排列組合的基本理論和公式-

1、排列組合的基本理論和公式排列與元素的順序有關(guān),組合與順序無(wú)關(guān).如 231與 213是兩個(gè)排列 , 2+3+1的和與 2+1+3的和是一個(gè)組合.(一兩個(gè)基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)(1加法原理:做一件事,完成它可以有 n 類辦法,在第一類辦法中有 m1種不同的方法,在第二類辦法中有 m2種不同的方法, ,在第 n 類辦法中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有N =m1+m2+m3+mn 種不同方法.(2乘法原理:做一件事 ,完成它需要分成 n 個(gè)步驟,做第一步有 m1種不同的方法 ,做第二步有 m2種不同的方法,做第 n 步有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有N =m1×m2

2、×m3××mn種不同的方法. 這里要注意區(qū)分兩個(gè)原理,要做一件事, 完成它若是有 n 類辦法,是分類問(wèn)題,第一類中的方法都是獨(dú)立的,因此用加法原理;做一件事,需要分 n 個(gè)步驟 ,步與步之間是連續(xù)的,只有將分成的若干個(gè)互相聯(lián)系的步驟,依次相繼完成,這件事才算完成,因此用乘法原理.這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的,因此也將兩個(gè)原理區(qū)分開(kāi)來(lái) .(二排列和排列數(shù)(1排列:從 n 個(gè)不同元素中,任取m(mn個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)排列.從排列的意義可知,如果兩個(gè)排列相同, 不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同

3、,而且排列的順序必須完全相同,這就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€(gè)排列是否相同的方法.(2排列數(shù)公式:從 n 個(gè)不同元素中取出m(mn個(gè)元素的所有排列當(dāng) m =n 時(shí),為全排列 Pnn=n(n-1(n-23·2·1=n !(三組合和組合數(shù)(1組合:從 n 個(gè)不同元素中, 任取m(m n個(gè)元素并成一組, 叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合.從組合的定義知,如果兩個(gè)組合中的元素完全相同,不管元素的順序如何,都是相同的組合;只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí),才是不同的組合.(2組合數(shù):從 n 個(gè)不同元素中取出m(mn個(gè)元素的所有組合的個(gè)這里要注意排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系 ,

4、 從 n 個(gè)不同元素中 , 任取m(mn 個(gè)元素,“按照一定的順序排成一列”與“不管怎樣的順序并成一組”這是有本質(zhì)區(qū)別的.一、排列組合部分是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一原因在于(1從千差萬(wàn)別的實(shí)際問(wèn)題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型 ,需要較強(qiáng)的抽象思維能力 ;(2限制條件有時(shí)比較隱晦,需要我們對(duì)問(wèn)題中的關(guān)鍵性詞 (特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞準(zhǔn)確理解;(3計(jì)算手段簡(jiǎn)單,與舊知識(shí)聯(lián)系少,但選擇正確合理的計(jì)算方案時(shí)需要的思維量較大;(4計(jì)算方案是否正確,往往不可用直觀方法來(lái)檢驗(yàn),要求我們搞清概念、原理,并具有較強(qiáng)的分析能力。二、兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用(1加法原理和分類計(jì)數(shù)法1.加法原理2.加法原理的集合形式3.分類

5、的要求每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù);兩類不同辦法中的具體方法,互不相同 (即分類不重 ;完成此任務(wù)的任何一種方法,都屬于某一類 (即分類不漏(2乘法原理和分步計(jì)數(shù)法1.乘法原理2.合理分步的要求任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù), 必須且只須連續(xù)完成這 n 步才能完成此任務(wù);各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立;只要有一步中所采取的方法不同, 則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同編輯本段 例題分析 排列組合思維方法選講1.首先明確任務(wù)的意義例 1. 從 1、 2、 3、 20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列 ,這樣的不同等差數(shù)列有 _個(gè)。分析:首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列

6、組合問(wèn)題。設(shè) a,b,c 成等差, 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 決定,又 2b 是偶數(shù), a,c 同奇或同偶,即:分別從1, 3, 5, 19或2, 4, 6, 8, 20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列,由此就可確定等差數(shù)列, C (2,10 *2*P(2,2,因而本題為 180。例 2. 某城市有 4條東西街道和 6條南北的街道 , 街道之間的間距相同 , 如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn),則從 M 到 N 有多少種不同的走法 ?分析:對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入(一從 M 到 N 必須向上走三步,向右走五步,共走八步。(二每一步是向上還是向右,決定了不同的走法。(三

7、事實(shí)上,當(dāng)把向上的步驟決定后, 剩下的步驟只能向右。從而,任務(wù)可敘述為:從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走,就可以確定走法數(shù),本題答案為:=56。2.分析是分類還是分步,是排列還是組合注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn),分析是分類還是分步,是排列還是組合例 3.在一塊并排的 10壟田地中 ,選擇二壟分別種植 A , B 兩種作物, 每種種植一壟, 為有利于作物生長(zhǎng), 要求 A , B 兩種作物的間隔不少于 6壟 , 不同的選法共有 _種。分析:條件中“要求 A 、 B 兩種作物的間隔不少于 6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù),組合數(shù)的式子表示,因而采取分類的方法。第一類:A 在第一壟, B 有 3種選

