工程力學梁的應力及強度計算

1、授課日期班 別1044-3題 目第九章 梁的應力及強度計算目的要求Ø 掌握彎曲應力基本概念；Ø 掌握彎曲正應力及彎曲剪應力的計算；Ø 掌握彎曲正應力的強度計算；Ø 掌握彎曲剪應力強度校核。重點梁應力的計算、彎曲強度計算難點彎曲正應力的強度計算和、彎曲剪應力的強度校核教 具課本教 學 方 法課堂教學報書設計第九章 梁的應力及強度計算第一節(jié) 純彎曲梁橫截面上的正應力第二節(jié) 梁的正應力強度條件第三節(jié) 梁的剪應力強度條件第四節(jié) 提高梁彎曲強度的措施教學過程：復習：1、復習剛架的組成及特點。 2、復習平面靜定剛架內(nèi)力圖的繪制過程。新 課：第九章 梁的應力及強度計算

2、第一節(jié) 純彎曲梁橫截面上的正應力一、純彎曲橫梁截面上的正應力計算公式平面彎曲時，如果某段梁的橫截面上只有彎矩M，而無剪力Q = 0，這種彎曲稱為純彎曲。1、矩形截面梁純彎曲時的變形觀察現(xiàn)象：（1）變形后各橫向線仍為直線，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，且與變形后的梁軸曲線保持垂直，即小矩形格仍為直角；（2）梁表面的縱向直線均彎曲成弧線，而且，靠頂面的縱線縮短，靠底面的縱線拉長，而位于中間位置的縱線長度不變。2、假設（1）平面假設：梁變形后，橫截面仍保持為平面，只是繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個角度，且仍與變形后的梁軸曲線垂直。中性層：梁純彎曲變形后，在凸邊的纖維伸長，凹邊的纖維縮短，纖維層中必有一層既不伸長也不縮

3、短，這一纖維層稱為中性層。 中性軸：中性層與橫截面的交線稱為中性軸。 中性軸將橫截面分為兩個區(qū)域拉伸區(qū)和壓縮區(qū)。注意：中性層是對整個梁而言的；中性軸是對某個橫截面而言的。中性軸通過橫截面的形心，是截面的形心主慣性軸。（2）縱向纖維假設：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維之間無擠壓。各縱向纖維只產(chǎn)生單向的拉伸或壓縮。3、推理純彎曲梁橫截面上只存在正應力，不存在剪應力。二、純彎曲橫梁截面上正應力分布規(guī)律由于各縱向纖維只承受軸向拉伸或壓縮，于是在正應力不超過比例極限時，由胡克定律可知通過上式可知橫截面上正應力的分布規(guī)律，即橫截面上任意一點的正應力與該點到中性軸之間的距離成正比，也就是正應力沿截面

4、高度呈線性分布，而中性軸上各點的正應力為零。三、純彎曲橫梁截面上正應力計算公式梁在純彎曲時的正應力公式：式中：梁橫截面上任一點的正應力；M該點所在橫截面的彎矩；Iz橫截面對其中性軸z的慣性矩；矩形= ；圓形= y所求正應力點到中性軸的距離。正應力的單位為：Pa或MPa，工程上常用MPa。公式表明：梁橫截面上任一點的正應力與截面上的彎矩M和該點到中性軸的距離成正比，而與截面對中性軸的慣性矩 IZ 成反比。在中性軸上（y=0），正應力為零。離中性軸越遠，正應力越大。在橫截面上、下邊緣各點處（y=ymax），正應力達到最大值。應力的正負號直接由彎矩M的正負來判斷。M為正時，中性軸上部截面為壓應力，下

