晶體的對(duì)稱元素

1、 晶體的對(duì)稱性是晶體的基本性質(zhì)基本性質(zhì)之一。 內(nèi)部特征內(nèi)部特征 格子構(gòu)造 外部現(xiàn)象外部現(xiàn)象 晶體的幾何多面體形態(tài) 晶體的物理性質(zhì) 化學(xué)性質(zhì) 晶體的對(duì)稱元素晶體的對(duì)稱元素一、對(duì)稱的概念一、對(duì)稱的概念 是宇宙間的普遍現(xiàn)象。 是自然科學(xué)最普遍和最基本的概念，是建造大自然的密碼。 對(duì)稱對(duì)稱是指物體或圖形中是指物體或圖形中作有作有規(guī)律規(guī)律的的重重復(fù)復(fù)。對(duì)于晶體外形而言，就是晶面與晶面、晶。對(duì)于晶體外形而言，就是晶面與晶面、晶棱與晶棱、角頂與角頂?shù)挠幸?guī)律重復(fù)。棱與晶棱、角頂與角頂?shù)挠幸?guī)律重復(fù)。 二、晶體的對(duì)稱二、晶體的對(duì)稱1. 由于晶體都具有格子狀構(gòu)造，而格子狀構(gòu)造就由于晶體都具有格子狀構(gòu)造，而格子狀構(gòu)造

2、就是質(zhì)點(diǎn)在三維空間周期重復(fù)的體現(xiàn)，因此，是質(zhì)點(diǎn)在三維空間周期重復(fù)的體現(xiàn)，因此，所所以的晶體都是對(duì)稱的以的晶體都是對(duì)稱的。2. 晶體的對(duì)稱受格子構(gòu)造規(guī)律的限制。即只有符晶體的對(duì)稱受格子構(gòu)造規(guī)律的限制。即只有符合格子構(gòu)造規(guī)律的對(duì)稱才能在晶體上出現(xiàn)，因合格子構(gòu)造規(guī)律的對(duì)稱才能在晶體上出現(xiàn)，因此，此，晶體對(duì)稱又是有限的。晶體對(duì)稱又是有限的。3. 晶體的對(duì)稱既然取決于格子構(gòu)造，因此晶體的晶體的對(duì)稱既然取決于格子構(gòu)造，因此晶體的對(duì)稱不僅體現(xiàn)在對(duì)稱不僅體現(xiàn)在外形外形上，也體現(xiàn)在上，也體現(xiàn)在物理性質(zhì)物理性質(zhì)上上（光學(xué)、力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)性質(zhì)）。（光學(xué)、力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)性質(zhì)）。4. 是晶體的基本性質(zhì)之一。是晶體的

3、基本性質(zhì)之一。5. 是晶體科學(xué)分類的依據(jù)。是晶體科學(xué)分類的依據(jù)。三、晶體的對(duì)稱操作和對(duì)稱要素三、晶體的對(duì)稱操作和對(duì)稱要素 在對(duì)晶體的對(duì)稱研究中，為使晶體上相同部分作有規(guī)律重復(fù)，必須借助一定的幾何要素（點(diǎn)、線、面）進(jìn)行一定的操作（如反映、旋轉(zhuǎn)、反伸等）才能實(shí)現(xiàn)，這些操作稱為對(duì)稱操對(duì)稱操作作(symmetry operation)，在操作中所借助的幾何要素，稱為對(duì)稱要素對(duì)稱要素()。 對(duì)稱面對(duì)稱面(symmetry plane) 對(duì)稱軸對(duì)稱軸(symmetry axis) 對(duì)稱中心對(duì)稱中心(center of symmetry) 倒轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)軸(rotoinversion axis) 對(duì)稱面（對(duì)稱面