8、擇;第二類:A 在第二壟, B 有 2種選擇;第三類:A 在第三壟, B 有一種選擇,同理 A 、 B 位置互換 , 共 12種。例 4. 從 6雙不同顏色的手套中任取 4只, 其中恰好有一雙同色的取法有_。(A240 (B180 (C120 (D60分析:顯然本題應(yīng)分步解決。(一從 6雙中選出一雙同色的手套, 有 6種方法;(二從剩下的十只手套中任選一只, 有 10種方法。(三從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只, 有 8種方法;(四由于選取與順序無(wú)關(guān),因(二(三中的選法重復(fù)一次,因而共 240種。例 5. 身高互不相同的 6個(gè)人排成 2橫行 3縱列, 在第一行的每一個(gè)人都比他同列

9、的身后的人個(gè)子矮,則所有不同的排法種數(shù)為 _。分析:每一縱列中的兩人只要選定,則他們只有一種站位方法,因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系,共有三縱列,從而有 =90種。例 6.在 11名工人中, 有 5人只能當(dāng)鉗工, 4人只能當(dāng)車工,另外 2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工。現(xiàn)從 11人中選出 4人當(dāng)鉗工, 4人當(dāng)車工 ,問(wèn)共有多少種不同的選法 ?分析:采用加法原理首先要做到分類不重不漏,如何做到這一點(diǎn)?分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象,考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。第一類:這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工, 有 10種;第二類:這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工, 有 100種;第三類:這兩人都

10、不去當(dāng)鉗工, 有 75種。因而共有 185種。例 7.現(xiàn)有印著 0, l , 3, 5, 7, 9的六張卡片,如果允許 9可以作 6用,那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù) ?分析 :有同學(xué)認(rèn)為只要把 0, l , 3, 5, 7, 9的排法數(shù)乘以 2即為所求 , 但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有 9的話才可能用 6替換,因而必須分類。抽出的三數(shù)含 0, 含 9, 有 32種方法;抽出的三數(shù)含 0不含 9,有 24種方法;抽出的三數(shù)含 9不含 0,有 72種方法;抽出的三數(shù)不含 9也不含 0,有 24種方法。因此共有 32+24+72+24=152種方法。例 8.停車場(chǎng)劃一排 12個(gè)停車位置

11、,今有 8輛車需要停放,要求空車位連在一起, 不同的停車方法是 _種。分析:把空車位看成一個(gè)元素, 和 8輛車共九個(gè)元素排列,因而共有 362880種停車方法。3.特殊優(yōu)先特殊元素 ,優(yōu)先處理;特殊位置,優(yōu)先考慮例 9.六人站成一排,求(1甲不在排頭,乙不在排尾的排列數(shù)(2甲不在排頭,乙不在排尾,且甲乙不相鄰的排法數(shù)分析:(1先考慮排頭,排尾,但這兩個(gè)要求相互有影響,因而考慮分類。第一類:乙在排頭,有 p(5,5種站法。第二類:乙不在排頭,當(dāng)然他也不能在排尾,有 4X4XP(4,4種站法, 共p(5,5+4X4XP(4,4種站法。(2第一類:甲在排尾 ,乙在排頭,有 P(4,4種方法。第二類:

12、甲在排尾,乙不在排頭, 有 3XP(4,4種方法。第三類:乙在排頭,甲不在排頭, 有 4XP(4,4種方法。第四類:甲不在排尾,乙不在排頭, 有 P(3,3XP(4,4種方法。共 P(4,4+3XP(4,4+4XP(4,4+P(3,3XP(4,4=312種。例 10.對(duì)某件產(chǎn)品的 6件不同正品和 4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試,至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測(cè)試方法有多少種可能 ?分析:本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品,并且是最后一個(gè)次品 , 因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了,分步完成。第一步:第五次測(cè)試的有 C(4.1種可能;第二步:前四次有一件正品有 C(

13、6.1中可能。第三步:前四次有 P(4.4種可能。共有種可能。4.捆綁與插空例 11. 8人排成一隊(duì)(1甲乙必須相鄰 (2甲乙不相鄰(3甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4甲乙必須相鄰,丙丁必須相鄰 (5甲乙不相鄰,丙丁不相鄰分析:(1甲乙必須相鄰,就是把甲乙捆綁 (甲乙可交換和 7人排列 P(7.7*2(2甲乙不相鄰, P(8.8-P(7.7*2。(3甲乙必須相鄰且與丙不相鄰,先求甲乙必須相鄰且與丙相鄰 P(6.6*2*2甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 P(7.7*2-P(6.6*2*2(4甲乙必須相鄰,丙丁必須相鄰 P(6.6*2*2(5甲乙不相鄰,丙丁不相鄰, P(8.8-P(7.7*2*2+P(6

