方陣最小多項(xiàng)式的求法與應(yīng)用

1、方陣最小多項(xiàng)式的求法與應(yīng)用摘要:本文首先介紹了方陣的最小多項(xiàng)式，進(jìn)而給出了最小多項(xiàng)式的四種求法，最后討論了最小多項(xiàng)式的兩個應(yīng)用.關(guān)鍵詞:方陣；最小多項(xiàng)式；不變因子Minimal polynomial of a square matrix and its applicationsFENG Yu-xiang(Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Associate Prof. LI Zhi-huiAbstract:The minimal polynomial of square ma

2、trix is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied.Keywords: square matrix; minimal polynomial; invariant operation 一、引言文獻(xiàn)1中研究了方陣最小多項(xiàng)式的若干性質(zhì)，并給出最小多項(xiàng)式的三種求法.本文試圖通過對文獻(xiàn)1中的結(jié)果進(jìn)一步研究，給出它相應(yīng)的改進(jìn)算法，并提出一種新的

3、求法.與此同時，討論了最小多項(xiàng)式在矩陣的相關(guān)計算和證明中的應(yīng)用，為最小多項(xiàng)式的應(yīng)用提供了新的思想.本文所討論的矩陣和多項(xiàng)式均為復(fù)數(shù)域上n階方陣和多項(xiàng)式.二 、最小多項(xiàng)式的性質(zhì)及求法由哈密爾頓定理可知，對于一n階矩陣 ，是的特征多項(xiàng)式，則 即就是任給數(shù)域上的一個級矩陣，總可以找到數(shù)域上的多項(xiàng)式，使得.如果多項(xiàng)式使得，我們就稱為矩陣的零化多項(xiàng)式.當(dāng)然的零化多項(xiàng)式很多的，于是我們有定義1 設(shè)，次數(shù)最低的首項(xiàng)為1的的零化多項(xiàng)式稱為的最小多項(xiàng)式，記為.最小多項(xiàng)式有以下一些基本性質(zhì)：定理11 設(shè)，則（1）的任一零化多項(xiàng)式都能被整除；（2）的最小多項(xiàng)式是唯一的；（3）相似矩陣最小多項(xiàng)式相同.21 由特征多項(xiàng)

4、式求最小多項(xiàng)式定理21 是的特征多項(xiàng)式零點(diǎn)的充分條件是為的最小多項(xiàng)式的零點(diǎn).證明：見參考文獻(xiàn)1.推論1 若階方陣的特征多項(xiàng)式被分解為不同的一次因式方冪的乘積： ，其中是的相異的特征值，是特征值的重數(shù)，且則的最小多項(xiàng)式具有如下形式：，其中為正整數(shù).推論1實(shí)際上給出了由方陣的特征多項(xiàng)式，求最小多項(xiàng)式的方法.例1 求矩陣 的最小多項(xiàng)式.解：因?yàn)榈奶卣鞫囗?xiàng)式為，根據(jù)推論1便可知，的最小多項(xiàng)式有以下兩種可能： （）（）， 由于 因此，的最小多項(xiàng)式為.有時在分解時比較困難，但由推論1可知，的最小多項(xiàng)式實(shí)質(zhì)包含A的特征多項(xiàng)式中的所有不同的一次因式之積，故可先求出例2 求矩陣 的最小多項(xiàng)式.解：= 由輾轉(zhuǎn)相除

5、法求得于是 =于是 的最小多項(xiàng)式有以下三種可能： 而 ，因此的最小多項(xiàng)式為.22 按最小多項(xiàng)式的定義及存在性求最小多項(xiàng)式定理31 任意 階矩陣都存在最小多項(xiàng)式.證明：參見文獻(xiàn)1.這個定理告訴我們一種求最小多項(xiàng)式的方法，這種方法的步驟是：第一步 試解 若能解出，則的最小多項(xiàng)式為；若關(guān)于無解，則做第二步 試解 若能解出與，則的最小多項(xiàng)式為 若不能解出與，則做第三步 試解 若能解出，與，則的最小多項(xiàng)式為 若不能解出，與，則再做第四步 試解 等等，直到求出（使矩陣方程成立為止（由哈密爾頓-凱萊定理，這樣的過程最多只有步即可終止），這時用代替，便得到所求最小多項(xiàng)式.例2 求矩陣 的最小多項(xiàng)式.解：（1）