4、（P） 對(duì)稱面是一個(gè)假想的平面，亦稱鏡面。與之相應(yīng)的對(duì)稱操作是此平面的反映反映。由這個(gè)平面將圖形平分后成互為鏡像鏡像的兩個(gè)相等部分，分別相當(dāng)于物體本身和它的像。對(duì)稱面必通過(guò)晶體的中心。m 對(duì)稱面 非對(duì)稱面對(duì)稱操作對(duì)稱操作：對(duì)于此平面的對(duì)于此平面的反映反映標(biāo)志標(biāo)志：兩部分上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否與兩部分上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否與 對(duì)稱面對(duì)稱面垂直等距垂直等距 垂直并平分晶面垂直并平分晶面 垂直晶棱并通過(guò)它的中心垂直晶棱并通過(guò)它的中心 包含晶棱包含晶棱可能出現(xiàn)的位置可能出現(xiàn)的位置：數(shù)目數(shù)目：0 P 9對(duì)稱軸對(duì)稱軸（L Ln n）定義定義：通過(guò)晶體幾何中心的一根假通過(guò)晶體幾何中心的一根假 想的想的直線直線 對(duì)稱

5、操作對(duì)稱操作：是圍繞此直線的是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 特征特征：當(dāng)圖形圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，可使相當(dāng)圖形圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，可使相 同部分重復(fù)同部分重復(fù)（圖形復(fù)原圖形復(fù)原） 重復(fù)時(shí)所旋轉(zhuǎn)的最小角度稱重復(fù)時(shí)所旋轉(zhuǎn)的最小角度稱基轉(zhuǎn)角基轉(zhuǎn)角( ( ) )旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)的次數(shù)稱為旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)的次數(shù)稱為軸次軸次(n)(n) n=360 n=360 = 360/2 =18066180 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternMotifElementthe symbol for a two-fold rotationfirst oper

6、ation stepsecond operation step三次對(duì)稱軸(Three-fold rotation) (L3)= 360/3 =120666step 1step 2step 3120 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternthe symbol for a three-fold rotation6666666666666662-fold3-fold4-fold6-fold其他的對(duì)稱軸其他的對(duì)稱軸(沒(méi)有沒(méi)有5-fold 和和 6-fold 的的) A. A. 過(guò)一對(duì)平行晶面的中心過(guò)一對(duì)平行晶面的中心 B. B. 過(guò)一

7、對(duì)晶棱的中心過(guò)一對(duì)晶棱的中心 C. C. 相對(duì)兩角頂?shù)倪B線相對(duì)兩角頂?shù)倪B線 D. D. 角頂、晶面中心和棱中點(diǎn)任意兩個(gè)的連線角頂、晶面中心和棱中點(diǎn)任意兩個(gè)的連線 數(shù)目數(shù)目0 L2 60 L3 40 L4 30 L6 1對(duì)稱軸可能出現(xiàn)的位置為定義定義：位于晶體幾何中心的一個(gè)位于晶體幾何中心的一個(gè)假想的點(diǎn)假想的點(diǎn) 對(duì)稱操作對(duì)稱操作：是對(duì)此點(diǎn)的是對(duì)此點(diǎn)的反伸反伸 特點(diǎn)特點(diǎn)：如果通過(guò)此點(diǎn)作任意直線，則在此直線上如果通過(guò)此點(diǎn)作任意直線，則在此直線上距對(duì)稱中心等距離的兩端上必定可以找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)距對(duì)稱中心等距離的兩端上必定可以找到對(duì)應(yīng)點(diǎn) 識(shí)別標(biāo)志識(shí)別標(biāo)志： 兩兩成對(duì)兩兩成對(duì) 對(duì)對(duì)平行對(duì)對(duì)平行 同形等大同形等大

8、 方向相反方向相反 對(duì)稱中心對(duì)稱中心（C）所有晶面旋轉(zhuǎn)反伸軸旋轉(zhuǎn)反伸軸（Lin）定義定義：一根過(guò)晶體幾何中心假想的直線一根過(guò)晶體幾何中心假想的直線對(duì)稱操作對(duì)稱操作：圍繞此直線的圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)和對(duì)此直線上的一個(gè)點(diǎn)對(duì)此直線上的一個(gè)點(diǎn)反伸反伸 的的復(fù)合操作復(fù)合操作Li1=CLi2=PLi3=L3+CLi6=L3+PLi4 值得指出的是，除值得指出的是，除Li4外，其余各種旋轉(zhuǎn)反伸軸都可以外，其余各種旋轉(zhuǎn)反伸軸都可以用其它簡(jiǎn)單的對(duì)稱要素或它們的組合來(lái)代替，其間關(guān)用其它簡(jiǎn)單的對(duì)稱要素或它們的組合來(lái)代替，其間關(guān)系如下：系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6

