導數(shù)知識點總結(jié)及應(yīng)用

1、一、導數(shù)的概念和幾何意義 1. 函數(shù)的平均變化率：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：。 2. 導數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若無限趨近于0時，比值無限趨近于一個常數(shù)A，則稱函數(shù)在處可導，并稱該常數(shù)A為函數(shù)在處的導數(shù)，記作。函數(shù)在處的導數(shù)的實質(zhì)是在該點的瞬時變化率。 3. 求函數(shù)導數(shù)的基本步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率：；（3）取極限，當無限趨近與0時，無限趨近與一個常數(shù)A，則. 4. 導數(shù)的幾何意義： 函數(shù)在處的導數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率。由此，可以利用導數(shù)求曲線的切線方程，具體求法分兩步： （1）求出在x0處的導數(shù)，即為曲線在點處的切線的斜率； （2）在已知切點坐標和切線斜率

2、的條件下，求得切線方程為。 當點不在上時，求經(jīng)過點P的的切線方程，可設(shè)切點坐標，由切點坐標得到切線方程，再將P點的坐標代入確定切點。特別地，如果曲線在點處的切線平行與y軸，這時導數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為。 5. 導數(shù)的物理意義：質(zhì)點做直線運動的位移S是時間t的函數(shù)，則表示瞬時速度，表示瞬時加速度。二、導數(shù)的運算1. 常見函數(shù)的導數(shù)：（1）(k, b為常數(shù))；（2）(C為常數(shù))；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（為常數(shù)）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）。 2. 函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)： （1）；（2）（C為常數(shù)）； （3）; （4）。 3

3、. 簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)： 若，則，即。三、導數(shù)的應(yīng)用 1. 求函數(shù)的單調(diào)性： 利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導， （1）如果恒，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)； （2）如果恒，則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)； （3）如果恒，則函數(shù)在區(qū)間上為常數(shù)函數(shù)。利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：求函數(shù)的定義域；求導數(shù)；解不等式，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；解不等式，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。反過來, 也可以利用導數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題（如確定參數(shù)的取值范圍）：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，(1)如果函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則(其中使的值不構(gòu)成區(qū)間)；(2) 如果函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),則(其中使

4、的值不構(gòu)成區(qū)間)；(3) 如果函數(shù)在區(qū)間上為常數(shù)函數(shù),則恒成立。 2. 求函數(shù)的極值： 設(shè)函數(shù)在及其附近有定義，如果對附近的所有的點都有（或），則稱是函數(shù)的極小值（或極大值）?？蓪Ш瘮?shù)的極值，可通過研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）求方程的全部實根，順次將定義域分成若干個小區(qū)間，并列表：x變化時，和值的變化情況：x正負0正負0正負單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)性 （4）檢查的符號并由表格判斷極值。 3. 求函數(shù)的最大值與最小值： 如果函數(shù)在定義域I內(nèi)存在，使得對任意的，總有，則稱為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的步驟： （1）求在區(qū)間上的極值； （2）將第一步中求得的極值與比較，得到在區(qū)間上的最大值與最小值。 4. 解決不等式的有關(guān)問題：（1）不等式恒成立問題（絕對不等式問題）可考慮值域。的值域是時，不等式恒成立的充要條件是，即；不等式恒成立的充要條件是，即。的值域是時，不等式恒成立的充要條件是；不等式恒成立的充要條件是。 （2）證明不等式可轉(zhuǎn)化為證明，或利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證明。 5. 導數(shù)在實際生活中的應(yīng)用： 實際生