探討參考“PA+kPB”最值探究(胡不歸+阿氏圓)

1、“PA+k PB”型的最值問題【問題背景】“PA+k PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點。當k值為1 時，即可轉(zhuǎn)化為“PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型 來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對稱問題來處理。而當k取任意不為1的正數(shù)時，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無 法進行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動點P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研宄。 即點P在直線上運動和點P在圓上運動。其中點P在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；點P在圓周上運動的類型稱之為“阿氏圓”問題。本文將分別從這兩類入手與大家共同探宄線段最值問題的解決方案?！局R儲備】線段最值

2、問題常用原理： 三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； 兩點間線段最短； 連結(jié)直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；(_)點P在直線上運動一I “胡不歸”問題如圖1-1-1所示，已知sinZMBN=k，點P為角ZMBN其中一邊BM上的一個動 點，點A在射線BM、BN的同側(cè)，連接AP，則當“PA+k.PB”的值最小時，P點的位置如何確定？分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“k.PB”的人小，過點P作PQ丄BN垂足為Q，則 k PB=PB sinZMBN=PQ，本題求“PA+k，PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PQ”的最小值(如圖1-1-2)， 即A、P、Q三點共線時最?。ㄈ?/p>

3、圖1-1-3)，本題得解。動態(tài)展示：見GIF格式！思考：當k值大于1時，“PA+k.PB”線段求和問題該如何轉(zhuǎn)化呢? 提取系數(shù)k即可哦！【數(shù)學故事】從前，有一個小伙子在外地學徒，當他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路。由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點之間線段最短的原 理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑AB (如圖所示），而忽視了走折線雖 然路程多但速度快的實際情況，當他氣喘吁吁地趕到家時，老人剛剛咽了氣，小 伙子失聲痛哭。鄰居勸慰小伙子時告訴說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？ 胡不歸？何以歸”。這個古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到 家？倘若可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線

4、呢？這就是風靡千百年的“胡不歸問(二）點P在圓上運動“阿氏圓”問題如圖所示2-1-1，©O的半徑為r，點A、B都在©O外，P為©O上的動點， 已知r=k OB連接PA、PB，則當“PA+k PB”的值最小時，P點的位置如何確 定？上截取OC使OC=k r，則可說明ABPO與APCO相似，即k PB=PC。本題求“PA+k*PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，即A、P、C 二點共線時最?。ㄈ鐖D2-1-3)，本題得解。動態(tài)展示：見GIF格式！【問題背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點A、B，則所有滿足 PA=kPB (k辛1)的點P的軌跡是一個圓，這

5、個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”?！鞍⑹蠄A”一般解題步驟：第一步：連接動點至圓心0 (將系數(shù)不為1的線段的兩個端點分別與圓心 相連接），則連接OP、0B;第二步：計算出所連接的這兩條線段OP、0B長度;第二步： 第四步：計算這兩條線段長度的比 在0B上取點C，使得OCOpopOB 第五步：連接AC，與圓0交點即為點P.【典型例題】“胡不歸”構(gòu)造某角正弦值等于小于1系數(shù) 起點構(gòu)造所需角（k=sinZCAE)過終點作所構(gòu)角邊的垂線利用垂線段最短解決問題“阿氏圓”構(gòu)造共邊共角型相似構(gòu)造 APABwACAP 推出 iM2 =BdC即：半徑的平方=原有線段X構(gòu)造線段1.(胡不歸問題

6、)如圖，四邊形AB是菱形，AB=4，且ZABC=60°，M為對角線BD (不含B點）上任意一點，則AM+BM的最小值為.分析：如何將1bm轉(zhuǎn)化為其他線段呢？即本題k值為1,必須轉(zhuǎn)化為某一角的正弦值啊， 即轉(zhuǎn)化為30°角的正弦值。思考到這里，不難發(fā)現(xiàn)，只要作MN垂直于BC，B 則MN=1BM，即AM+1BM最小轉(zhuǎn)化為AM+MN最小，本題得解。AD詳解：如圖，作AN丄于BC垂足為N， 四邊形AB是菱形且ZABC=60 °，AZDBC=30°，1 MN即 sinZDBC=-=，2 BM：.1 BM=MN，2.AM+1 BM=AM+MN，即 AM+1 BM 的最

7、小值為 AN.在 RTAABN 中，AN=AB slnZABCsSx3:.2八皿+18皿的最小值為373.變式思考：（1)本題如要求“2AM+BM”的最小值你會求嗎？(2)本題如要求“AM+BM+CM”的最小值你會求嗎？答案：（1) 6n/3 (2) 63本題也可用“費馬點”模型解決哦！詳見：本公眾號前文！2 (阿氏圓問題）如圖，點A、B在O上，且OA=OB=6，且OA丄OB,點C是OA的中點，點D在OB上，且OD=4，動點P在 O上，貝2PC + PD的最小值為. 分析：如何將2PC轉(zhuǎn)化為其他線段呢？不難發(fā)現(xiàn)本題出現(xiàn)了中點，即2倍關(guān)系 就出現(xiàn)了。套用“阿氏圓”模型：構(gòu)造共邊共角相似 半徑的平