9、= L3 + P 但一般我們?cè)趯懢w的對(duì)稱要素時(shí)，保留但一般我們?cè)趯懢w的對(duì)稱要素時(shí)，保留Li4 和和Li6，而而其他旋轉(zhuǎn)反伸軸就用簡(jiǎn)單對(duì)稱要素代替。這是因?yàn)槠渌D(zhuǎn)反伸軸就用簡(jiǎn)單對(duì)稱要素代替。這是因?yàn)長(zhǎng)i4 不能被代替，不能被代替， Li6在晶體對(duì)稱分類中有特殊意義。在晶體對(duì)稱分類中有特殊意義。但是，在晶體模型上找但是，在晶體模型上找Li4往往是比較困難的，因?yàn)槿菀淄潜容^困難的，因?yàn)槿菀渍`認(rèn)為誤認(rèn)為L(zhǎng)2。我們不能用我們不能用L2代替代替Li4 ，就像我們不能用，就像我們不能用L2代替代替L4一樣。一樣。 因?yàn)橐驗(yàn)長(zhǎng)4高于高于L2 ， Li4也高于也高于L2 。在晶體模型上找對(duì)稱要在晶體模

10、型上找對(duì)稱要素，一定要找出最高的。素，一定要找出最高的。由于晶體是具有格子構(gòu)造的固體物質(zhì)，這種質(zhì)點(diǎn)格子由于晶體是具有格子構(gòu)造的固體物質(zhì)，這種質(zhì)點(diǎn)格子狀的分布特點(diǎn)決定了晶體的對(duì)稱軸只有狀的分布特點(diǎn)決定了晶體的對(duì)稱軸只有n n = 1 = 1，2 2，3 3，4 4，6 6這五種，不可能出現(xiàn)這五種，不可能出現(xiàn)n = n = 5 5， n n 6 6的情況。的情況。為什么呢？為什么呢？1 1、直觀形象的理解：直觀形象的理解：垂直五次及高于六次的對(duì)稱軸垂直五次及高于六次的對(duì)稱軸的平面結(jié)構(gòu)不能構(gòu)成面網(wǎng)，且的平面結(jié)構(gòu)不能構(gòu)成面網(wǎng)，且不能毫無(wú)間隙地鋪滿整個(gè)空間不能毫無(wú)間隙地鋪滿整個(gè)空間, 即不能成為晶體結(jié)構(gòu)

11、。即不能成為晶體結(jié)構(gòu)。晶體對(duì)稱定律晶體對(duì)稱定律2.2.晶體對(duì)稱定律晶體對(duì)稱定律數(shù)學(xué)證明方法：數(shù)學(xué)證明方法：內(nèi)容：只能出現(xiàn)軸次內(nèi)容：只能出現(xiàn)軸次(n)為一次、二次、三次、四次和六為一次、二次、三次、四次和六次的對(duì)稱軸，而不可能存在五次及高于六次的對(duì)稱軸。次的對(duì)稱軸，而不可能存在五次及高于六次的對(duì)稱軸。軸次軸次 n 的確定的確定: n = 360 / a + 2a cos = ma cos = (m-1)/2 -2 m - 1 2由于平行行列的結(jié)點(diǎn)間由于平行行列的結(jié)點(diǎn)間距相等，距相等，m只能取整數(shù)只能取整數(shù)m = 3, 2, 1, 0, -1 = 0, 60, 90, 120, 180 n = 1

12、, 6, 4, 3, 2（但是，在準(zhǔn)晶體中可以有（但是，在準(zhǔn)晶體中可以有5、8、10、12次軸）次軸）1、至少有一端通過(guò)晶棱中點(diǎn)的對(duì)稱軸只能是幾次對(duì)、至少有一端通過(guò)晶棱中點(diǎn)的對(duì)稱軸只能是幾次對(duì) 稱軸？稱軸？2、一對(duì)正六邊形的平行晶面之中點(diǎn)的連線，可能是、一對(duì)正六邊形的平行晶面之中點(diǎn)的連線，可能是 幾次對(duì)稱軸的方位？幾次對(duì)稱軸的方位？3、在只有一個(gè)高次軸的晶體中，能否有與高次軸斜、在只有一個(gè)高次軸的晶體中，能否有與高次軸斜 交的交的P或或L2存在？為什么？存在？為什么？思考思考題題四、對(duì)稱要素的組合四、對(duì)稱要素的組合 對(duì)稱要素組合不是任意的，必須符合對(duì)稱要素的組合定律；對(duì)稱要素組合不是任意的，必

