晶體的對稱元素

1、 晶體的對稱性是晶體的基本性質(zhì)基本性質(zhì)之一。 內(nèi)部特征內(nèi)部特征 格子構造 外部現(xiàn)象外部現(xiàn)象 晶體的幾何多面體形態(tài) 晶體的物理性質(zhì) 化學性質(zhì) 晶體的對稱元素晶體的對稱元素一、對稱的概念一、對稱的概念 是宇宙間的普遍現(xiàn)象。 是自然科學最普遍和最基本的概念，是建造大自然的密碼。 對稱對稱是指物體或圖形中是指物體或圖形中作有作有規(guī)律規(guī)律的的重重復復。對于晶體外形而言，就是晶面與晶面、晶。對于晶體外形而言，就是晶面與晶面、晶棱與晶棱、角頂與角頂?shù)挠幸?guī)律重復。棱與晶棱、角頂與角頂?shù)挠幸?guī)律重復。 二、晶體的對稱二、晶體的對稱1. 由于晶體都具有格子狀構造，而格子狀構造就由于晶體都具有格子狀構造，而格子狀構造

2、就是質(zhì)點在三維空間周期重復的體現(xiàn)，因此，是質(zhì)點在三維空間周期重復的體現(xiàn)，因此，所所以的晶體都是對稱的以的晶體都是對稱的。2. 晶體的對稱受格子構造規(guī)律的限制。即只有符晶體的對稱受格子構造規(guī)律的限制。即只有符合格子構造規(guī)律的對稱才能在晶體上出現(xiàn)，因合格子構造規(guī)律的對稱才能在晶體上出現(xiàn)，因此，此，晶體對稱又是有限的。晶體對稱又是有限的。3. 晶體的對稱既然取決于格子構造，因此晶體的晶體的對稱既然取決于格子構造，因此晶體的對稱不僅體現(xiàn)在對稱不僅體現(xiàn)在外形外形上，也體現(xiàn)在上，也體現(xiàn)在物理性質(zhì)物理性質(zhì)上上（光學、力學、熱學、電學性質(zhì)）。（光學、力學、熱學、電學性質(zhì)）。4. 是晶體的基本性質(zhì)之一。是晶體的

3、基本性質(zhì)之一。5. 是晶體科學分類的依據(jù)。是晶體科學分類的依據(jù)。三、晶體的對稱操作和對稱要素三、晶體的對稱操作和對稱要素 在對晶體的對稱研究中，為使晶體上相同部分作有規(guī)律重復，必須借助一定的幾何要素（點、線、面）進行一定的操作（如反映、旋轉(zhuǎn)、反伸等）才能實現(xiàn)，這些操作稱為對稱操對稱操作作(symmetry operation)，在操作中所借助的幾何要素，稱為對稱要素對稱要素()。 對稱面對稱面(symmetry plane) 對稱軸對稱軸(symmetry axis) 對稱中心對稱中心(center of symmetry) 倒轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)軸(rotoinversion axis) 對稱面（對稱面

4、（P） 對稱面是一個假想的平面，亦稱鏡面。與之相應的對稱操作是此平面的反映反映。由這個平面將圖形平分后成互為鏡像鏡像的兩個相等部分，分別相當于物體本身和它的像。對稱面必通過晶體的中心。m 對稱面 非對稱面對稱操作對稱操作：對于此平面的對于此平面的反映反映標志標志：兩部分上對應點的連線是否與兩部分上對應點的連線是否與 對稱面對稱面垂直等距垂直等距 垂直并平分晶面垂直并平分晶面 垂直晶棱并通過它的中心垂直晶棱并通過它的中心 包含晶棱包含晶棱可能出現(xiàn)的位置可能出現(xiàn)的位置：數(shù)目數(shù)目：0 P 9對稱軸對稱軸（L Ln n）定義定義：通過晶體幾何中心的一根假通過晶體幾何中心的一根假 想的想的直線直線 對稱

5、操作對稱操作：是圍繞此直線的是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 特征特征：當圖形圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，可使相當圖形圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，可使相 同部分重復同部分重復（圖形復原圖形復原） 重復時所旋轉(zhuǎn)的最小角度稱重復時所旋轉(zhuǎn)的最小角度稱基轉(zhuǎn)角基轉(zhuǎn)角( ( ) )旋轉(zhuǎn)一周重復的次數(shù)稱為旋轉(zhuǎn)一周重復的次數(shù)稱為軸次軸次(n)(n) n=360 n=360 = 360/2 =18066180 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternMotifElementthe symbol for a two-fold rotationfirst oper

