數(shù)列裂項-累加-累乘

1、數(shù)列一、基本概念：1數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系的公式數(shù)列的遞推公式：表示任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系的公式2、等差數(shù)列：從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)。這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差定義或,其中d為公差.等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項，且等差數(shù)列的通項公式；通項公式的變形： 等差數(shù)列的前項和：；3、 等差數(shù)列的性質(zhì)：1) 當(dāng)公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)常數(shù)項02) 當(dāng)時,則有，特別地，當(dāng)時，則有4、等比數(shù)列：從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)

2、稱為等比數(shù)列的公比 定義，其中或，其中q為公比.等比中項：在與中間插入一個數(shù)，使，成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項若，則稱為與的等比中項等比數(shù)列的通項公式；通項公式的變形：；等比數(shù)列的前項和：6、等比中項的性質(zhì)：若是等比數(shù)列，且（、），則；若是等比數(shù)列，且（、），則2、 基本運算：1、數(shù)列的通項的求法：1) 公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。2) 數(shù)列的通項公式與前n項的和的關(guān)系( 數(shù)列的前n項的和為)3) 若求用累加法：。4) 已知求，用累乘法：。5) 已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。2、數(shù)列求和的常用方法：1) 公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：

3、運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時需分類討論.；常用公式：，2) 分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和. 3) 倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 4) 錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 5) 裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法

4、求和.常用裂項形式有：； ；.題型一：等差、等比數(shù)列的基本運算例. 設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，已知，則等于【 】A13 B35 C49 D 63 例已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則 A1 B2 C4 D8 例（2010浙江）設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，A11B8 C5 D11為等差數(shù)列，則等于A. -1 B. 1 C. 3 D.72如果等差數(shù)列中，+=12，那么+=A.14 B. 21 C. 28 D.353設(shè)數(shù)列的前n項和，則的值為A. 15 B. 16 C. 49 D.644在等差數(shù)列中，則的值為A.5 B. 6 C. 8 D.105 設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，則 。數(shù)列求和與求通項的方法1.定義法：

5、等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，求求數(shù)列的通項公式.練一練：已知數(shù)列試寫出其一個通項公式：_；（2013年高考重慶卷（文）(本小題滿分13分,()小問7分,()小問6分)設(shè)數(shù)列滿足:,.()求的通項公式及前項和;zhangwlx()已知是等差數(shù)列,為前項和,且,求.2.公式法：已知（即）求，用作差法：。1已知數(shù)列的前項和為，且滿足 。求數(shù)列的通項公式；練一練：已知的前項和滿足，求；3錯位相減法 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.（2013年高考湖南（文）設(shè)為數(shù)列的前項和,已知,2,N()求,并求數(shù)列的通項公式;()求數(shù)列的前項和.4

6、裂項法常見裂項公式這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的. 通項分解（裂項）（2013年高考大綱卷（文）等差數(shù)列中,(I)求的通項公式;(II)設(shè)（2013年高考課標(biāo)卷（文）已知等差數(shù)列的前項和滿足,.()求的通項公式;()求數(shù)列的前項和.5.累加法：若求：。例3. 已知數(shù)列滿足，求。如已知數(shù)列滿足，則=_ ；6.累乘法：已知求，用累乘法：。例4. 已知數(shù)列滿足，求。已知數(shù)列中，前項和，若，求7.已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。