第八章第1講直線的傾斜角與斜率、直線的方程

1、2016 高考導航知識點考綱下載直線的方程1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式2能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線的位置關系3掌握確定直線位置關系的幾何要素4掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關系兩直線的位置關系1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標2掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離圓的方程掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程和一般方程直線、 圓的位置關系1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系；能根據(jù)給定兩個圓的方程，判斷兩圓的位置關系2能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題

2、3初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想橢圓1.了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用2掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單的幾何性質雙曲線了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質拋物線掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程和簡單幾何性質曲線與方程了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系.第 1 講直線的傾斜角與斜率、直線的方程1直線的傾斜角(1)定義：x 軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角當直線與 x 軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為 0(2)傾斜角的范圍為0，)2直線的斜率(1)定義：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜

3、率，斜率常用小寫字母 k 表示，即 ktan，傾斜角是 90的直線沒有斜率(2)過兩點的直線的斜率公式：經(jīng)過兩點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為 ky2y1x2x1y1y2x1x2.3直線方程名稱幾何條件方程局限性點斜式過點(x0， y0)， 斜率為 kyy0k(xx0)不含垂直于 x 軸的直線斜截式斜率為 k，縱截距為 bykxb不含垂直于 x 軸的直線兩點式過兩點(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2，y1y2)yy1y2y1xx1x2x1不包括垂直于坐標軸的直線截距式在 x 軸、y 軸上的截距分別為a，b(a，b0)xayb1不包括垂直于坐標軸和過

4、原點的直線一般式AxByC0(A， B不全為 0)做一做1已知直線 l 經(jīng)過點 P(2，5)，且斜率為34，則直線 l 的方程為()A3x4y140B3x4y140C4x3y140D4x3y140答案：A2過點 M(2，m)，N(m，4)的直線的斜率為 1，則 m 的值為_答案：11辨明四個易誤點(1)求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率(2)根據(jù)斜率求傾斜角，要注意傾斜角的范圍(3)直線的截距式中易忽視截距均不為 0 這一條件，當截距為 0 時可用點斜式(4)由一般式 AxByC0 確定斜率 k 時易忽視判斷 B 是否為 0， 當 B0 時，

5、 k 不存在；當 B0 時，kAB.2求直線方程的一般方法(1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程，選擇時，應注意各種形式的方程的適用范圍，必要時要分類討論(2)待定系數(shù)法，具體步驟為：設所求直線方程的某種形式；由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；解這個方程(組)求出參數(shù)；把參數(shù)的值代入所設直線方程做一做3已知直線 l：axy2a0 在 x 軸和 y 軸上的截距相等，則 a 的值是()A1B1C2 或1D2 或 1答案：D4直線 xsiny20 的傾斜角的取值范圍是()A0，)B.0，4 34，C.0，4D.0，4 2，解析：選 B.設傾斜角為，則有 tansin，其中

6、 sin1，1又0，)，04或34.考點一_直線的傾斜角與斜率_(1)經(jīng)過兩點 A(4，2y1)，B(2，3)的直線的傾斜角為34，則 y()A1B3C0D2(2)直線 2xcosy306，3的傾斜角的變化范圍是()A.6，3B.4，3C.4，2D.4，23解析(1)tan342y1（3）422y42y2，因此 y21，y3.(2)直線 2xcosy30 的斜率 k2cos.由于6，3 ，所以12cos32，因此 k2cos1， 3設直線的傾斜角為，則有 tan1， 3由于0，)，所以4，3 ，即傾斜角的變化范圍是4，3 .答案(1)B(2)B規(guī)律方法(1)求傾斜角的取值范圍的一般步驟：求出斜

7、率 ktan的取值范圍利用三角函數(shù)的單調性，借助圖象，確定傾斜角的取值范圍求傾斜角時要注意斜率是否存在(2)斜率的求法定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù) ktan求斜率公式法：若已知直線上兩點 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)求斜率1.若直線 l 的斜率為 k，傾斜角為，且6，4 23，則 k的取值范圍是_解析：當6，4 時，ktan33，1；當23，時，ktan 3，0)綜上 k 3，0)33，1.答案： 3，0)33，1考點二_求直線的方程(高頻考點)_直線方程是解析幾何的一個基礎內容， 在高考中經(jīng)常與其他知識結合考查

8、， 多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度不大，多為中、低檔題目高考中對直線方程的考查主要有以下三個命題角度：(1)已知兩個獨立條件，求直線方程；(2)已知直線方程，求直線的傾斜角、斜率；(見考點一)(3)已知直線方程及其他條件，求參數(shù)值或范圍(1)已知直線 xa2ya0(a0，a 是常數(shù))，當此直線在 x，y 軸上的截距和最小時，a 的值是()A1B2C. 2D0(2)過點 A(1，3)，斜率是直線 y3x 的斜率的14的直線方程為_解析(1)直線方程可化為xay1a1，因為 a0，所以截距之和 ta1a2，當且僅當 a1a，即 a1 時取等號(2)設所求直線的斜率為 k，依題意k14334.又