6、ation stepsecond operation step三次對稱軸(Three-fold rotation) (L3)= 360/3 =120666step 1step 2step 3120 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternthe symbol for a three-fold rotation6666666666666662-fold3-fold4-fold6-fold其他的對稱軸其他的對稱軸(沒有沒有5-fold 和和 6-fold 的的) A. A. 過一對平行晶面的中心過一對平行晶面的中心 B. B. 過一

7、對晶棱的中心過一對晶棱的中心 C. C. 相對兩角頂?shù)倪B線相對兩角頂?shù)倪B線 D. D. 角頂、晶面中心和棱中點任意兩個的連線角頂、晶面中心和棱中點任意兩個的連線 數(shù)目數(shù)目0 L2 60 L3 40 L4 30 L6 1對稱軸可能出現(xiàn)的位置為定義定義：位于晶體幾何中心的一個位于晶體幾何中心的一個假想的點假想的點 對稱操作對稱操作：是對此點的是對此點的反伸反伸 特點特點：如果通過此點作任意直線，則在此直線上如果通過此點作任意直線，則在此直線上距對稱中心等距離的兩端上必定可以找到對應點距對稱中心等距離的兩端上必定可以找到對應點 識別標志識別標志： 兩兩成對兩兩成對 對對平行對對平行 同形等大同形等大

8、 方向相反方向相反 對稱中心對稱中心（C）所有晶面旋轉(zhuǎn)反伸軸旋轉(zhuǎn)反伸軸（Lin）定義定義：一根過晶體幾何中心假想的直線一根過晶體幾何中心假想的直線對稱操作對稱操作：圍繞此直線的圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)和對此直線上的一個點對此直線上的一個點反伸反伸 的的復合操作復合操作Li1=CLi2=PLi3=L3+CLi6=L3+PLi4 值得指出的是，除值得指出的是，除Li4外，其余各種旋轉(zhuǎn)反伸軸都可以外，其余各種旋轉(zhuǎn)反伸軸都可以用其它簡單的對稱要素或它們的組合來代替，其間關用其它簡單的對稱要素或它們的組合來代替，其間關系如下：系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6

9、= L3 + P 但一般我們在寫晶體的對稱要素時，保留但一般我們在寫晶體的對稱要素時，保留Li4 和和Li6，而而其他旋轉(zhuǎn)反伸軸就用簡單對稱要素代替。這是因為其他旋轉(zhuǎn)反伸軸就用簡單對稱要素代替。這是因為Li4 不能被代替，不能被代替， Li6在晶體對稱分類中有特殊意義。在晶體對稱分類中有特殊意義。但是，在晶體模型上找但是，在晶體模型上找Li4往往是比較困難的，因為容易往往是比較困難的，因為容易誤認為誤認為L2。我們不能用我們不能用L2代替代替Li4 ，就像我們不能用，就像我們不能用L2代替代替L4一樣。一樣。 因為因為L4高于高于L2 ， Li4也高于也高于L2 。在晶體模型上找對稱要在晶體模

10、型上找對稱要素，一定要找出最高的。素，一定要找出最高的。由于晶體是具有格子構造的固體物質(zhì)，這種質(zhì)點格子由于晶體是具有格子構造的固體物質(zhì)，這種質(zhì)點格子狀的分布特點決定了晶體的對稱軸只有狀的分布特點決定了晶體的對稱軸只有n n = 1 = 1，2 2，3 3，4 4，6 6這五種，不可能出現(xiàn)這五種，不可能出現(xiàn)n = n = 5 5， n n 6 6的情況。的情況。為什么呢？為什么呢？1 1、直觀形象的理解：直觀形象的理解：垂直五次及高于六次的對稱軸垂直五次及高于六次的對稱軸的平面結(jié)構不能構成面網(wǎng)，且的平面結(jié)構不能構成面網(wǎng)，且不能毫無間隙地鋪滿整個空間不能毫無間隙地鋪滿整個空間, 即不能成為晶體結(jié)構