14、.6*2*2 例 12. 某人射擊 8槍,命中 4槍,恰好有三槍連續(xù)命中,有多少種不同的情況 ?分析 :連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰 ,因而這是一個(gè)插空問(wèn)題。另外沒(méi)有命中的之間沒(méi)有區(qū)別,不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的 5個(gè)空中選出 2個(gè)的排列,即 P(5.2。例 13. 馬路上有編號(hào)為 l,2,3,10 十個(gè)路燈,為節(jié)約用電又看清路面,可以把其中的三只燈關(guān)掉,但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只,在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下,求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種? 分析:即關(guān)掉的燈不能相鄰,也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒(méi)有區(qū)別,因而問(wèn)題為在 7 盞亮著的燈形成的不包含兩端的 6 個(gè)空中選出

15、3 個(gè)空放置熄滅的燈。共 C(6.3=20 種方法。 5 .間接計(jì)數(shù)法 .(1排除法例 14. 三行三列共九個(gè)點(diǎn),以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形? 分析:有些問(wèn)題正面求解有一定困難,可以采用間接法。所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù),共種。例 15.正方體 8 個(gè)頂點(diǎn)中取出 4 個(gè),可組成多少個(gè)四面體? 分析:所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù),共 C(8.4-12=70-12=58 個(gè)。例 16. l,2,3, 9 中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù),可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)? 分析:由于底數(shù)不能為 1。(1當(dāng) 1 選上時(shí),1 必為真數(shù),有一種情況

16、。(2當(dāng)不選 1 時(shí),從 2-9 中任取兩個(gè)分別作為底數(shù),真數(shù),共,其中 log2 為底 4=log3 為底 9,log4 為底 2=log9 為底 3, log2 為底 3=log4 為底 9, log3 為底 2=log9 為底 4. 因而一共有 53 個(gè)。 (3補(bǔ)上一個(gè)階段,轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題例 17. 六人排成一排,要求甲在乙的前面,(不一定相鄰,共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢? 分析:(一實(shí)際上,甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱,具有相同的排法數(shù)。因而有=360 種。(二先考慮六人全排列;其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位,因而前面的排法數(shù)重復(fù)了

17、種,共=120 種。例 18.5 男 4 女排成一排,要求男生必須按從高到矮的順序,共有多少種不同的方法? 分析:首先不考慮男生的站位要求,共 P(9.9種;男生從左至右按從高到矮的順序,只有一種站法,因而上述站法重復(fù)了次。因而有 =9×8×7×6=3024 種。若男生從右至左按從高到矮的順序,只有一種站法,同理也有 3024 種,綜上,有 6048 種。例 19. 三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行,共有多少種不同的方法? 分析:先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同,共種方法。而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況下,共有變化,因而共=20 種。 6 .擋板的使用例 20.10

18、 個(gè)名額分配到八個(gè)班,每班至少一個(gè)名額,問(wèn)有多少種不同的分配方法? 分析: 10 個(gè)名額看成十個(gè)元素,把在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中,選出七個(gè)位置放置檔板,則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共 36 種。注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系: 7 .注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系:所有的排列都可以看作是先取組合,再做全排列;同樣,組合如補(bǔ)充一個(gè)階段(排序可轉(zhuǎn)化為排列問(wèn)題。例 21. 從 0,l, 2,9 中取出 2 個(gè)偶數(shù)數(shù)字,3 個(gè)奇數(shù)數(shù)字,可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)? 分析:先選后排。另外還要考慮特殊元素 0 的選取。(一兩個(gè)選出的偶數(shù)含 0,則有種。(二兩個(gè)選出的偶數(shù)字不含 0,則有種。例

19、22. 電梯有 7 位乘客,在 10 層樓房的每一層停留,如果三位乘客從同一層出去,另外兩位在同一層出去,最后兩人各從不同的樓層出去,有多少種不同的下樓方法? 分析:(一先把 7 位乘客分成 3 人,2 人,一人,一人四組,有種。(二選擇 10 層中的四層下樓有種。共有種。例 23. 用數(shù)字 0,1,2,3,4,5 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù), (1可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)? (2可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)? (3可組成多少個(gè)能被 3 整除的四位數(shù)? (4將(1中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列,問(wèn)第 85 項(xiàng)是什么? 分析:(1有個(gè)。(2分為兩類:0 在末位,則有種:0 不在末位,則有種。共+種。(3先把四個(gè)相加能被 3 整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來(lái),即先選0,1,2,3 0,1,3,5 0,2,3,4 0,3,4,5 1,2,4,5 它們排列出來(lái)的數(shù)一定可以被 3 整除,再排列,有:4×(+=96 種。(4首位為 1 的有=60