9、直線經(jīng)過點 A(1，3)，因此所求直線方程為 y334(x1)，即 3x4y150.答案(1)A(2)3x4y150規(guī)律方法與直線方程有關問題的解題策略：(1)在求直線方程時，應先選擇適當?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經(jīng)過原點的直線(2)求參數(shù)值或范圍注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數(shù)的單調性或基本不等式求解2.(1)ABC 的三個頂點為 A(3，0)，B(2，1)，C(2，3)，求：BC 所在直線的方程；BC 邊上中線 AD 所在直線的方程；BC 邊的垂直平

10、分線 DE 所在直線的方程(2)過點(3，4)，且在兩坐標軸上的截距之和為 12 的直線方程為_解：(1)因為直線 BC 經(jīng)過 B(2，1)和 C(2，3)兩點，由兩點式得 BC 所在直線的方程為y131x222，即 x2y40.設 BC 中點 D 的坐標為(x，y)，則 x2220，y1322.BC 邊的中線 AD 過 A(3，0)，D(0，2)兩點，由截距式得 AD 所在直線方程為x3y21，即 2x3y60.BC 的斜率 k112，則 BC 的垂直平分線 DE 的斜率 k22，由點斜式得 DE 所在直線的方程為 2xy20.(2)解析：由題設知截距不為 0，設直線方程為xay12a1，又

11、因為直線過點(3，4)，所以3a412a1，解得 a4 或 a9.故所求直線方程為 4xy160 或 x3y90.答案：4xy160 或 x3y90考點三_直線方程的綜合問題_直線 l 過點 P(1，4)，分別交 x 軸的正半軸和 y 軸的正半軸于 A、B 兩點，O 為坐標原點，當|OA|OB|最小時，求 l 的方程解依題意，l 的斜率存在，且斜率為負，設直線 l 的斜率為 k，則直線 l 的方程為 y4k(x1)(k0)令 y0，可得 A14k，0；令 x0，可得 B(0，4k)|OA|OB|14k (4k)5k4k5k4k 549.當且僅當k4k且 k0，即 k2 時，|OA|OB|取最小

12、值這時 l 的方程為 2xy60.在本例條件下，若|PA|PB|最小，求 l 的方程解：|PA|PB|4k216 1k24k(1k2)41k （k） 8(k0)當且僅當1kk 且 k0，即 k1 時，|PA|PB|取最小值這時 l 的方程為 xy50.規(guī)律方法直線方程的應用問題常見的類型及解法：(1)與函數(shù)相結合命題：解決這類問題，一般是利用直線方程中 x、y 的關系，將問題轉化成關于 x 的某函數(shù)，借助函數(shù)性質來解決(2)與方程、不等式相結合命題：一般是利用方程、不等式等知識來解決方法思想分類討論思想在求直線方程中的應用(2015常州模擬)過點 P(2，3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線 l

13、 的方程為_解析(1)當截距不為 0 時，設所求直線方程為xaya1，即 xya0.點 P(2，3)在直線 l 上，23a0，a1，所求直線 l 的方程為 xy10.(2)當截距為 0 時，設所求直線方程為 ykx，則有 32k，即 k32，此時直線 l 的方程為 y32x，即 3x2y0.綜上，直線 l 的方程為 xy10 或 3x2y0.答案xy10 或 3x2y0名師點評(1)求直線方程時，要考慮對斜率是否存在、截距相等時截距是否為零以及相關位置關系進行分類討論(2)本題對截距是否為 0 進行分類討論，易忽略截距為 0 的情況1.若直線過點 P(3，32)且被圓 x2y225 截得的弦長

14、是 8，則該直線的方程為()A3x4y150Bx3 或 y32Cx3Dx3 或 3x4y150解析：選 D.若直線的斜率不存在，則該直線的方程為 x3，代入圓的方程解得 y4，故該直線被圓截得的弦長為 8，滿足條件；若直線的斜率存在，不妨設直線的方程為 y32k(x3)，即 kxy3k320，因為該直線被圓截得的弦長為 8，故半弦長為 4.又圓的半徑為 5，則圓心(0，0)到直線的距離為 5242|3k32|k21，解得 k34，此時該直線的方程為 3x4y150.2過點 M(3，5)且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_解析：(1)當直線過原點時，直線方程為 y53x；(2)當直線不過

