山財自考線性代數(shù)考核作業(yè)已填好答案

1、（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.設(shè)D=M0，則D1= ( B )A.2MB.2MC.6M D.6M2.設(shè) A、B、C為同階方陣，若由AB = AC必能推出 B = C，則A應(yīng)滿足( D )A. A O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.設(shè)A，B均為n階方陣，則( A)A.|A+AB|=0，則|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2AB=O時，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-14.二階

2、矩陣A，|A|=1，則A-1= ( B) A. B. C. D.5.設(shè)兩個向量組與，則下列說法正確的是( B )A.若兩向量組等價，則s = t .B.若兩向量組等價，則r()= r() C.若s = t，則兩向量組等價.D.若r()=r()，則兩向量組等價.6.向量組線性相關(guān)的充分必要條件是( C )A.中至少有一個零向量B.中至少有兩個向量對應(yīng)分量成比例C.中至少有一個向量可由其余向量線性表示D.可由線性表示7.設(shè)向量組有兩個極大無關(guān)組與，則下列成立的是( C ) A. r與s未必相等 B. r + s = mC. r = s D. r + s > mAx = b與其導(dǎo)出組Ax =

3、o，下列命題正確的是( D )A. Ax = o有解時，Ax = b必有解.B. Ax = o有無窮多解時，Ax = b有無窮多解.C. Ax = b無解時，Ax = o也無解.D. Ax = b有惟一解時，Ax = o只有零解.9.設(shè)方程組有非零解，則k = ( D)A. 2 B. 3 C. -1D. 110.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是( D )A. |A|>0 B.存在n階方陣C使A=CTCC.負(fù)慣性指標(biāo)為零 D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.四階行列式D中第3列元素依次為 -

4、1，2，0，1，它們的余子式的值依次為5，3，-7，4，則D= -1512.若方陣A滿足A2= A，且AE，則|A|=0.13.若A為3階方陣，且 ，則|2A|= 414.設(shè)矩陣的秩為2，則t = -315.設(shè)向量(6，8，0)，=(4，3，5)，則(,)=016.設(shè)n元齊次線性方程組Ax= o，r(A)= r < n，則基礎(chǔ)解系含有解向量的個數(shù)為n-r個.17.設(shè)(1，1，0)，(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，則=(1，2，3)在此基下的坐標(biāo)為（1,1,2）18.設(shè)A為三階方陣，其特征值為1，-1，2，則A2的特征值為1,1,4 .的矩陣A=A與B=相似，則A的特征值為1,

5、2,3三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.求行列式的值解：=xy=xy=x²y²22.解矩陣方程：.解：令A(yù)=，B=因為（AE）=，所以A=由AX=B,得X=AB=23.求向量組=( 1, 1, 2, 3 )，=(1,1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,2, 5, 6 )的秩和一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示.解：將已知向量按列構(gòu)成矩陣，并對其進(jìn)行行變換：（）=所以，r（）=3，極大無關(guān)組為，；=7-324.a取何值時，方程組有解？并求其通解（要求用它的一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.解：對方程組的增廣矩陣施

6、以初等變換：=若方程有解，則r()=r（A），故a=5當(dāng)a=5時，繼續(xù)施以初等行變換得：,原方程組的同解方程組為：，x,x為自由未知量，令x=x=0得原方程組的一個特解：與導(dǎo)出組同解的方程組為：x,x為自由未知量，令分別取，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：，所以，方程組的全部解為v=+c+c,其中c，c為任意常數(shù)。25.已知,求A的特征值及特征向量，并判斷A能否對角化，若能，求可逆矩陣P，使P 1AP =（對角形矩陣）解：矩陣A的特征多項式為：=所以，A的特征值為:對于:，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，,得基礎(chǔ)解系：從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為：不全為零。對于，求齊次線性性方程組（E-A）x=

7、O的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為：因為三階矩陣A有三個線性無關(guān)的特征向量，所以，A相似于對角矩陣，且26.用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：解：=令，即得二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為：.四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量，證明向量組是R3空間中的一個基.證：因為，所以線性無關(guān)，所以向量組是空間的一個基。線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題二（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.若三階行列式=0, 則k = ( C ).A1 B0

8、C-1 D-22.設(shè)A、B為n階方陣,則成立的充要條件是 ( D).AA可逆BB可逆C|A|=|B|DAB=BA3.設(shè)A是n階可逆矩陣,A*是A的伴隨矩陣, 則 ( A).A BC D4.矩陣的秩為2，則 =( B).A2 B1 C0 D5.設(shè)3×4矩陣A的秩r(A)=1，是齊次線性方程組Ax=o的三個線性無關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為 ( D).ABCD6.向量線性相關(guān),則( C ).Ak =-4Bk = 4Ck =-3Dk = 3 7.設(shè)u1, u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個解, 若是其導(dǎo)出組Ax=o的解, 則有 ( B ).Ac1+c2 =1Bc1= c2Cc1+ c