6、試解 ，顯然關(guān)于無解. （2）試解 寫出方程兩邊的矩陣，并選擇某行（某列）來求解代數(shù)方程組，以此求和，例如，比較第一行（3，2，0，-1）；的第一行為（），從而的方程組此方程組顯然無解.（3）試解 寫出防城兩邊的矩陣，并選擇第一列來求解，和，這可由此比較方程兩邊第一列：；的第一列:,得關(guān)于，和的方程組:解此方程組得 , , 因?yàn)閷τ谏厦娼獬龅?，?矩陣方程 成立.所以的最小多項(xiàng)式為 2.3 利用標(biāo)準(zhǔn)型求最小多項(xiàng)式定理41 設(shè)矩陣,則的最小多項(xiàng)式可以由 給出,其中是的相異的特征根,是在的型中包含的各分塊的最大階數(shù).證明:參見文獻(xiàn)1.推論2 當(dāng)?shù)乃刑卣髦刀枷喈悤r,的最小多項(xiàng)式就是A的特征多項(xiàng)式.

7、由定理4,在一般情況下,A的最小多項(xiàng)式可以通過求出它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型J獲得. 例3 求矩陣 的最小多項(xiàng)式.解：由的特征多項(xiàng)式 知有兩個不同的特征值：（均為三重的）.容易求得 ，所以對于的特征向量僅有一個，這表示對應(yīng)的塊的數(shù)目是1.又由于對應(yīng)于的特征向量有2個，因此對應(yīng)于的塊共有2塊.故的標(biāo)準(zhǔn)型為： 可見中包含的塊的階數(shù)，包含的塊的最大階數(shù)，因此的最小多項(xiàng)式為：2.4 利用不變因子求最小多項(xiàng)式引理14 的最小多項(xiàng)式是的初等因子的最小公倍式.證明：相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式和初等因子.因此只要對的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣證明即可.設(shè) ，其中，并且我們已知的最小多項(xiàng)式是，現(xiàn)在對任一多項(xiàng)式有因此當(dāng)且僅當(dāng).這

8、就是說，是的化零多項(xiàng)式是的化零多項(xiàng)式，進(jìn)一步，是的最小多項(xiàng)式必須是的化零多項(xiàng)式，因此是的最小多項(xiàng)式的公倍式；另一方面，這些的最小多項(xiàng)式的任一公倍式必須是的化零多項(xiàng)式，因而被整除.故的最小多項(xiàng)式必須是的最小多項(xiàng)式，即的初等因子的最小公倍式.定理54 的最小多項(xiàng)式恰為的最后一個不變因子.證明 由于的最后一個不變因子具有性質(zhì)，所以 中 包含了的初等因子所有互異的指數(shù)最高一次因式的冪，它恰是 的全部初等因子的最小公倍式，于是命題得到證明.例5 證明 的不變因子是，其中. 證明： 因?yàn)榈淖笙陆堑碾A子式為，所以，于是 將的第二，第三，第行，第行分別各乘以都加至第一行上，依第一行展開即得：因此，的不變因子是

9、，. 由定理5可知，的最小多項(xiàng)式實(shí)質(zhì)為的最后一個不變因子，而，其中為的階行列式因子，故可得求的最小多項(xiàng)式的方法.例6 求矩陣的最小多項(xiàng)式.解：右上角有一個三級子式所以 所以的不變因子是1，1，1，它的最小多項(xiàng)式為 三 、最小多項(xiàng)式的應(yīng)用 這一節(jié)我們將討論最小多項(xiàng)式的一些應(yīng)用31 求矩陣的高次冪例7 已知 ，求 解：，由，而，知的最小多項(xiàng)式，所以不能對角化.但我們有 用待定系數(shù)法 令，對上式求導(dǎo)后再令 ，解得因此，3.2 判斷矩陣是否可逆例8 設(shè)是矩陣的最小多項(xiàng)式.是任意多項(xiàng)式，證明：可逆的充要條件是證：若，則存在，使 于是，故，從而可逆.反之，當(dāng)可逆時，設(shè)，于是 ， 從而有 ，（*）因?yàn)?，所以，即可逆，這就有等式（*）推出，并進(jìn)一步得到 且. 本文在文獻(xiàn)1的基礎(chǔ)上對最小多項(xiàng)式的求法做了總結(jié)和改進(jìn)，并提出一些新的求法.同時，將最小多項(xiàng)式的求法應(yīng)用到了求矩陣的高次冪和判斷方陣可逆上，以此達(dá)到理論與實(shí)踐的良好結(jié)合.參考文獻(xiàn)1