15、原點時，設直線方程為xaya1，即 xya.代入點(3，5)，得 a8.即直線方程為 xy80.答案：y53x 或 xy801(2015秦皇島模擬)直線 x 3y10 的傾斜角是()A.6B.3C.23D.56解析：選 D.由直線的方程得直線的斜率為 k33，設傾斜角為，則 tan33，又0，)，所以56.2傾斜角為 120，在 x 軸上的截距為1 的直線方程是()A. 3xy10B. 3xy 30C. 3xy 30D. 3xy 30解析：選 D.由于傾斜角為 120，故斜率 k 3.又直線過點(1，0)，所以方程為 y 3(x1)，即3xy 30.3已知函數(shù) f(x)ax(a0 且 a1)，

16、當 x0 時，f(x)1，方程 yax1a表示的直線是()解析：選 C.x0 時，ax1，0a1.則直線 yax1a的斜率 0a1，在 y 軸上的截距1a1.故選 C.4(2015湖南長沙模擬)過點(1，3)作直線 l，若經(jīng)過點(a，0)和(0，b)，且 aN*，bN*，則可作出的直線 l 的條數(shù)為()A1B2C3D4解析：選 B.由題意得1a3b1(a1)(b3)3.又 aN*，bN*，故有兩個解a2b6或a4，b4.5直線 x2yb0 與兩坐標軸所圍成的三角形的面積不大于 1，那么 b 的取值范圍是()A2，2B(，22，)C2，0)(0，2D(，)解析：選 C.令 x0，得 yb2，令

17、y0，得 xb，所以所求三角形面積為12|b2|b|14b2，且 b0，14b21，所以 b24，所以 b 的取值范圍是2，0)(0，26已知直線的傾斜角是 60，在 y 軸上的截距是 5，則該直線的方程為_解析：因為直線的傾斜角是 60，所以直線的斜率為 ktan60 3.又因為直線在y 軸上的截距是 5，由斜截式得直線的方程為 y 3x5.答案：y 3x57(2015貴州貴陽模擬)直線 l 經(jīng)過點 A(1，2)，在 x 軸上的截距的取值范圍是(3，3)，則其斜率的取值范圍是_解析：設直線 l 的斜率為 k，則方程為 y2k(x1)，在 x 軸上的截距為 12k.令312k3，解得 k12.

18、答案：(，1)12，8已知直線 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當 0a2 時，直線 l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，a_解析：由題意知直線 l1，l2恒過定點 P(2，2)，直線 l1的縱截距為 2a，直線 l2的橫截距為 a22，所以四邊形的面積 S122(2a)122(a22)a2a4(a12)2154，當 a12時，面積最小答案：129已知直線 l 與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 3，分別求滿足下列條件的直線 l 的方程：(1)過定點 A(3，4)；(2)斜率為16.解：(1)設直線 l 的方程為 yk(x3)4，它在 x 軸，y 軸上的截距分

19、別是4k3，3k4，由已知，得(3k4)(4k3)6，解得 k123或 k283.故直線 l 的方程為 2x3y60 或 8x3y120.(2)設直線 l 在 y 軸上的截距為 b，則直線 l 的方程是 y16xb，它在 x 軸上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，b1.直線 l 的方程為 x6y60 或 x6y60.10設直線 l 的方程為 xmy2m60，根據(jù)下列條件分別確定 m 的值：(1)直線 l 的斜率為 1；(2)直線 l 在 x 軸上的截距為3.解：(1)因為直線 l 的斜率存在，所以 m0，于是直線 l 的方程可化為 y1mx2m6m.由題意得1m1，解得 m1.(2)法一：

20、令 y0，得 x2m6.由題意得 2m63，解得 m32.法二：直線 l 的方程可化為 xmy2m6.由題意得 2m63，解得 m32.1(2015福建泉州模擬)若點(m，n)在直線 4x3y100 上，則 m2n2的最小值是()A2B2 2C4D2 3解析：選 C.法一：因為點(m，n)在直線 4x3y100 上，所以 4m3n100，欲求 m2n2的最小值可先求 （m0）2（n0）2的最小值而 （m0）2（n0）2表示 4m3n100 上的點(m，n)到原點的距離，如圖當過原點的直線與直線 4m3n100 垂直時，原點到點(m，n)的距離的最小值為 2.m2n2的最小值為 4.法二：由題意知點(m，n)為直線上到原點最近的點，直線與兩坐標軸交于 A(52，0)，B(0，103)，在 RtOAB 中，OA52，OB103，斜邊 AB（52）2（103）2256，斜邊上的高 h 即為所求 m2n2的算術平方根，SOAB12OAOB12ABh，hOAOBAB521032562，m2n2的最小值為 h24.2已知 A(3，0)，B(0，4)，直線 AB 上有一動點 P(x，y)，則 xy 的最大值是_解析：依題意得 AB 的