8、方=原有線段X構(gòu)造線段 詳解：連接OP，在射線OA上截取AE=6 即：op2 =CxE .AOPCAOEP A PE = 2PC2PC + PD = PE + PD，即 P、D、E 三點共線最小.在 RTAOED 中，DE “OD2 +OE2 = 716 + 144 = 0 即2PC + PD的最小值為410.變式思考：（1)本題如要求“PC + PD”的最小值你會求嗎？ (2)本題如要求“pc + |pd”的最小值你會求嗎？A答案：（1) 2# (2) 3#(胡不歸問題變式)1如圖，等腰AABC中，AB=AC=3，BC=2，BC邊上的高為 AO,點D為射線AO上一點，一動點P從點A出發(fā)，沿A

9、D-DC 運動，動點P在AD上運動速度3個單位每秒，動點P在上運動的速度為1個單位每秒，則當AD=時，運動時間最短為秒.答案：力 2如圖，在菱形AB中，AB=6，且ZABC=150°，點P是對角線AC上的一個動點，則PA+PB+PD的最小值為 答案：62 本題也可用“費馬點”模型解決哦！則PM- PM M(JPH.1. (2016徐州）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A (-1，0)，B (0，-V3)、C (2，0)，其中對稱軸與x軸交于點D。若P為y軸上的一個動點，連接PD，則1P5 + PD的最小值為。22. (2014成都）如圖，已知拋物線y

10、 = ¥(x + 2)(x-4)與x軸從左至右依次交于點A、B，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y = -#x + 與拋物線的另一個交點為33D (-5， 3/3 )。設(shè)F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF 以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D 后停止，當點F的坐標為時，點M在整個運動過程中用時最少？答案：3/3，（-2,2#)課外提升：2015日照、2015內(nèi)江、2016隨州多個城市均在壓軸題考察了 “胡不 歸”問題。要好好專研哦！ ！又見加權(quán)線段和這/1尺近期車.各Jtvey出如”今人*糾卜個H8. 各個JB中討

11、論搿報蜱(K:如田.夜 fill 四邊彤 AMC7)中，肩# - AC - I. AO - (7)- y/1. ZDAB Z0C7* 90% 點 A»屮點.Al. W 分WA線段W>. Kt； h. _4 Yw.V 的讀'卜傖為.江I元鉺X參老人汊奸_味者岬.嬈羹冪博tip蛤出IB*斷承，在MAC外有一!<-fl laMI, MA£l上鵰盧，Wi0C,拿PM小ir/ARi mhLinp -k - sma» MQM'in aMfliiw.v.靖妙的解法.1. (1)【問題提出】：如圖 1，在 RtAABC 中，ZACB = 90°

12、;，CB = 4，CA = 6,OC半徑為2，P為圓上一動點，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值.2嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2,連接CP，在CD CP 1CB 上取點 D，使=1，則有 = & = ，又ZP=ZBCP，/.APABCP,/. PD =1, APD= 1 BP, AAP+1 BP=AP+PD.BP 222請你完成余下的思考，并肓接寫出答案：AP+BP的最小倌為.2(2) .【自主探索】：在“問題提出”的條件不變的情況下，1AP+BP的最小 值為.(3) .【拓展延伸】：已知扇形COD中，ZCOD = 90°，OC = 6，OA =

13、 3，OB = 5, 點P是CD上一點，貝lj 2PA+PB的最小值為.答案：737，2#，13.172. 如圖，在直角坐標系中，以原點0為圓心作半徑為4的圓交X軸正半軸于點A,點M坐標為（6,3)，點N坐標為（8,0)，點P在圓上運動，求PM + PN的最小值3. 如圖，半圓的半徑為1，AB為直徑，AC、BD為切線，AC=1，BD=2，P為冗上 一動點，求fpC+PD的最小值為.答案：5(2017 甘肅蘭州）如圖，拋物線y = -x2+fcc + c與直線燦交于Z -4,-4，S 0,4 兩點，直線ZC:j = -|x-6交.v軸與點C，點五 是直線AS上的動點，過點£作砂丄x軸交

