的是( )&

11、#177;3.下列說法正確的是( )4.填表：a2-2a2812255.求下列各數(shù)的平方根： (1)100； (2)0.008 1； (3).知識點2 平方根與算術(shù)平方根的關(guān)系6.下列說法不正確的是( )± B.的平方根是7.若正方形的邊長為a,面積為S,則( ) C.a=± D.S=8.求下列各數(shù)的平方根與算術(shù)平方根： (1)(-5)2； (2)0； (3)-2； (4).9.已知25x2-144=0，且x是正數(shù)，求2的值.10.下列說法正確的是( ) A.因為3的平方等于9，所以9的平方根為3 B.因為-3的平方等于9，所以9的平方根為-3 C.因為(-3)2中有-3，

12、所以(-3)2沒有平方根 D.因為-9是負數(shù)，所以-9沒有平方根11.|-9|的平方根是( ) A.81 B.±12.計算：=_,-=_,±=_.13.若8是m的一個平方根，則m的另一個平方根為_.14.求下列各式的值： (1)； (2)-； (3)±.15.求下列各式中的x： (1)9x2-25=0； (2)4(2x-1)2=36.16. 在物理學中，電流做功的功率P=I2R，試用含P，R的式子表示I，并求當P=25、R=4時，I的值.17.(1)一個非負數(shù)的平方根是2a-1和a-5，這個非負數(shù)是多少？ (2)已知a-1和5-2a是m的平方根，求a與m的值.挑戰(zhàn)

13、自我18.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b的平方根.6.2 立方根要點感知1 一般地,如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的_,即如果x3=a,那么_叫做_的立方根.預習練習1-1 -8的立方根是( ) A.-2 B.±1-2 -64的立方根是_,-是_的立方根.要點感知2 求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方，開立方與立方互為逆運算.正數(shù)的立方根是_；負數(shù)的立方根是_；0的立方根是_.預習練習2-1 下列說法正確的是( ) A.如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是0 D.一個不為零的數(shù)的立方根和這個數(shù)同號，0的立方

14、根是0要點感知3 一個數(shù)a的立方根可以用表示,讀作“_”,其中_是被開方數(shù),_是根指數(shù).預習練習3-1 計算：=_.知識點1 立方根1.的立方根是( )A.-1 B.0 C.1 D.±12. B.-27 C.± D.±273.下列判斷：一個數(shù)的立方根有兩個，它們互為相反數(shù)；若x3=(-2)3，則x=-2；15的立方根是；任何有理數(shù)都有立方根，它不是正數(shù)就是負數(shù).其中正確的有( )4.立方根等于本身的數(shù)為_.5.的平方根是_.6.若x-1是125的立方根，則x-7的立方根是_.7.求下列各數(shù)的立方根： (1)0.216； (2)0； (3)-2； (4)-5.8.求

15、下列各式的值： (1)； (2)； (3)-.知識點2 用計算器求立方根9.用計算器計算的值約為( )10.估計96的立方根的大小在( )11.計算：_(精確到百分位).12.已知=1.038,=2.237,=4.820,則=_,=_.13.(1)填表：a0.000 00111 0001 000 000 (2)由上表你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?請用語言敘述這個規(guī)律：_. (3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：已知=1.442,則=_,=_；已知=0.076 96,則=_.14.下列說法正確的是( ) A.一個數(shù)的立方根有兩個，它們互為相反數(shù) C.如果一個數(shù)有立方根，那么它一定有平方根D.與互為相反數(shù)15.計算的正

16、確結(jié)果是( ) A.7 B.-7 C.±16.正方體A的體積是正方體B的體積的27倍，那么正方體A的棱長是正方體B的棱長的( )17.-27的立方根與的平方根之和是_.18.計算：-=_，=_.19.已知2x+1的平方根是±5，則5x+4的立方根是_.20.求下列各式的值： (1)； (2)-(3)-+；(4)-+.21.比較下列各數(shù)的大小：(1)與； (2)-與-3.4.22.求下列各式中的x： (1)8x3+125=0； (2)(x+3)3+27=0.23.若與(b-27)2互為相反數(shù)，求-的立方根.挑戰(zhàn)自我24.請先觀察下列等式：=2，=3，=4， (1)請再舉兩個類