5、部為拉應力；M為負時，中性軸上部截面為拉應力，下部為壓應力。第二節(jié) 梁的正應力強度條件一、彎曲正應力的強度條件等直梁的最大彎曲正應力，發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠的各點處，即對于工程上的細長梁，強度的主要控制因素是彎曲正應力。為了保證梁能安全、正常地工作，必須使梁內(nèi)最大正應力max不超過材料的許用應力，故梁的正應力強度條件為：二、常用截面的慣性矩與抗彎截面系數(shù)1、常用截面的慣性矩IZ慣性矩是截面各微元面積與各微元至截面上某一指定軸線距離二次方乘積的積分。它是與截面的形狀及尺寸相關(guān)的幾何量。64)(44dDIICCyz-=p2、常見截面的抗彎截面系數(shù)在對梁進行強度計算時，總要尋找最大正

6、應力。有公式可知，當y=ymax時，即截面上離中性軸最遠的各點處，彎曲正應力最大。三、彎曲正應力強度的計算應用強度條件公式，可解決梁的強度方面三類問題。（1）強度校核在已知梁的材料、截面形狀與尺寸（即已知和WZ值）以及所受荷載（即已知M）的情況下，用強度條件檢查梁的最大正應力是否滿足強度條件。即（2）截面設計當已知荷載和所用材料（即已知M和 ）時，可根據(jù)強度條件，設計截面尺寸。求出WZ后，進一步根據(jù)所用梁的截面形狀來確定尺寸。若采用型鋼時，則可由型鋼表查得所用型鋼的型號。（3）計算許可載荷若已知梁的材料及截面尺寸（即已知和WZ），則可根據(jù)強度條件確定梁的許用彎矩M。根據(jù)M，用平衡條件確定許用外

7、載荷。在進行上列各類計算時，為了保證既安全可靠又節(jié)約材料的原則，設計規(guī)范還規(guī)定梁內(nèi)的最大正應力允許稍大于，但以不超過的5%為限。即3、進行強度計算時應遵循的步驟（1）分析梁的受力，依據(jù)平衡條件確定約束力，分析梁的內(nèi)力（畫出彎矩圖）。（2）依據(jù)彎矩圖及截面沿梁軸線變化的情況，確定可能的危險截面：對等截面梁，彎矩最大截面即為危險截面。（3）確定危險點（4）依據(jù)強度條件，進行強度計算。第三節(jié) 梁的剪應力強度條件一、概念梁在橫彎曲作用下，其橫截面上不僅有正應力，還有剪應力。對剪應力的分布作如下假設：(1)橫截面上各點處剪應力t均與剪力Q同向且平行；(2)橫截面上距中性軸等距離各點處剪應力大小相。根據(jù)以

8、上假設，可推導出剪應力計算公式：式中:橫截面上距中性軸z距離為y處各點的剪應力；Q該截面上的剪力；b需求剪應力作用點處的截面寬度；Iz橫截面對其中性軸的慣性矩；Sz*所求剪應力作用點處的橫線以下(或以上）的截面積A*對中性軸的面積矩。剪應力的單位與正應力一樣。剪應力的方向規(guī)定與剪力的符號規(guī)定一樣。二、矩形截面橫梁截面上的剪應力如圖所示高度h大于寬度b的矩形截面梁。橫截面上的剪力Q沿y軸方向作用。將上式帶入剪應力公式得：上式表明矩形截面橫梁截面上的剪應力，沿截面高度呈拋物線規(guī)律變化。在截面上、下邊緣處y=±h/2,則=0；在中性軸上，y=0，剪應力值最大，其值為即上市說明：矩形截面橫梁

9、截面上的最大剪應力為平均剪應力Q/A的1.5倍。綜上所述：剪應力沿其截面高度的分布規(guī)律與正應力不同，正應力最大的在截面的上下邊緣各點，剪應力為零；剪應力最大的在中性軸上各點，正應力為零。三、工字形橫截面的剪應力工字形截面是由上、下翼緣及中間腹板組成的。1)腹板上的剪應力：腹板為狹長矩形,承擔截面絕大部分剪應力，剪應力沿腹板高度按拋物線規(guī)律分布，故中性軸處有最大剪應力；在腹板與翼板的交界處，剪應力與最大剪應力相差不多，接近于均勻分布。2)翼緣上的剪應力：翼緣上的剪應力情況較復雜。豎向分量很小且分布復雜，一般不考慮；水平分量認為沿翼緣厚度均勻分布，計算公式與矩形截面的相同,其方向與豎向剪應力方向之