11、。即不能成為晶體結(jié)構。晶體對稱定律晶體對稱定律2.2.晶體對稱定律晶體對稱定律數(shù)學證明方法：數(shù)學證明方法：內(nèi)容：只能出現(xiàn)軸次內(nèi)容：只能出現(xiàn)軸次(n)為一次、二次、三次、四次和六為一次、二次、三次、四次和六次的對稱軸，而不可能存在五次及高于六次的對稱軸。次的對稱軸，而不可能存在五次及高于六次的對稱軸。軸次軸次 n 的確定的確定: n = 360 / a + 2a cos = ma cos = (m-1)/2 -2 m - 1 2由于平行行列的結(jié)點間由于平行行列的結(jié)點間距相等，距相等，m只能取整數(shù)只能取整數(shù)m = 3, 2, 1, 0, -1 = 0, 60, 90, 120, 180 n = 1

12、, 6, 4, 3, 2（但是，在準晶體中可以有（但是，在準晶體中可以有5、8、10、12次軸）次軸）1、至少有一端通過晶棱中點的對稱軸只能是幾次對、至少有一端通過晶棱中點的對稱軸只能是幾次對 稱軸？稱軸？2、一對正六邊形的平行晶面之中點的連線，可能是、一對正六邊形的平行晶面之中點的連線，可能是 幾次對稱軸的方位？幾次對稱軸的方位？3、在只有一個高次軸的晶體中，能否有與高次軸斜、在只有一個高次軸的晶體中，能否有與高次軸斜 交的交的P或或L2存在？為什么？存在？為什么？思考思考題題四、對稱要素的組合四、對稱要素的組合 對稱要素組合不是任意的，必須符合對稱要素的組合定律；對稱要素組合不是任意的，必

13、須符合對稱要素的組合定律； 當對稱要素共存時，也可導出新的對稱要素。當對稱要素共存時，也可導出新的對稱要素。對稱要素組合定理：對稱要素組合定理：定理定理1：如果有一個如果有一個L2垂直于垂直于Ln，則必有，則必有n個個L2垂直于垂直于Ln ，Ln L2 LnnL2 (任意兩個相鄰的任意兩個相鄰的L2的夾角是的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一基轉(zhuǎn)角的一半半)。例如。例如: L4 L2 L44L2 , L3 L2 L33L2逆定理：逆定理： 如果兩個如果兩個相鄰的相鄰的L2相交，在交點上垂直兩個相交，在交點上垂直兩個L2方向方向必會產(chǎn)生一個必會產(chǎn)生一個Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩個，其基轉(zhuǎn)角是兩個L2夾角的兩倍。并導出

14、夾角的兩倍。并導出其他其他n個在垂直個在垂直Ln平面內(nèi)的平面內(nèi)的L2。思考思考: 兩個兩個L2相交相交30,交點處并垂直交點處并垂直L2所在平面會產(chǎn)生什么對所在平面會產(chǎn)生什么對稱軸稱軸?定理定理2：如果一個對稱面如果一個對稱面P垂直于偶次對稱軸垂直于偶次對稱軸Ln(偶偶)，交點必，交點必為對稱中心：為對稱中心： Ln (偶偶) P LnP C 。如。如L4 P L4PC 逆定理：逆定理：如果有一個偶次對稱軸如果有一個偶次對稱軸Ln (偶偶)與對稱中心與對稱中心C共存，共存，則過則過C且垂直于該對稱軸必有一對稱面且垂直于該對稱軸必有一對稱面P，即，即 Ln (偶偶) C LnP C ?；颍绻?/p>

15、一個對稱面?；颍绻幸粋€對稱面P與對稱中心與對稱中心C共存，共存，則過則過C且垂直于且垂直于P必有一個必有一個Ln (偶偶) ，即，即P C Ln (偶偶) P C這一定理說明了這一定理說明了L2、P、C三者中任兩個可以產(chǎn)生第三者。三者中任兩個可以產(chǎn)生第三者。因為偶次軸包含因為偶次軸包含L2 。定理定理3：如果有一個對稱面如果有一個對稱面P包含對稱軸包含對稱軸Ln，則必有，則必有n個個P同同時包含時包含Ln，即，即Ln P/ LnnP/（相鄰的兩個（相鄰的兩個P的夾角為的夾角為Ln基轉(zhuǎn)角的一半）；如基轉(zhuǎn)角的一半）；如L3 P/ L33P/逆定理：逆定理：兩個兩個對稱面對稱面P相交，其交線必為