14、JC 于點F，交拋物線于點G.求拋物線_y = -x2 +foc + c的表達式；(2) 連接GS，£0,當四邊形是平行四邊 形時，求點G的坐標；(3) 在軸上存在一點丑，連接£好，F(xiàn)，當點£運動到什么位置時，以為丑為頂點的四邊形是矩形？求出此時點丑 的坐標；在的前提下，以點£為圓心，長為半徑作圓，點M為£上一動點，求iM + CM的最小值.2答案： y= - x2 - 2x+4; (2) G (- 2, 4);_ 1)；(3)E (- 2, 0) H (0,寫在最后:“胡不歸”和“阿氏圓”問題都是一類解決最短距離問題，即“PA+k，PB” (

15、k辛1的常數(shù)）型的最值問題。兩類問題所蘊含的都是數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，即將 k PB這條線段的長度轉(zhuǎn)化為某條具體線段PC的長度，進而根據(jù)“垂線段最短 或兩點之間線段最短”的原理構(gòu)造最短距離。不過兩類問題的難點都在于如何對k值進行轉(zhuǎn)化，“胡不歸”需要構(gòu)造某角 的正弦值等于k (如k值> 1則要先提取k去構(gòu)造某角的正弦值等于1或等于E)kk1將k倍線段轉(zhuǎn)化，再利用“垂線段最短”解決問題；“阿氏圓”問題則需構(gòu)造共邊共角型相似問題，始終抓住點在圓上這個重要 信息，構(gòu)造以半徑為公共邊的一組相似三角形，k值如大于1則將線段擴大相同 的倍數(shù)取點，k值如小于1則將線段縮小相同的倍數(shù)取點利用，再“兩點之間線 段

16、最短”解決問題。衛(wèi)生管理制度1總則1.1為了加強公司的環(huán)境衛(wèi)生管理，創(chuàng)造一個整潔、文明、溫馨的購物、辦公環(huán)境，根據(jù)公共場所衛(wèi)生管理條例的要求，特制定本制度。1.2集團公司的衛(wèi)生管理部門設(shè)在企管部，并負責將集團公司的衛(wèi)生區(qū)域詳細劃分到各部室，各分公司所轄區(qū)域衛(wèi)生由分公司客服部負責劃分，確保無遺漏。2衛(wèi)生標準2.1室內(nèi)衛(wèi)生標準2.1.1地面、墻面：無灰塵、無紙屑、無痰跡、無泡泡糖等粘合物、無積水，墻角無灰吊、無蜘蛛網(wǎng)。2.1.2門、窗、玻璃、鏡子、柱子、電梯、樓梯、燈具等，做到明亮、無灰塵、無污跡、無粘合物，特別是玻璃，要求兩面明亮。2.1.3柜臺、貨架：清潔干凈，貨架、柜臺底層及周圍無亂堆亂放現(xiàn)

17、象、無灰塵、無粘合物，貨架頂部、背部和底部干凈，不存放雜物和私人物品。2.1.4購物車（筐）、直接接觸食品的售貨工具（包括刀、叉等） ：做到內(nèi)外潔凈，無污垢和粘合物等。購物車（筐）要求每天營業(yè)前簡單清理，周五全面清理消毒；售貨工具要求每天消毒，并做好記錄。2.1.5商品及包裝：商品及外包裝清潔無灰塵（外包裝破損的或破舊的不得陳列）。2.1.6收款臺、服務(wù)臺、辦公櫥、存包柜：保持清潔、無灰塵，臺面和側(cè)面無灰塵、無灰吊和蜘蛛網(wǎng)。桌面上不得亂貼、亂畫、亂堆放物品，用具擺放有序且干凈，除當班的購物小票收款聯(lián)外，其它單據(jù)不得存放在桌面上。2.1.7垃圾桶：桶內(nèi)外干凈，要求營業(yè)時間隨時清理，不得溢出，每天下班前徹底清理，不得留有垃圾過夜。2.1.8窗簾：定期進行清理，要求干凈、無污漬。2.1.9吊飾：屋頂?shù)牡躏椧鬅o灰塵、無蜘蛛網(wǎng)，短期內(nèi)不適用的吊飾及時清理徹底。2.1.10內(nèi)、外倉庫：半年徹底清理一次，無垃圾、無積塵、無蜘蛛網(wǎng)等。2.1.11室內(nèi)其他附屬物及工作用具均以整潔為準，要求無灰塵、無粘合物等污垢。2.2室外衛(wèi)生標準2.2.1門前衛(wèi)生：地面每天班前清理，平時每一小時清理一次，每周四營業(yè)結(jié)束后有條件的用水沖洗地面（冬季可根據(jù)情況適當清理） ，墻面干凈且無亂貼亂畫。2.2.2院落衛(wèi)生：院內(nèi)地面衛(wèi)生全天保潔，果皮箱、消防器械、護欄及配電箱等設(shè)施每周清理干凈。垃圾池周邊衛(wèi)生清理徹底，