13、須符合對(duì)稱要素的組合定律； 當(dāng)對(duì)稱要素共存時(shí)，也可導(dǎo)出新的對(duì)稱要素。當(dāng)對(duì)稱要素共存時(shí)，也可導(dǎo)出新的對(duì)稱要素。對(duì)稱要素組合定理：對(duì)稱要素組合定理：定理定理1：如果有一個(gè)如果有一個(gè)L2垂直于垂直于Ln，則必有，則必有n個(gè)個(gè)L2垂直于垂直于Ln ，Ln L2 LnnL2 (任意兩個(gè)相鄰的任意兩個(gè)相鄰的L2的夾角是的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一基轉(zhuǎn)角的一半半)。例如。例如: L4 L2 L44L2 , L3 L2 L33L2逆定理：逆定理： 如果兩個(gè)如果兩個(gè)相鄰的相鄰的L2相交，在交點(diǎn)上垂直兩個(gè)相交，在交點(diǎn)上垂直兩個(gè)L2方向方向必會(huì)產(chǎn)生一個(gè)必會(huì)產(chǎn)生一個(gè)Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩個(gè)，其基轉(zhuǎn)角是兩個(gè)L2夾角的兩倍。并導(dǎo)出

14、夾角的兩倍。并導(dǎo)出其他其他n個(gè)在垂直個(gè)在垂直Ln平面內(nèi)的平面內(nèi)的L2。思考思考: 兩個(gè)兩個(gè)L2相交相交30,交點(diǎn)處并垂直交點(diǎn)處并垂直L2所在平面會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)所在平面會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸稱軸?定理定理2：如果一個(gè)對(duì)稱面如果一個(gè)對(duì)稱面P垂直于偶次對(duì)稱軸垂直于偶次對(duì)稱軸Ln(偶偶)，交點(diǎn)必，交點(diǎn)必為對(duì)稱中心：為對(duì)稱中心： Ln (偶偶) P LnP C 。如。如L4 P L4PC 逆定理：逆定理：如果有一個(gè)偶次對(duì)稱軸如果有一個(gè)偶次對(duì)稱軸Ln (偶偶)與對(duì)稱中心與對(duì)稱中心C共存，共存，則過(guò)則過(guò)C且垂直于該對(duì)稱軸必有一對(duì)稱面且垂直于該對(duì)稱軸必有一對(duì)稱面P，即，即 Ln (偶偶) C LnP C 。或，如果有

15、一個(gè)對(duì)稱面?；?，如果有一個(gè)對(duì)稱面P與對(duì)稱中心與對(duì)稱中心C共存，共存，則過(guò)則過(guò)C且垂直于且垂直于P必有一個(gè)必有一個(gè)Ln (偶偶) ，即，即P C Ln (偶偶) P C這一定理說(shuō)明了這一定理說(shuō)明了L2、P、C三者中任兩個(gè)可以產(chǎn)生第三者。三者中任兩個(gè)可以產(chǎn)生第三者。因?yàn)榕即屋S包含因?yàn)榕即屋S包含L2 。定理定理3：如果有一個(gè)對(duì)稱面如果有一個(gè)對(duì)稱面P包含對(duì)稱軸包含對(duì)稱軸Ln，則必有，則必有n個(gè)個(gè)P同同時(shí)包含時(shí)包含Ln，即，即Ln P/ LnnP/（相鄰的兩個(gè)（相鄰的兩個(gè)P的夾角為的夾角為L(zhǎng)n基轉(zhuǎn)角的一半）；如基轉(zhuǎn)角的一半）；如L3 P/ L33P/逆定理：逆定理：兩個(gè)兩個(gè)對(duì)稱面對(duì)稱面P相交，其交線必為