16、一相交，其交線必為一對稱軸對稱軸Ln，其基，其基轉(zhuǎn)角為相鄰兩轉(zhuǎn)角為相鄰兩對稱面對稱面夾角的兩倍，并導出其他夾角的兩倍，并導出其他n個包含個包含Ln的的P。 （定理（定理3與定理與定理1類似）類似）思考思考:兩個對稱面相交兩個對稱面相交60,交線處會產(chǎn)生什么對稱軸交線處會產(chǎn)生什么對稱軸?定理定理4：如果有一個二次軸如果有一個二次軸L2垂直于旋轉(zhuǎn)反伸軸垂直于旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin，或有一個，或有一個對稱面對稱面P包含包含Lin，當，當n為奇數(shù)時，必有為奇數(shù)時，必有n個個L2垂直垂直Lin或或n個個P包包含含Lin：當：當n為偶數(shù)時，必有和為偶數(shù)時，必有和n/2個個L2垂直垂直Lin或或n/2個個P包含包

17、含Lin； Lin L2 Lin nL2 或或Lin P/ Lin nP/（n為奇數(shù)）為奇數(shù)） Lin L2 Lin n/2L2 或或Lin P/ Linn/2 P/ （n為偶數(shù)）為偶數(shù)） 定理定理5 如果兩個對稱軸如果兩個對稱軸Ln和和Lm以以角斜交時，圍繞角斜交時，圍繞Ln必有必有n個共點且對稱分布的個共點且對稱分布的Lm；同時，圍繞；同時，圍繞Lm必有必有m個共點且對稱個共點且對稱分布的分布的Ln：Ln Lm=nLmmLn。 且任二相鄰的且任二相鄰的Ln與與Lm之間的之間的交角均等于交角均等于。補充補充有了對稱要素組合定理，我們就可以判斷一個晶體上的有了對稱要素組合定理，我們就可以判斷一

18、個晶體上的對稱要素組合形式的正確與否。對稱要素組合形式的正確與否。 請大家根據(jù)上述對稱要素組合定理判斷下列對稱要素請大家根據(jù)上述對稱要素組合定理判斷下列對稱要素組合形式是否正確：組合形式是否正確： 1、L43P 2、L22P 3、L32L2 4、3L2 5、L3PC 6、L6PC 怎么樣？你的成績?nèi)绾?？怎么樣？你的成績?nèi)绾危?應該為應該為 L44P ，根據(jù)組合定理，根據(jù)組合定理3， 4個個P包含包含L4 根據(jù)組合定理根據(jù)組合定理3， 2個個P包含包含L2 應該為應該為 L33L2 ，根據(jù)組合定理，根據(jù)組合定理1， 3個個L2垂直垂直L3 其中一個其中一個L2 直立，另外兩個直立，另外兩個L2垂

19、直這個直立的垂直這個直立的L2 應該為應該為 L33P ，因為，因為L3不是偶次軸，所以不能產(chǎn)生不是偶次軸，所以不能產(chǎn)生C P垂直垂直L6，L6是偶次軸，所以產(chǎn)生是偶次軸，所以產(chǎn)生C對稱要素組合測試對稱要素組合測試五、五、32個對稱型（點群）及其推導個對稱型（點群）及其推導 各種晶體的對稱程度有很大的差別，主要表現(xiàn)在它們所具有的對稱要素的種類、軸次和數(shù)目上。 晶體形態(tài)中，全部對稱要素的組合，稱為該晶體晶體形態(tài)中，全部對稱要素的組合，稱為該晶體形態(tài)的形態(tài)的對稱型對稱型 或或 點群點群。一般來說，當強調(diào)對稱要素。一般來說，當強調(diào)對稱要素時稱對稱型，強調(diào)對稱操作時稱點群。時稱對稱型，強調(diào)對稱操作時稱

20、點群。 經(jīng)過數(shù)學推導，證明對稱型只有32種。我們將屬于同一對稱型的所有晶體，歸為一類，稱為晶類晶類。晶類也只有32個。 在32個晶類中，按它們所屬的對稱型特點劃分為七個晶系晶系。 再按高次對稱軸的有無和高次對稱軸的數(shù)目，將七個晶系并為三個晶族晶族。 對稱型的書寫順序一般是首先寫從高到低不同軸次的對稱對稱型的書寫順序一般是首先寫從高到低不同軸次的對稱軸或旋轉(zhuǎn)反伸軸，其次寫對稱面，最后寫對稱心。但在等軸晶軸或旋轉(zhuǎn)反伸軸，其次寫對稱面，最后寫對稱心。但在等軸晶系中，不論一個對稱型中有無大于系中，不論一個對稱型中有無大于3 3次的對稱軸，次的對稱軸，3 3次對稱軸次對稱軸L L3 3應當始終放在第應當