10、間存在“剪應力流”的規(guī)律。由理論分析可知，工字形截面的腹板上幾乎承受了截面上的95%左右的剪力，而且腹板上的剪應力又接近于均勻分布，故可以近似得出工字形截面最大剪應力的公式：式中：d、h1腹板的寬度和高度；Q橫截面上的剪力。工程中，工字鋼常采用軋制的工字型鋼，由下式計算它的最大剪應力：式中：工字形截面中性軸一側(cè)面積對中性軸的慣性矩；可以直接由型鋼表中查?。〞鳳261），代入上式進行計算； b腹板的寬度，可以查型鋼表確定。四、圓形截面橫梁截面上的最大剪應力圓形截面橫梁截面上的最大豎向剪應力也都發(fā)生在中性軸上，沿中性軸均勻分布。其它形狀的截面上，一般地說，最大剪應力也出現(xiàn)在中性軸上各點。結(jié)合書P1

11、61-162 例8-3進行詳細講解。五、梁的剪應力強度校核梁的剪應力強度條件為：在梁的強度計算時，必須同時滿足彎曲正應力強度條件和剪應力強度條件。但在一般情況下，滿足了正應力強度條件后，剪應力強度都能滿足，故通常只需按正應力條件進行計算。但在下列幾種情況下，還需作剪應力強度校核：（1）梁的跨度很短而又受到很大的集中力作用，或在支座附近作用有較大的集中荷載，此時梁的最大彎矩較小，但最大剪力卻很大。（2）工字梁的腹板寬度很小，或某些鉚接或焊接的組合截面鋼梁中，其腹板寬度與高度之比小于一般型鋼截面的相應值時，此時腹板上的剪應力可能較大。（3）木梁。由于木材在順紋方向的抗剪強度很差，當橫截面中性軸上有

12、較大的剪應力時，根據(jù)剪應力互等定理，梁的中性層上也產(chǎn)生較大的剪應力，可能使木材沿順紋方向破壞。第四節(jié) 提高梁彎曲強度的措施一、提高梁彎曲強度的措施根據(jù)彎曲正應力的強度公式，減小梁的工作應力的途徑：A、降低最大彎矩值MmaxB、增加截面的抗彎截面系數(shù)WZ（1）合理安排梁的支座與荷當荷載一定時，梁的最大彎矩Mmax與梁的跨度有關(guān)，因此，應合理安排支座。 如果結(jié)構(gòu)允許，應盡可能合理地布置梁上的荷載。把梁所受的一個集中力分為幾個較小的集中力，梁的最大彎矩就會明顯減小。（2）采用合理的截面形1）從應力分布規(guī)律考慮應使截面面積較多的部分布置在離中性軸較遠的地方。從應力分布情況看，工字形、槽形等截面形狀比面積相等的矩形截面更合理，而圓形截面又不如矩形截面。凡是中性軸附近用料較多的截面就是不合理截面。2）從抗彎截面系數(shù)WZ考慮應在截面面積相等的條件下，使得抗彎截面系數(shù)WZ盡可能地增大(IZ越大越好)，由式Mmax= WZ可知，梁所能承受的最大彎矩Mmax與抗彎截面系數(shù)WZ成反比。所以，從強度角度看，當截面面積一定時，WZ值越大越有利。3）從材料的強度特性考慮應合理的布置中性軸位置，使截面上的最大拉應力和最大壓應力同時達到材料的容許應力。對抗拉和抗壓強度相等的材料，一般采用對稱于中性軸的截面形狀，如矩形、工字形、槽形、圓形等。對抗拉和抗