16、一相交，其交線必為一對(duì)稱軸對(duì)稱軸Ln，其基，其基轉(zhuǎn)角為相鄰兩轉(zhuǎn)角為相鄰兩對(duì)稱面對(duì)稱面夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他n個(gè)包含個(gè)包含Ln的的P。 （定理（定理3與定理與定理1類似）類似）思考思考:兩個(gè)對(duì)稱面相交兩個(gè)對(duì)稱面相交60,交線處會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸交線處會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸?定理定理4：如果有一個(gè)二次軸如果有一個(gè)二次軸L2垂直于旋轉(zhuǎn)反伸軸垂直于旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin，或有一個(gè)，或有一個(gè)對(duì)稱面對(duì)稱面P包含包含Lin，當(dāng)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，必有為奇數(shù)時(shí)，必有n個(gè)個(gè)L2垂直垂直Lin或或n個(gè)個(gè)P包包含含Lin：當(dāng)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，必有和為偶數(shù)時(shí)，必有和n/2個(gè)個(gè)L2垂直垂直Lin或或n/2個(gè)個(gè)P包含包

17、含Lin； Lin L2 Lin nL2 或或Lin P/ Lin nP/（n為奇數(shù)）為奇數(shù)） Lin L2 Lin n/2L2 或或Lin P/ Linn/2 P/ （n為偶數(shù)）為偶數(shù)） 定理定理5 如果兩個(gè)對(duì)稱軸如果兩個(gè)對(duì)稱軸Ln和和Lm以以角斜交時(shí)，圍繞角斜交時(shí)，圍繞Ln必有必有n個(gè)共點(diǎn)且對(duì)稱分布的個(gè)共點(diǎn)且對(duì)稱分布的Lm；同時(shí)，圍繞；同時(shí)，圍繞Lm必有必有m個(gè)共點(diǎn)且對(duì)稱個(gè)共點(diǎn)且對(duì)稱分布的分布的Ln：Ln Lm=nLmmLn。 且任二相鄰的且任二相鄰的Ln與與Lm之間的之間的交角均等于交角均等于。補(bǔ)充補(bǔ)充有了對(duì)稱要素組合定理，我們就可以判斷一個(gè)晶體上的有了對(duì)稱要素組合定理，我們就可以判斷一

18、個(gè)晶體上的對(duì)稱要素組合形式的正確與否。對(duì)稱要素組合形式的正確與否。 請(qǐng)大家根據(jù)上述對(duì)稱要素組合定理判斷下列對(duì)稱要素請(qǐng)大家根據(jù)上述對(duì)稱要素組合定理判斷下列對(duì)稱要素組合形式是否正確：組合形式是否正確： 1、L43P 2、L22P 3、L32L2 4、3L2 5、L3PC 6、L6PC 怎么樣？你的成績(jī)?nèi)绾?？怎么樣？你的成?jī)?nèi)绾危?應(yīng)該為應(yīng)該為 L44P ，根據(jù)組合定理，根據(jù)組合定理3， 4個(gè)個(gè)P包含包含L4 根據(jù)組合定理根據(jù)組合定理3， 2個(gè)個(gè)P包含包含L2 應(yīng)該為應(yīng)該為 L33L2 ，根據(jù)組合定理，根據(jù)組合定理1， 3個(gè)個(gè)L2垂直垂直L3 其中一個(gè)其中一個(gè)L2 直立，另外兩個(gè)直立，另外兩個(gè)L2垂

19、直這個(gè)直立的垂直這個(gè)直立的L2 應(yīng)該為應(yīng)該為 L33P ，因?yàn)椋驗(yàn)長(zhǎng)3不是偶次軸，所以不能產(chǎn)生不是偶次軸，所以不能產(chǎn)生C P垂直垂直L6，L6是偶次軸，所以產(chǎn)生是偶次軸，所以產(chǎn)生C對(duì)稱要素組合測(cè)試對(duì)稱要素組合測(cè)試五、五、32個(gè)對(duì)稱型（點(diǎn)群）及其推導(dǎo)個(gè)對(duì)稱型（點(diǎn)群）及其推導(dǎo) 各種晶體的對(duì)稱程度有很大的差別，主要表現(xiàn)在它們所具有的對(duì)稱要素的種類、軸次和數(shù)目上。 晶體形態(tài)中，全部對(duì)稱要素的組合，稱為該晶體晶體形態(tài)中，全部對(duì)稱要素的組合，稱為該晶體形態(tài)的形態(tài)的對(duì)稱型對(duì)稱型 或或 點(diǎn)群點(diǎn)群。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)強(qiáng)調(diào)對(duì)稱要素。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)強(qiáng)調(diào)對(duì)稱要素時(shí)稱對(duì)稱型，強(qiáng)調(diào)對(duì)稱操作時(shí)稱點(diǎn)群。時(shí)稱對(duì)稱型，強(qiáng)調(diào)對(duì)稱操作時(shí)稱