21、始終放在第2 2位。位。 請同學們自己分析一下課本第請同學們自己分析一下課本第34頁頁“圖圖4-14 常見對稱型中對稱要素在晶體上的空間配常見對稱型中對稱要素在晶體上的空間配置置”各個圖的對稱型各個圖的對稱型如如A A類對稱型（高次軸不多于一個）的推導：類對稱型（高次軸不多于一個）的推導：A類對稱型共有類對稱型共有27種，根據(jù)對稱要素對其推導種，根據(jù)對稱要素對其推導1 1）對稱軸）對稱軸L Ln n單獨存在（單獨存在（原始式對稱型原始式對稱型 ），可能的對），可能的對稱型為稱型為L L1 1；L L2 2；L L3 3；L L4 4；L L6 6 。2 2）對稱軸與對稱軸的組合（）對稱軸與對稱

22、軸的組合（軸式對稱型）軸式對稱型） 。在這里。在這里我們只考慮我們只考慮L Ln n與垂直它的與垂直它的L L2 2的組合。根據(jù)上節(jié)所述對的組合。根據(jù)上節(jié)所述對稱要素組合規(guī)律稱要素組合規(guī)律L Ln n L L2 2 L Ln nnLnL2 2 ，可能的對稱型為：，可能的對稱型為：（L L1 1L L2 2= =L L2 2）；）；L L2 22 2L L2 2=3=3L L2 2；L L3 33 3L L2 2；L L4 44 4L L2 2；L L6 66 6L L2 2 如果如果L L2 2與與L Ln n斜交有可能斜交有可能出現(xiàn)多于一個的高次軸，出現(xiàn)多于一個的高次軸，這時就不屬于這時就不

23、屬于A類對稱型了。類對稱型了。3）對稱軸）對稱軸Ln與垂直它的對稱面與垂直它的對稱面P的組合（的組合（中心式中心式對稱型對稱型） 。考慮到組合規(guī)律?？紤]到組合規(guī)律Ln(偶偶)PLn(偶偶)PC，則可能的對稱型為則可能的對稱型為L2PC；L4PC；L6PC。4）對稱軸）對稱軸Ln與包含它的對稱面的組合（與包含它的對稱面的組合（平面式對平面式對稱型稱型 ）。根據(jù)組合規(guī)律。根據(jù)組合規(guī)律Ln PLnnP，可能的對，可能的對稱型為：稱型為：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。 ？5）對稱軸）對稱軸Ln與垂直它的對稱面以及包含它的與垂直它的對稱面以及包含它的對稱面的組合（對稱面的組合（軸

24、面式對稱型軸面式對稱型 ）。垂直）。垂直Ln的的P與與包 含包 含 Ln的的 P 的 交 線 必 為 垂 直的 交 線 必 為 垂 直 Ln的的 L2， 即， 即Ln P P=Ln P P L2 =LnnL2(n+1)P(C)（C只在有偶次軸垂直只在有偶次軸垂直P的情況下產(chǎn)生的情況下產(chǎn)生)，可能的對稱，可能的對稱型為：型為：(L1L22P=L22P）；）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；）；L44L25PC；L66L27PC。 6 6）旋轉(zhuǎn)反伸軸單獨存在（）旋轉(zhuǎn)反伸軸單獨存在（倒轉(zhuǎn)原始式對稱型倒轉(zhuǎn)原始式對稱型）?？桑??？赡艿膶ΨQ型為：能的對稱型為：L Li

25、 i1 1= =C C；L Li i2 2= =P P；L Li i3 3= =L L3 3C C；L Li i6 6= =L L3 3P P。7）旋轉(zhuǎn)反伸軸）旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin與垂直它的與垂直它的L2（或包含它的（或包含它的P）的）的組合（組合（倒轉(zhuǎn)軸面式對稱型倒轉(zhuǎn)軸面式對稱型 ）。根據(jù)組合規(guī)律，當）。根據(jù)組合規(guī)律，當n為為奇數(shù)時奇數(shù)時LinnL2nP，可能的對稱型為：，可能的對稱型為：（Li1L2P=L2PC）；）；Li33L23P=L33L23PC；當；當n為偶數(shù)為偶數(shù)時時 Lin(n/2)L2 (n /2)P ，可能的對稱型為：，可能的對稱型為：（Li2L2P=L22P）；）；Li42L