17、似的例子； (2)經(jīng)過觀察,寫出滿足上述各式規(guī)則的一般公式.6.3 實數(shù)第1課時 實數(shù)要點感知1 無限_小數(shù)叫做無理數(shù),_和_統(tǒng)稱為實數(shù).預習練習1-1 下列說法：有理數(shù)都是有限小數(shù)；有限小數(shù)都是有理數(shù)；無理數(shù)都是無限小數(shù)；無限小數(shù)都是無理數(shù)，正確的是( ) A. B. C. D.1-2 實數(shù)-2，0.3，17，2，-中，無理數(shù)的個數(shù)是( )要點感知2 實數(shù)可以按照定義和正負性兩個標準分類如下：預習練習2-1 給出四個數(shù)-1，0，0.5，其中為無理數(shù)的是( ) A.-1 B.0 C.0.5 D.要點感知3 _和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，反過來，數(shù)軸上的每一個點必定表示一個_.預習練習3-1 3-

18、2 如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)可能是( ）知識點1 實數(shù)的有關(guān)概念1.下列各數(shù)中是無理數(shù)的是( )A. B.-2 C.0 D.2.(2013·安順)下列各數(shù)中，3.141 59，-，0.131 131 113，-，-3.寫出一個比-2大的負無理數(shù)_.知識點2 實數(shù)的分類4.下列說法正確的是( ) A.實數(shù)包括有理數(shù)、無理數(shù)和零5.實數(shù)可分為正實數(shù)，零和_.正實數(shù)又可分為_和_，負實數(shù)又可分為_和_.6.把下列各數(shù)填在相應(yīng)的表示集合的大括號內(nèi).-6，-，-|-3|，-0.4，1.6，0，1.101 001 000 1 整數(shù)： ,， 負分數(shù)： ,， 無理數(shù)： ,.知識點3 實數(shù)與數(shù)軸上的

19、點一一對應(yīng)7.下列結(jié)論正確的是( )8.若將三個數(shù)-，表示在數(shù)軸上，其中能被如圖所示的墨跡覆蓋的數(shù)是_.9.如圖,直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周(不滑動),圓上的一點由原點到達點O,點O所對應(yīng)的數(shù)值是_.10.下列實數(shù)是無理數(shù)的是( ) A.-2 B. C. D.11.下列各數(shù)：，0，0.303 003(相鄰兩個3之間多一個0)，1-12.有下列說法：帶根號的數(shù)是無理數(shù)；不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)；負數(shù)沒有立方根；-13.2 B.-(a+1)2 D.-(a2+1)14.如圖,在數(shù)軸上表示實數(shù)15. 下列說法中,正確的是( ) A.，都是無理數(shù) B.無理數(shù)包括正無理數(shù)、負無理數(shù)和零

20、C.實數(shù)分為正實數(shù)和負實數(shù)兩類 16. 有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器,原理如下：當輸入的x為64時,輸出的y是( )A.8 B. C. D.17.在下列各數(shù)中,選擇合適的數(shù)填入相應(yīng)的集合中.-，3.14，-，0，-5.123 45，-. 有理數(shù)集合： , 無理數(shù)集合： , 正實數(shù)集合： , 負實數(shù)集合： ,18.有六個數(shù)：0.142 7，(-0.5)3，3.141 6，-2，0.102 002 000 2，若無理數(shù)的個數(shù)為x,整數(shù)的個數(shù)為y,非負數(shù)的個數(shù)為z,求x+y+z的值.挑戰(zhàn)自我19.小明知道了是無理數(shù),那么在數(shù)軸上是否能找到距原點距離為的點呢？小穎在數(shù)軸上用尺規(guī)作圖的方法作出了在數(shù)軸上到原點距離等于的點,如圖.小穎作圖說明了什么？第2課時 實數(shù)的運算要點感知1 實數(shù)a的相反數(shù)是_；一個正實數(shù)的絕對值是它_；一個負實數(shù)的絕對值是它的_；0的絕對值是_.即：|a|=預習練習1-1 的相反數(shù)是( ) A. B.1-2 -的絕對值是( ) A. C.要點感知2 正實數(shù)_0,負實數(shù)