20、點(diǎn)群。 經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，證明對(duì)稱型只有32種。我們將屬于同一對(duì)稱型的所有晶體，歸為一類，稱為晶類晶類。晶類也只有32個(gè)。 在32個(gè)晶類中，按它們所屬的對(duì)稱型特點(diǎn)劃分為七個(gè)晶系晶系。 再按高次對(duì)稱軸的有無(wú)和高次對(duì)稱軸的數(shù)目，將七個(gè)晶系并為三個(gè)晶族晶族。 對(duì)稱型的書寫順序一般是首先寫從高到低不同軸次的對(duì)稱對(duì)稱型的書寫順序一般是首先寫從高到低不同軸次的對(duì)稱軸或旋轉(zhuǎn)反伸軸，其次寫對(duì)稱面，最后寫對(duì)稱心。但在等軸晶軸或旋轉(zhuǎn)反伸軸，其次寫對(duì)稱面，最后寫對(duì)稱心。但在等軸晶系中，不論一個(gè)對(duì)稱型中有無(wú)大于系中，不論一個(gè)對(duì)稱型中有無(wú)大于3 3次的對(duì)稱軸，次的對(duì)稱軸，3 3次對(duì)稱軸次對(duì)稱軸L L3 3應(yīng)當(dāng)始終放在第應(yīng)當(dāng)

21、始終放在第2 2位。位。 請(qǐng)同學(xué)們自己分析一下課本第請(qǐng)同學(xué)們自己分析一下課本第34頁(yè)頁(yè)“圖圖4-14 常見(jiàn)對(duì)稱型中對(duì)稱要素在晶體上的空間配常見(jiàn)對(duì)稱型中對(duì)稱要素在晶體上的空間配置置”各個(gè)圖的對(duì)稱型各個(gè)圖的對(duì)稱型如如A A類對(duì)稱型（高次軸不多于一個(gè)）的推導(dǎo)：類對(duì)稱型（高次軸不多于一個(gè)）的推導(dǎo)：A類對(duì)稱型共有類對(duì)稱型共有27種，根據(jù)對(duì)稱要素對(duì)其推導(dǎo)種，根據(jù)對(duì)稱要素對(duì)其推導(dǎo)1 1）對(duì)稱軸）對(duì)稱軸L Ln n單獨(dú)存在（單獨(dú)存在（原始式對(duì)稱型原始式對(duì)稱型 ），可能的對(duì)），可能的對(duì)稱型為稱型為L(zhǎng) L1 1；L L2 2；L L3 3；L L4 4；L L6 6 。2 2）對(duì)稱軸與對(duì)稱軸的組合（）對(duì)稱軸與對(duì)稱

22、軸的組合（軸式對(duì)稱型）軸式對(duì)稱型） 。在這里。在這里我們只考慮我們只考慮L Ln n與垂直它的與垂直它的L L2 2的組合。根據(jù)上節(jié)所述對(duì)的組合。根據(jù)上節(jié)所述對(duì)稱要素組合規(guī)律稱要素組合規(guī)律L Ln n L L2 2 L Ln nnLnL2 2 ，可能的對(duì)稱型為：，可能的對(duì)稱型為：（L L1 1L L2 2= =L L2 2）；）；L L2 22 2L L2 2=3=3L L2 2；L L3 33 3L L2 2；L L4 44 4L L2 2；L L6 66 6L L2 2 如果如果L L2 2與與L Ln n斜交有可能斜交有可能出現(xiàn)多于一個(gè)的高次軸，出現(xiàn)多于一個(gè)的高次軸，這時(shí)就不屬于這時(shí)就不