9、2 = 0Dc1= 2c2 8.設(shè)A為n(n2)階方陣，且A2=E，則必有 ( B ).AA的行列式等于1BA的秩等于nCA的逆矩陣等于EDA的特征值均為19.設(shè)三階矩陣A的特征值為2, 1, 1， 則A-1的特征值為( D ).A1, 2B2, 1, 1C, 1D, 1, 110.二次型是 ( A ).A正定的 B半正定的 C負(fù)定的 D不定的二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.=_5_12.設(shè)A為三階方陣,且|A|=4，則|2A|=_32_13.設(shè)A=,B=, 則ATB=_14.設(shè)A=,則A-1=_表示為向量組的線性組合

10、式為_16.如果方程組有非零解, 則k=_-1_17.設(shè)向量與正交，則a=_2_18.已知實對稱矩陣A=,寫出矩陣A對應(yīng)的二次型_19.已知矩陣A與對角矩陣=相似，則A2=_E_的矩陣A是滿秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為_三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）的值.解：原式=A=，B=，求矩陣A-1B .解：（AB）=，求k的值，使A的秩r(A)分別等于1，2，3.解：對矩陣A施行初等變換：當(dāng)k=1時，矩陣A的秩r（A）=1；當(dāng)k=-2時，矩陣A的秩r（A）=2；當(dāng)k時，矩陣A的秩r（A）=3.的秩和一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示.解：將

11、所給列向量構(gòu)成矩陣A，然后實施初等行變換:所以，向量組的秩，向量組的一個極大無關(guān)組為：且有.的基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示其通解.解：對方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩陣）作初等行變換：與原方程組同解的方程組為:,其中x,x為自由未知量。令分別取，得基礎(chǔ)解系：方程組的通解為：（c，c為任意常數(shù)），求正交矩陣P和對角矩陣，使P-1AP=.解：矩陣A的特征多項式為：得矩陣A的所有特征值為:對于，求方程組的基礎(chǔ)解系。，得基礎(chǔ)解系為：，將此線性無關(guān)的特征向量正交化，得：，再標(biāo)準(zhǔn)化，得：，對于解方程組，方程組的基礎(chǔ)解系為，將其單位化，得，令則P是正交矩陣，且PAP=四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量組線性無

12、關(guān)，證明：向量組也線性無關(guān).證：令整理得：因為線性無關(guān)，所以解得:故線性無關(guān)。線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題三（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.當(dāng)( D )成立時，階行列式的值為零.A.行列式主對角線上的元素全為零B.行列式中有個元素等于零C.行列式至少有一個階子式為零D.行列式所有階子式全為零2.已知均為n階矩陣，E為單位矩陣，且滿足ABC=E，則下列結(jié)論必然成立的是 ( B ).A.ACB=EB. BCA=EC. CBA=ED. BAC=EA

13、，B均為n階可逆矩陣，則下列等式成立的是 ( D ).A. (AB)-1=A-1B-1 B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)T=ATBT D. 4.下列矩陣不是初等矩陣的是 ( B ). A. B. C. D.是4維向量組，則( D ).B.至少有兩個向量成比例有一個向量能由其余向量線性表示可由其余向量線性表示A為m×n矩陣，且m<n，則齊次線性方程組Ax = o必 ( C ). A.無解 B.只有唯一零解 C.有非零解 D.不能確定4元線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A的秩為3，又是Ax=b的兩個解,則Ax=b的通解是( D ). A. B.C. D.8.如果矩陣A與B

14、滿足( D )，則矩陣A與B相似. A.有相同的行列式B.有相同的特征多項式C.有相同的秩D.有相同的特征值,且這些特征值各不相同9.設(shè)A是n階實對稱矩陣，則A是正定矩陣的充要條件是 ( D ).A. |A|>0 B. A的每一個元素都大于零C.D. A的正慣性指數(shù)為nA，B為同階方陣，且r(A) = r(B)，則 ( C ). A. A與B相似 B. A與B合同C. A與B等價 D.|A|=|B|二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式24.12.設(shè)A為三階矩陣，|A|=-2，將矩陣A按列分塊為，其中是A的第j列

15、，,則|B|=6.AX=B，其中A=，B=，則X=.14.已知向量組的秩為2，則k =-2.的長度=.在基下的坐標(biāo)為.是4元齊次線性方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系，則矩陣A的秩r(A)=1.18.設(shè)是三階矩陣A的特征值，則a =1.19.若是正定二次型，則滿足.A的特征值為1,2,3，矩陣B=A2+2A,則|B|=360.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設(shè)三階矩陣A=，E為三階單位矩陣.求：(1)矩陣A-2E及|A-2E|；(2).解：（1）(2)22.已知向量組求：(1)向量組的秩；(2)向量組的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示.解：(1)將所給向