26、22P；Li63L23P=L33L24P。 例：如果晶體中有一個例：如果晶體中有一個L4，同時又有一個，同時又有一個L2垂直于它和一垂直于它和一個對稱面垂直它，則個對稱面垂直它，則L4 L2 L44L2（組合定律（組合定律1），），L4 PL4PC（組合定律（組合定律2），因為垂直），因為垂直L4的的P 與與L2是包含關系，是包含關系，所以：所以：L2 PL22P（組合定律（組合定律3），這兩個），這兩個P中，有一個中，有一個是垂直是垂直L4包含包含L2的，而另一個是包含的，而另一個是包含 L4垂直垂直L2，這個包含，這個包含L4 的的P以及垂直以及垂直L4的的P與與L4組合（根據(jù)推導組合（根

27、據(jù)推導5）：）： Ln P P=Ln P P L2 =LnnL2(n+1)PC，最后產(chǎn)生對稱，最后產(chǎn)生對稱型型L44L25PC，金紅石就是這種對稱型。，金紅石就是這種對稱型。 7個組合類型中共導出個組合類型中共導出35個對稱型，其中重復的個對稱型，其中重復的有有8個，故實際導出的個，故實際導出的A類對稱型共類對稱型共27種。種。 。 請同學們將表中空格的內(nèi)容填上，空格中的內(nèi)容請同學們將表中空格的內(nèi)容填上，空格中的內(nèi)容與表中其他內(nèi)容是重復的。與表中其他內(nèi)容是重復的。L Ln nL Ln nnL L2 2Ln CLn PCLn nPLn nL L2 2 (n+1)P(C)L Li in nL Li

28、 in n nL L2 2 nPL Li in n n/2L L2 2 n/2PL L1 1L Li i1 1 = CL L2 23L3L2 2L2 PCL2 2P3L L2 2 3PCL Li i2 2 = PL L3 3L L3 33L L2 2L3 3PL Li i3 3 =L L3 3 C L3 3L L2 2 3PCL L4 4L L4 44L L2 2L4 PCL4 4PL4 4L L2 2 5PCL Li i4 4L Li i4 4 2L2 2PL L6 6L L6 66L L2 2L6 PCL6 6PL6 6L L2 2 7PCL Li i6 6=L L3 3 PL Li i6

29、 6 3L L2 2 3P= L L3 3 3L L2 2 4P還有還有5個是個是B類（高次軸多于一個）對稱型，不要求推導。類（高次軸多于一個）對稱型，不要求推導。此外還有3L44L36L29PC，3L24L33PC，3Li44L36P對稱型符號對稱型符號 習慣符號習慣符號 按一定的順序表示出晶體所有對稱要素的符號按一定的順序表示出晶體所有對稱要素的符號 mLnmPC(n-對稱軸軸次，從高到低排列，對稱軸軸次，從高到低排列，m-對稱對稱 軸或?qū)Τ擅娴臄?shù)目）軸或?qū)Τ擅娴臄?shù)目）國際符號國際符號（反映（反映對稱要素對稱要素及其在及其在空間的取向空間的取向） n單獨一個對稱軸單獨一個對稱軸Ln 單獨一

30、個單獨一個Lin N/m Ln垂直它的垂直它的P的組合的組合 N22或或N2 Ln和垂直它的和垂直它的L2的組合（的組合（N1時，時，1省略）省略） Nmm Ln和包含它的和包含它的P的組合（的組合（N1時，時，1省略，省略， N=2時，特寫為時，特寫為mm2） N2m Lin和包含它的和包含它的P以及垂直它的以及垂直它的L2的組合的組合 N/mmm Ln和包含它的和包含它的P以及垂直它的以及垂直它的P的組合的組合 X3Y或或X3第二位上為第二位上為3者表示者表示4L3說明六、晶體的對稱分類六、晶體的對稱分類32晶類晶類高、中、低級晶族高、中、低級晶族7大晶系大晶系屬于同一屬于同一對稱型的對稱型的晶體晶體高次軸的有無及高次軸的有無及多少多少軸次的高低軸次的高低及數(shù)目及數(shù)目三斜晶系三斜晶系單斜晶系單斜晶系斜方晶系斜方晶系三方晶系三方晶系四方晶系四方晶系六方晶系六方晶系等軸晶系等軸晶系晶體低級晶族中級晶族高級晶族4L3