23、屬于A類對(duì)稱型了。類對(duì)稱型了。3）對(duì)稱軸）對(duì)稱軸Ln與垂直它的對(duì)稱面與垂直它的對(duì)稱面P的組合（的組合（中心式中心式對(duì)稱型對(duì)稱型） ?？紤]到組合規(guī)律。考慮到組合規(guī)律Ln(偶偶)PLn(偶偶)PC，則可能的對(duì)稱型為則可能的對(duì)稱型為L(zhǎng)2PC；L4PC；L6PC。4）對(duì)稱軸）對(duì)稱軸Ln與包含它的對(duì)稱面的組合（與包含它的對(duì)稱面的組合（平面式對(duì)平面式對(duì)稱型稱型 ）。根據(jù)組合規(guī)律。根據(jù)組合規(guī)律Ln PLnnP，可能的對(duì)，可能的對(duì)稱型為：稱型為：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。 ？5）對(duì)稱軸）對(duì)稱軸Ln與垂直它的對(duì)稱面以及包含它的與垂直它的對(duì)稱面以及包含它的對(duì)稱面的組合（對(duì)稱面的組合（軸

24、面式對(duì)稱型軸面式對(duì)稱型 ）。垂直）。垂直Ln的的P與與包 含包 含 Ln的的 P 的 交 線 必 為 垂 直的 交 線 必 為 垂 直 Ln的的 L2， 即， 即Ln P P=Ln P P L2 =LnnL2(n+1)P(C)（C只在有偶次軸垂直只在有偶次軸垂直P的情況下產(chǎn)生的情況下產(chǎn)生)，可能的對(duì)稱，可能的對(duì)稱型為：型為：(L1L22P=L22P）；）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；）；L44L25PC；L66L27PC。 6 6）旋轉(zhuǎn)反伸軸單獨(dú)存在（）旋轉(zhuǎn)反伸軸單獨(dú)存在（倒轉(zhuǎn)原始式對(duì)稱型倒轉(zhuǎn)原始式對(duì)稱型）?？桑??？赡艿膶?duì)稱型為：能的對(duì)稱型為：L Li

25、 i1 1= =C C；L Li i2 2= =P P；L Li i3 3= =L L3 3C C；L Li i6 6= =L L3 3P P。7）旋轉(zhuǎn)反伸軸）旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin與垂直它的與垂直它的L2（或包含它的（或包含它的P）的）的組合（組合（倒轉(zhuǎn)軸面式對(duì)稱型倒轉(zhuǎn)軸面式對(duì)稱型 ）。根據(jù)組合規(guī)律，當(dāng)）。根據(jù)組合規(guī)律，當(dāng)n為為奇數(shù)時(shí)奇數(shù)時(shí)LinnL2nP，可能的對(duì)稱型為：，可能的對(duì)稱型為：（Li1L2P=L2PC）；）；Li33L23P=L33L23PC；當(dāng)；當(dāng)n為偶數(shù)為偶數(shù)時(shí)時(shí) Lin(n/2)L2 (n /2)P ，可能的對(duì)稱型為：，可能的對(duì)稱型為：（Li2L2P=L22P）；）；Li42L

26、22P；Li63L23P=L33L24P。 例：如果晶體中有一個(gè)例：如果晶體中有一個(gè)L4，同時(shí)又有一個(gè)，同時(shí)又有一個(gè)L2垂直于它和一垂直于它和一個(gè)對(duì)稱面垂直它，則個(gè)對(duì)稱面垂直它，則L4 L2 L44L2（組合定律（組合定律1），），L4 PL4PC（組合定律（組合定律2），因?yàn)榇怪保驗(yàn)榇怪盠4的的P 與與L2是包含關(guān)系，是包含關(guān)系，所以：所以：L2 PL22P（組合定律（組合定律3），這兩個(gè)），這兩個(gè)P中，有一個(gè)中，有一個(gè)是垂直是垂直L4包含包含L2的，而另一個(gè)是包含的，而另一個(gè)是包含 L4垂直垂直L2，這個(gè)包含，這個(gè)包含L4 的的P以及垂直以及垂直L4的的P與與L4組合（根據(jù)推導(dǎo)組合（根