16、量按列構(gòu)成矩陣A，然后實施初等行變換:所以，向量組的秩，向量組的一個極大無關(guān)組為：，且有23.討論a為何值時，線性方程組有解？當(dāng)方程組有解時，求出方程組的通解.解：對方程組的增廣矩陣實施初等行變換：若方程組有解，則,從而a=1.當(dāng)a=1時，原方程組的通解方程組為：，x，x為自由未知量.令x=x=0，得原方程組的一個特解：(0, 1, 0, 0).導(dǎo)出組的同解方程組為：，x，x為自由未知量.令，分別取，得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：(0,1,1,0)，(-4,1,0,1).所以,方程組的通解為：(0,1,0,0)+c(0,1,1,0)+ c(-4,1,0,1)，其中，c，c為任意常數(shù).24.已知向量組，討

17、論該向量組的線性相關(guān)性.解:因為當(dāng)a=2或a=-6時，向量組線性相關(guān)，當(dāng)a2且a-6時，向量組線性無關(guān)，25.已知矩陣A=，(1)求矩陣A的特征值與特征向量；(2)判斷A可否與對角矩陣相似，若可以，求一可逆矩陣P及相應(yīng)的對角形矩陣. 解：矩陣A的特征多項式為：所以，A的特征值對于求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征值為：對于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征值為：因為三階矩陣A只有兩個線性無關(guān)的特征向量，所以，A不能相似于對角矩陣。26.設(shè)二次型(1)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；(2)求二次型的秩和正慣性指數(shù).令。即得

18、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：(2)由上述標(biāo)準(zhǔn)形知：二次型的秩為3，正慣性指數(shù)為2四、證明題（本大題共6分）27.已知A是n階方陣，且，證明矩陣A可逆，并求證：由(A+E)²=O,得：A²+2A=-E,從而A(A+2E)=-E,A(-A-2E)=E所以A可逆，且A=-A-2E線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題四（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.三階行列式，則a = ( ).A. 2 B. 3 C. D. -3 A，B均為n階非零方陣，下列選項

19、正確的是 ( ).A. (A+B)(A-B) = A2-B2 B. (AB)-1 = B-1A-1C. 若AB= O, 則A=O或B=O D. |AB| = |A| |B| 3.設(shè)A，B，AB-BA= ( ).A. B. C.D. 4.設(shè)矩陣的秩為2，則 ( ).A. B.t = -4 C. t是任意實數(shù) D.以上都不對5.設(shè)向量，則( ).A.(1, 0, 5, 4 ) B.(1, 0, -5, 4) C.(-1, 0, 5, 4) D.(1, 0, 5, -6)6.向量組線性相關(guān),則( ).A. k =-4 B. k = 4 C. k = 3 D. k = 27.設(shè)u1,u2是非齊次線性方

20、程組Ax = b的兩個解，若c1u1+c2u2也是方程組Ax = b的解，則 ( ).A. c1+c2 =1 B. c1= c2 C. c1+ c2 = 0 D. c1= 2c2 m×n矩陣A的秩r(A) = n-3(n>3)，是齊次線性方程組Ax=o的三個線性無關(guān)的解向量，則方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系為( ).A. B. C. D.9.設(shè)三階矩陣A的特征值為1，1，2，則2A+E的特征值為( ). A. 3，5 B. 1，2 C.1，1，2 D. 3，3，5 10.n階對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是 ( ). A.n階矩陣P，使得A=PTP二、填空題（本大題共10小題，每

21、小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11. 12.設(shè)A為三階方陣，且|A|=2，A*是其伴隨矩陣，則|2A*| =.13.設(shè)矩陣A，則=.14.設(shè)，則內(nèi)積=.15.若向量不能由線性表示，且r()=2，則r(,)=.16.設(shè)線性方程組有解，則t = .的基礎(chǔ)解系含有解向量的個數(shù)是.A與B相似，A的特征值為-1，2，則|B|=.19.設(shè)二次型的矩陣,則二次型.20.用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形為，則矩陣A的最小特征值為.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計算n階行列式.22.解矩陣方程：.23.驗證是R3的一個基，并求向量在此基下的坐標(biāo).24

22、.設(shè)向量組線性無關(guān)，令，試確定向量組的線性相關(guān)性.25.求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并表示其通解.26.求矩陣的特征值和全部特征向量.四、證明題（本大題共6分）是三維向量組，證明：線性無關(guān)的充分必要條件是任一三維向量都可由它線性表示.線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題五（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.行列式,則k = ( ).A. 1 B. 4 C. -1或4 D. -12.設(shè)A，B，C均為n階非零方陣，下列選項正確的是 ( ).AB=AC，則B=C B. (A-C)2 = A2-2AC+C2C. ABC= BCA D. |ABC| = |A| |B| |C| 3.設(shè)A，B均為n階方陣,則等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分必要條件是( ).A. A=E B. B=O C. A=B D. AB=BA4.若，則初等矩陣P= ( ).A. B. C. D. 5.設(shè)向量,則 ( ).A. (-1, 3, 8, 9 ) B. (1, 3,8, 9) C. (-1, 0, 8, 6) D. (-1, 3, 9, 8) 6.下列結(jié)論正確的是 ( ). k1, k2, ,km, 使得成立，則向量組線性相關(guān).k1