27、據(jù)推導(dǎo)5）：）： Ln P P=Ln P P L2 =LnnL2(n+1)PC，最后產(chǎn)生對(duì)稱，最后產(chǎn)生對(duì)稱型型L44L25PC，金紅石就是這種對(duì)稱型。，金紅石就是這種對(duì)稱型。 7個(gè)組合類型中共導(dǎo)出個(gè)組合類型中共導(dǎo)出35個(gè)對(duì)稱型，其中重復(fù)的個(gè)對(duì)稱型，其中重復(fù)的有有8個(gè)，故實(shí)際導(dǎo)出的個(gè)，故實(shí)際導(dǎo)出的A類對(duì)稱型共類對(duì)稱型共27種。種。 。 請(qǐng)同學(xué)們將表中空格的內(nèi)容填上，空格中的內(nèi)容請(qǐng)同學(xué)們將表中空格的內(nèi)容填上，空格中的內(nèi)容與表中其他內(nèi)容是重復(fù)的。與表中其他內(nèi)容是重復(fù)的。L Ln nL Ln nnL L2 2Ln CLn PCLn nPLn nL L2 2 (n+1)P(C)L Li in nL Li

28、 in n nL L2 2 nPL Li in n n/2L L2 2 n/2PL L1 1L Li i1 1 = CL L2 23L3L2 2L2 PCL2 2P3L L2 2 3PCL Li i2 2 = PL L3 3L L3 33L L2 2L3 3PL Li i3 3 =L L3 3 C L3 3L L2 2 3PCL L4 4L L4 44L L2 2L4 PCL4 4PL4 4L L2 2 5PCL Li i4 4L Li i4 4 2L2 2PL L6 6L L6 66L L2 2L6 PCL6 6PL6 6L L2 2 7PCL Li i6 6=L L3 3 PL Li i6

29、 6 3L L2 2 3P= L L3 3 3L L2 2 4P還有還有5個(gè)是個(gè)是B類（高次軸多于一個(gè)）對(duì)稱型，不要求推導(dǎo)。類（高次軸多于一個(gè)）對(duì)稱型，不要求推導(dǎo)。此外還有3L44L36L29PC，3L24L33PC，3Li44L36P對(duì)稱型符號(hào)對(duì)稱型符號(hào) 習(xí)慣符號(hào)習(xí)慣符號(hào) 按一定的順序表示出晶體所有對(duì)稱要素的符號(hào)按一定的順序表示出晶體所有對(duì)稱要素的符號(hào) mLnmPC(n-對(duì)稱軸軸次，從高到低排列，對(duì)稱軸軸次，從高到低排列，m-對(duì)稱對(duì)稱 軸或?qū)Τ擅娴臄?shù)目）軸或?qū)Τ擅娴臄?shù)目）國(guó)際符號(hào)國(guó)際符號(hào)（反映（反映對(duì)稱要素對(duì)稱要素及其在及其在空間的取向空間的取向） n單獨(dú)一個(gè)對(duì)稱軸單獨(dú)一個(gè)對(duì)稱軸Ln 單獨(dú)一

30、個(gè)單獨(dú)一個(gè)Lin N/m Ln垂直它的垂直它的P的組合的組合 N22或或N2 Ln和垂直它的和垂直它的L2的組合（的組合（N1時(shí)，時(shí)，1省略）省略） Nmm Ln和包含它的和包含它的P的組合（的組合（N1時(shí)，時(shí)，1省略，省略， N=2時(shí)，特寫為時(shí)，特寫為mm2） N2m Lin和包含它的和包含它的P以及垂直它的以及垂直它的L2的組合的組合 N/mmm Ln和包含它的和包含它的P以及垂直它的以及垂直它的P的組合的組合 X3Y或或X3第二位上為第二位上為3者表示者表示4L3說(shuō)明六、晶體的對(duì)稱分類六、晶體的對(duì)稱分類32晶類晶類高、中、低級(jí)晶族高、中、低級(jí)晶族7大晶系大晶系屬于同一屬于同一對(duì)稱型的對(duì)稱型的晶體晶體高次軸的有無(wú)及高次軸的有無(wú)及多少多少軸次的高低軸次的高低及數(shù)目及數(shù)目三斜晶系三斜晶系單斜晶系單斜晶系斜方晶系斜方晶系三方晶系三方晶系四方晶系四方晶系六方晶系六方晶系等軸晶系等軸晶系晶體低級(jí)晶族中級(jí)晶族高級(jí)晶族4L3